D 2 =+ (1 mr ) −− ( b am − c ) Karena garis l menyinggung lingkaran, maka secara aljabar D = 0,

2 2 D 2 =+ (1 mr ) −− ( b am − c ) Karena garis l menyinggung lingkaran, maka secara aljabar D = 0,

2 2 2 2 2 (1 2 + mr ) −− ( b am − c ) = 0 ⇔+ (1 mr ) −− ( b am − c ) = 0

2 2 ⇔ 2 ( b − am − c ) =+ (1 mr )

⇔=− 2 c b am ± r 1 + m

Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA

Subtitusi harga c ini ke dalam persamaan garis singgung l memberikan

y 2 −= b mx ( − a ) ± r 1 + m

W Akibat 4.2

Jika garis l dengan gradien m menyinggung lingkaran 2 2 x 2 + y = r , maka l mempunyai persamaan

y 2 = mx ± r 1 + m

Bukti: Ini kejadian khusus Teorema 4.2 untuk a = 0 dan b = 0.

W Contoh 4.5.4

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 +y 2 – 4x – 10y + 19 = 0 di titik A(1,2). Penyelesaian:

Lingkaran x 2 +y 2 – 4x – 10y + 19 = 0 dapat kita tuliskan kembali sebagai

2 ( 2 x − 2) + ( y − 5) = 10

Lingkaran berpusat di (2,5) dan berjari-jari 10 . Telah ditunjukkan pada contoh 4.5.2, titik A(1,2) terletak pada lingkaran. Menurut Teorema 4.1 persamaan garis singgung lingkaran di titik A(1,2) adalah

(1 2)( − x −+ 2) (2 5)( − y − = 5) 10

Dengan menyederhanakan persamaan ini kita peroleh y

3 x + 3 . Jadi, persamaan

garis singgung di titik A(1,2) adalah

W Contoh 4.5.5

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 +y 2 – 4x – 6y – 3 = 0 yang mempunyai gradien 3 4 . Penyelesaian:

Lingkaran x 2 +y 2 – 4x – 6y – 3 = 0 dapat kita tuliskan kembali sebagai

2 ( 2 x − 2) + ( y − 3) = 16

yaitu lingkaran berpusat di (2,3) dan berjari-jari 4. Menurut Teorema 4.2, gari singgung

dengan gradien 3 4 mempunyai persamaan

y 2 3 3 ( −= 3

4 x −± 2) 4 1 ( + 4 )

Setelah kita sederhanakan persamaan ini menghasilkan dua persamaan garis singgung

y 3 13 = 7 4 x + dan 2 y 3 = 4 x − 2

Bandingkan dengan contoh 4.5.3. Hasilnya bagaimana? W

BAB IV ~ Lingkaran

Kita akan menyelesaikan masalah yang dihadapi Fadli yang ditampilkan pada ilustrasi awal bab. Masalah itu dapat disederhanakan menjadi mencari panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran dan panjang busur lingkaran, yang cara menghitung kedua besaran ini sudah kita pelajari ketika SMP dahulu.

Contoh 4.5.6 Misalkan lingkaran

L 1 berjari-jari 2 dm dan lingkaran L 2 berjari-jari 8 dm dengan jarak kedua pusatnya adalah 12 dm. Berapakah panjang minimal sabuk lilitan luar yang menghubungkan kedua lingkaran tersebut? Penyelesaian: Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini. Dalam hal ini

r 2 = PM 2 = 8 , r 1 = QM 1 = 2 , d = MM 1 2 = 12 PM 2 ⊥ PQ , QM 1 ⊥ PQ , dan PQ = RS = AM 1

Gambar 4.11

Jika o ∠ MMP

1 2 = α , maka ∠ PM R 2 = 2 α . Sudut refleks ∠ PM R 2 = 360 − 2 α , dan

∠ QM S 1 =∠ PM R 2 = 2 α . Kita peroleh AM 2 6 1 o

cos α=

= = atau α= 60

MM 1 2 12 2

Panjang minimal sabuk lilitan luar adalah:

2 panjang PQ + panjang busur besar PR + panjang busur kecil QS - panjang PQ

2 PQ 2 = AM

360 o − 2(60 )

- panjang busur besar PR =

- panjang busur kecil QS ⎛

= ⎜ o ⎟ π 2 .2 =

Panjang minimal sabuk lilitan luar adalah 2 108 + π + π = 2 108 12 + π .

( + π ) dm.

Jadi, panjang minimal sabuk lilitan luar yang diperlukan adalah

Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA

Tugas Mandiri

Misalkan lingkaran L 1 berjari-jari r 1 berpusat di M 1 dan lingkaran L 2 berjari-jari r 2 berpusat di M 2 dengan jarak kedua pusatnya adalah d. Buktikan bahwa:

2 a. Panjang garis singgung persekutuan luar adalah 2 d − ( r

2 b. Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah 2 d − ( r

c. Panjang minimal sabuk lilitan luar yang menghubungkan kedua lingkaran adalah

d. Panjang minimal sabuk lilitan dalam yang menghubungkan kedua lingkaran

adalah

Latihan 4.5

1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik yang diberikan.

a. x 2 +y 2 = 10 di titik (1, –3),

b. x 2 +y 2 + 6x – 4y – 45 = 0 di titik (4, –1),

c. 3x 2 + 3y 2 – 6x – 9y – 3 = 0 di titik (–1,2).

2. Sebuah lingkaran berpusat di (3,4) dan berjari-jari 5.

a. Tentukan titik potong lingkaran dengan sumbu-sumbu koordinat.

b. Tentukan persamaan garis singgung di ketiga titik potong tersebut. Buktikan bahwa dua di antaranya sejajar.

c. Tentukan koordinat titik keempat pada lingkaran sehingga keempat garis singgungnya membentuk jajaran genjang.

3. Buktikan bahwa garis y = 3x +1 0 menyinggung lingkaran x 2 +y 2 – 8x – 4y – 20 = 0, dan tentukan titik singgungnya.

4. Buktikan bahwa sumbu-y adalah garis singgung lingkaran x 2 + y 2 – 2a cos θ x –

2 2a 2 sin θ y + a sin θ = 0.

BAB IV ~ Lingkaran

5. Diketahui lingkaran x 2 +y 2 – 20y + 20 = 0 dan titik A(– 8,6) terletak pada lingkaran.

a. Tentukan gradien jari-jari yang melalui A. Tentukan pula persamaan garis singgung lingkaran di titik A.

b. Buktikan bahwa garis singgung ini juga menyinggung lingkaran x 2 +y 2 = 20.

6. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik yang diberikan.

a. x 2 +y 2 = 9 melalui titik (6,6).

b. x 2 +y 2 – 2x + 2y – 14 = 0 melalui titik (0,3).

7. Pada garis singgung di titik (5,4) pada lingkaran x 2 +y 2 – 4x – 6y + 3 = 0 di ambil titik yang ordinatnya 5 1 2 . Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik tersebut.

8. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 +y 2 – 2x + 2y – 2 = 0 yang sejajar garis 2x – y – 5 = 0.

9. Berapa nilai k agar garis y = 2x + k menyinggung lingkaran x 2 +y 2 – 2x – 4y – 15 = 0?

10. a. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik A(4,3) dan melalui O(0,0).

b. Titik tengah tali busur PQ adalah titik M(2,2). Tentukan titik P dan Q.

c. Jika R(–6, –2), buktikan bahwa RP dan RQ menyinggung lingkaran.

Rangkuman

1. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tetap.