Jika v ≤ 0 dan a < 0 , maka laju bertambah.

4. Jika v ≤ 0 dan a < 0 , maka laju bertambah.

Contoh 8.5.1 Suatu benda bergerak sepanjang garis mendatar mengikuti persamaan

s=t 3 – 6t 2 + 9t + 4

dengan s diukur dalam sentimeter dan t dalam detik. Dari persamaan gerak itu, tentukan:

a. kecepatan dan percepatannya dalam t

b. interval waktu saat benda bergerak ke kanan dan saat benda bergerak ke kiri

c. saat benda berbalik arah Penyelesaian: Dari persamaan gerak yang diberikan kita peroleh

ds

dv

dt

dt

Selanjutnya,

v = 3t 2 – 12t + 9 = 0 ⇔ 3(t – 1)(t – 3) = 0 ⇔ t = 1 atau t = 3

dan

a = 6t – 12 = 0 ⇔ t=2

Kita tentukan nilai dari s, v dan a untuk t = 1, 2, 3. Juga kita tunjukkan tanda dari s, v dan

a di dalam interval dari t di sekitar titik-titik itu. Hasilnya kita berikan dalam tabel 8.1.

BAB VIII ~ Turunan

Tabel 8.1

a Kesimpulan t<1

Benda berada di kanan titik asal, dan bergerak ke kanan. Kecepatan berkurang. Laju berkurang.

t=1

Benda berada8 cm di kanan titik asal, dan geraknya berbalik arah dari kanan ke kiri. Kecepatan berkurang. Laju berkurang.

1<t<2 +

Benda berada di kanan titik asal, dan bergerak ke kiri. Kecepatan berkurang. Laju bertambah.

t=2

0 Benda berada 6 cm di kanan titik asal, dan bergerak ke kiri dengan kecepatan –3 cm/detik. Kecepatan tetap. Laju tetap.

2<t<3 +

Benda berada di kanan titik asal, dan bergerak ke kiri. Kecepatan bertambah. Laju berkurang.

t=3

4 0 6 Benda berada 4 cm di kanan titik asal, dan geraknya berbalik arah dari kiri ke kanan. Kecepatan bertambah. Laju bertambah.

3<t +

Benda berada di kanan titik asal, dan bergerak ke kanan. Kecepatan bertambah. Laju ber- tambah.

a. Dari persamaan gerak di atas diperoleh kecepatan sesaat adalah

v = 3t 2 – 12t + 9

dan percepatan sesaat adalah

a = 6t – 12

b. Benda diam ketika v = 0, yaitu ketika t = 1 dan t = 3 detik. Benda bergerak ke kanan apabila v positif, dan sebaliknya benda bergerak ke kiri apabila v negatif. Menurut Tabel 8.1, benda bergerak ke kanan untuk 0 < < atau t 1 t > , dan benda bergerak 3 ke kiri ketika 1 < t < 2 atau 2 < t < 3.

c. Dari tabel 8.1 juga dapat kita simpulkan bahwa benda geraknya berbalik arah dari kanan ke kiri ketika t = 1 detik, dan benda geraknya berbalik arah dari kiri ke kanan ketika t = 3 detik.

Gerak benda ditunjukkan dalam gambar 8.6 adalah sepanjang garis mendatar, tetapi kelakuan geraknya ditunjukkan di atas garis itu untuk beberapa nilai t tertentu.

Tabel 8.2 Tabel 8.2 t =4 t

Gambar 8.6 Gerak benda

Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA

Setelah kita dapat menafsirkan secara fisis tentang turunan fungsi di suatu titik, saatnya kita menyelesaikan masalah yang diuangkapkan pada awal bab yang diberikan dalam contoh berikut.

Contoh 8.5.2 Sebuah bola dilemparkan vertikal ke atas dari tanah dengan kecepatan awal 80m/

detik. Jika arah positif diambil ke atas, persamaan gerak adalah

s = – 16t 2 + 80t

Misalkan t menyatakan waktu sejak bola dilemparkan dinyatakan dalam detik, dan s jarak bola dari titik awal dinyatakan dalam meter, pada saat t detik. Tentukan:

a. kecepatan dan percepatan sesaat bola setelah 2 detik

b. waktu yang diperlukan bola untuk mencapai titik tertinggi

c. waktu dan kecepatan yang diperlukan bola untuk menyentuh tanah kembali Penyelesaian:

Misalkan v(t) dan a(t) masing-masing adalah kecepatan sesaat dan percepatan sesaat bola pada t detik,

v(t) = – 32t + 80 dan a(t) = –32

a. Dari rumus v,

v(2) = –32(2) + 80 = 16

sehingga setelah 2 detik bola naik dengan kecepatan sesaat 16 meter/detik. Sedangkan a(2) = –32, sehingga setelah dua detik percepatan adalah –32 meter/detik 2 .

b. Bola mencapai titik tertinggi apabila v(t) = 0,

–32t + 80 = 0 ⇔ t = 2,5

Jadi, waktu yang diperlukan untuk mencapai titik tertinggi adalah 2,5 detik.

c. Bola menyentuh tanah kembali apabila s = 0,

s=0

–16t ⇔ 2 + 80t = 0 ⇔ 16t(5 – t) = 0

⇔ t = 0 atau t = 5

Jadi, waktu yang diperlukan untuk menyentuh tanah kembali adalah 5 detik, dengan kecepatan sesaat v(5) = –32(5) + 80 = –80 meter/detik. Tanda (–) negatif menunjukkan bahwa arah bola jatuh dari atas ke bawah.

t = 2,5

Tabel 8.3 Tabel 8.3 tsv

t =0 Gambar 8.7

BAB VIII ~ Turunan

Dalam ekonomi, jika C(x) menyatakan biaya total yang dikeluarkan perusahaan untuk menghasilkan x satuan barang tertentu, maka C disebut fungsi biaya. Laju

perubahan sesaat biaya terhadap banyaknya barang yang dihasilkan, dC dx , oleh para ekonom disebut biaya marginal.

Contoh 8.5.3 Suatu perusahaan telah menaksir bahwa biaya (dalam ribuan rupiah) memproduksi x

barang adalah

Cx 2 ( ) 10.000 5 = + x + 0, 01 x

a. Tentukan fungsi biaya marginal.