Jika k adalah suatu konstanta, dan
4. Jika k adalah suatu konstanta, dan
lim ( ) fx dan lim ( ) gx x → c x → c
maka :
a. lim ( )( ) x c kf x = k lim ( ) x fx
b. lim ( f gx )( ) x lim ( ) lim ( ) c + = fx x → c + → gx x → c
c. lim ( fg x
fx
c x lim ( ) lim ( ) → c ⋅ x → c
gx
⎛⎞ f lim ( ) fx x → c
d. lim ( ) x x → c ⎜⎟ =
, asalkan lim ( )
x → c gx ≠ 0
g lim ( ) gx
e. lim ( ) f x = ⎡ lim ( ) fx ⎤ , untuk n bilangan asli
f. x lim ( ) n fx = n lim fx , n bilangan asli, dan lim ( ) fx 0 → c x → c () x → c > Contoh 7.2.1
Hitung limit berikut dan beri alasan tiap langkah.
c.
a. lim ( x x
lim x →
2 53 − x
3 b. 2 lim ( x 3)( x 5) x x →− 2 +
Penyelesaian:
2 a. 2 lim (
x + x − 8 6) = lim x
+ lim 8 lim 6 x x
(Teorema 7.2 bagian 4b)
= 2 lim
x 3 x + x 8 lim x − → lim 6 → 3 x → 3 (Teorema 7.2 bagian 4a)
(Teorema 7.2 bagian 2 dan 3)
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA
3 2 3 b. 2 x x x x x (Teorema 7.2 bagian 4c) x lim (
+ 3)( − 5) = x lim ( →− +⋅ 3) lim ( x →− − 2 5) 2 2
x →− 2 + x lim 3 →− lim 2 ⋅ x →− 2 − 5 lim ( x ) ( x →− 2 ) (Teorema 7.2 bagian
3 = 2 lim x x
4a dan 4b)
( ( 2) + 3 )( ⋅ ( 2) − −− 5( 2) ) (Teorema 7.2 bagian 2 dan 3)
x + 2 x − 1 x lim ( x + 2 x − 1) 15
x lim 15 → = = =−
c. → 2
(Teorema 7.2 bagian 4d)
2 53 − x
lim(5 3 ) x x
Tugas Kelompok
Diskusikan dengan kelompok Anda untuk membahas soal-soal berikut ini.
1. Berikan contoh dua buah fungsi f dan g sehingga lim ( ) atau lim ( ) gx tidak
x → c fx
ada, tetapi lim [ ( ) fx + gx ( )] ada.
2. Berikan contoh dua buah fungsi f dan g sehingga atau tidak ada, tetapi ada.
fx () 0 Dalam prakteknya kita sering menjumpai bentuk
→ c = gx , sehingga sifat () 0 limit 4d tidak dapat kita terapkan secara langsung, karena pembagian dengan bilangan
lim x
nol tidak dibenarkan. Limit model ini sering disebut sebagai limit bentuk tak tentu. Cara menghitung limit jenis ini, terlebih dahulu kita sederhanakan atau kita rasionalkan terlebih dahulu. Berikut ini beberapa contoh yang berkaitan dengan bagaimana menghitung limit dari bentuk tak tentu.
Contoh 7.2.2 x 2 − 9
Tentukan lim x → 3 .
x − 3 Penyelesaian: Karena lim ( x −= 3) 0 , maka kita tidak dapat menerapkan sifat limit 4d. Dengan
memfaktorkan pembilang kita peroleh
x 2 − 9 ( x − 3)( x + 3) =
BAB VII ~ Limit Fungsi
Jika x ≠ ( 3 x − ≠ ), maka pembilang dan penyebut dapat dibagi dengan 3 0 x −, 3
x 2 − 9 ( x − 3)( x + 3)
=+ x 3
Karena dalam menghitung limit kita hanya memperhatikan nilai x di sekitar 3 tetapi tidak sama dengan 3, maka pembagian di sini diperbolehkan. Jadi,
lim lim( x
→ 3 x = − 3 x x 3) 6 → 3 + =
W Contoh 7.2.3
2 fx ( + h ) − fx Misalkan ()
fx () = x + 3 x − 1 , hitunglah lim h → . 0
Penyelesaian: Karena h ≠ 0 , maka kita peroleh
2 fx 2 ( + h ) − fx () [( x + h ) + 3( x + h ) 1] [ −− x + 3 x − 1]
2 2 xh + 3 h + h =
h = 2 x ++ 3 h
Jadi,
fx ( + h ) − fx ()
h lim lim = h (2 x 3 h → ) 0 → 0 ++ = 2 x + h 3
Latihan 7.2
1. Diketahui bahwa
lim ( ) x c fx =− 2 lim ( )
x c gx 0 → lim ( ) 16 = x → c hx = .
Tentukan limit berikut (jika ada). Jika tidak ada, jelaskan mengapa?
fx ()
a. lim [ ( ) fx hx ( )] x → c +
d. lim x → c
hx ()
3 fx ()
e.
b. lim [ ( )] fx
x → c lim x → c gx ()
3() fx
c. lim ( ) 4
hx
f. lim
x → c x → c hx ()2() − fx
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA
2. Tentukan setiap limit yang diberikan dengan menggunakan teorema limit fungsi.
lim (2 x −+ x 5)
a. x → 3 d. lim
b. lim ( x + 2)( x − 8) x
4 x → 2 e. t lim 3 t ++ t 6 →− 2
2 x + 1 lim
c. 2 x →− 1 2 f. x lim 16 3 x 4 x → 4 − − − x +
3. a. Apa yang salah dengan persamaan berikut?
x 2 + 3 x − 4 =+ x 4
b. Dengan fakta di bagian a, jelaskan mengapa persamaan ini
lim
x → 1 = x lim ( − 1 x → 1 + 4)
benar.
4. Hitunglah setiap limit berikut, jika ada.
2 t 2 − 25 x + 5 x + 6
t lim →− 5 t
a. c. lim
3 + 2 5 →− x −− x 12
2 4 2 x − 9 23 − y − 2 y
d.
b. lim
lim
x →−
2 2 x + 3 y →− 2 + 16 6 y − y
e. x lim →
h. lim
4 2 9 2 −− x 3 x − 2 x − x
f. lim
i.
lim
g. lim
x → 5 x lim
j.
+− 43 t → 0 t fx ( + h ) − fx ()