Limit di Tak Hingga
7.6 Limit di Tak Hingga
Sekarang kita akan meninjau limit fungsi apabila peubah bebas x naik atau turun tak terbatas. Limit semacam ini bermanfaat dalam teknik menggambar grafik fungsi. Disamping itu, limit-limit ini dapat digunakan pula untuk menentukan nilai-nilai ekstrim fungsi pada selang terbuka. Kita mulai dengan fungsi yang khusus. Misalkan didefinisikan oleh
1 fx () = 2 x
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA
Sketsa grafik fungsi ini diberikan oleh gambar 7.14. Misalkan x mengambil nilai-nilai 1,
2, 3, 4, 5, 10, 100, 1000 dan seterusnya, dengan x naik tak terbatas. Nilai-nilai fungsi terkait diberikan pada Tabel 7.8. Dari tabel tersebut, dapat kita amati bahwa nilai-nilai fungsi f (x) semakin lama semakin dekat ke 0 apabila x naik menjadi besar sekali.
-4 -3 -2 -1
Gambar 7.14 Grafik fungsi fx ()1 = x 2
Tabel 7.8 Tabel 7.9
Secara intuisi, dapat kita lihat bahwa nilai f (x) mendekati nilai 0, apabila kita ambil x cukup besar. Untuk menjelaskan situasi kita notasikan
lim
x → +∞
Notasi x → +∞ kita artikan bahwa bebas x naik tak terbatas dengan nilai-nilai positif, dan +∞ bukan bilangan real. Oleh karena itu, notasi x → +∞ tidak sama pengertiannya
dengan x → 10 . Ilustrasi di atas memotivasi definisi berikut. Definisi 7.6
Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada sembarang interval (, a +∞ ) . Kita tuliskan
x lim fx () → +∞ = L
jika untuk x positif yang naik besar sekali, maka nilai f (x) mendekati L.
BAB VII ~ Limit Fungsi
Sekarang kita tinjau fungsi f di depan dengan x mengambil nilai-nilai 1, 2, 3,
4, 5, 10, 100, 1000, dan seterusnya, dengan x turun dengan nilai negatif tak terbatas. Tabel 7.9 memberikan nilai-nilai fungsi f (x) terkait. Secara intuisi, dapat kita lihat bahwa nilai f(x) mendekati nilai 0, apabila kita ambil x cukup kecil dari bilangan negatif. Dalam hal ini kita tuliskan,
1 x → −∞ lim 2 = x 0
Definisi 7.7 Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada setiap interval ( −∞ ,) b . Kita tuliskan
x lim fx () L → −∞ =
jika untuk x negatif yang turun kecil sekali, maka nilai f (x) mendekati L.
Teorema-teorema limit di sub-bab 7.2 dan 7.4 tetap berlaku apabila x → c kita ganti dengan x → +∞ atau x → −∞ . Kita mempunyai teorema tambahan berikut ini, yang kita sajikan tanpa bukti.
Teorema 7.4 Jika r suatu bilangan positif, maka
x lim r = 0 2. lim r
x → −∞
Contoh 7.6.1 Tentukan nilai dari:
a. lim
b. lim
x → +∞
3 3 2 x + 5 x → +∞ x + x + 1
Penyelesaian: Untuk menggunakan Teorema 7.4, kita bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi yang muncul dalam pembilang atau penyebut.
a. −
x lim
= x x → +∞ lim → +∞
5 x + 4 3 3 3 lim
lim
c. x → +∞ 3 2 = x → +∞ 3 2 =
lim
1 x → +∞
xx
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA
Contoh 7.6.2 Hitunglah limit yang diberikan:
x 2 → +∞ x 3 (
a. x lim
2 b. lim
− Penyelesaian:
a. Pangkat tertinggi dari x adalah 2 yang muncul di bawah tanda akar. Karena itu pembilang dan penyebut kita bagi dengan 2 x = x . Karena x → −∞ , maka x < 0
dan x =− x . Jadi,
x + 5 x x lim − x − lim x
x lim → −∞
2 = x → −∞
− x 3 = → −∞
lim
= x → −∞
b. Kita rasionalkan bentuk akar itu,
x → +∞ lim
= lim
x → +∞
= x → +∞ lim
3 x lim
x → +∞
lim
x → +∞
BAB VII ~ Limit Fungsi
Latihan 7.6
Tentukan setiap limit yang diberikan.
x → +∞ lim
lim
2. 2 lim 10.
2 lim ( x +− x x )
x → +∞
2 x − 3 x → +∞
3. lim
2 11. lim ( 4 x +− x (2 x + 3))
x → +∞
x − 2 x + 3 x → +∞
3 3 3 4. 3 lim 12. lim ( x +− x x + 1)
y → +∞
y 1 x + → −∞ ⎛
2 x +− 13
5. x lim ⎜ 5 x
13. x lim
⎝ → +∞ ⎠ x −− 2 2
6. lim ⎜ 2 − 4 y ⎟
14. lim
y → −∞
⎝ x y → −∞ ⎠ 3 + 1 x 2 + 9 ++++ 1 2 3 ... x
x lim
7. lim
x 2 x → +∞ + 3 x
8. t lim