Misalkan kita ambil y = . Karena x →∞ , maka y → 0 .
a. Misalkan kita ambil y = . Karena x →∞ , maka y → 0 .
Jadi,
1 1 sin y
0 y = tan sin x − x
x lim →∞ x sin = y lim → sin y = y lim →
sin x − sin cos x x
b. lim
lim
2 3 x x → 0 2 x cos x
2 sin (1 cos ) 1 x − x sin x ⋅ 2 sin
= x lim →
0 3 = lim
2 3 x cos x x → 0 2 x cos x
2 sin 1 1 x sin
= x lim → 0 ⋅ 1 2 ⋅
cos x 4
1 c. 1 Misalkan y = x −
2 π , sehingga untuk x → 2 π berakibat y → 0 . Jadi,
2 π lim y − + )
x − 1 1 sin 1 sin(
x → 1 1 = 2 lim π x − 2 π y → 0 y − 1 cos y
= lim y → 0 y
2 2 sin 1
= lim y → 0 y
2 sin 1
2 yy
= y lim 2 → 0 ⋅ 1 2 ⋅=⋅⋅= 21 0
BAB VII ~ Limit Fungsi
Latihan 7.7
Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 25, tentukan limit fungsi yang diberikan.
sin( x + h ) sin − x
sin x − cos x
1. lim
lim → sin 3 0 x
lim
4 − 1 sin 2 x sin 5 x
x sin x
tan 2 x − 2 tan x
12. x lim
2. lim
22. lim → x
x → 0 sin 7 2 0 1 cos x x sin 2 x
+ 1 cos 2 x
+ 1 cos 2 x
3. x lim
→ 0 2 13. 23. 3 x x → π lim
lim
2 cos x
x → π 2 cos x
sin 2 x x tan x x + 3 x
4. x lim →
2 14. lim
24. lim
x → 0 sin x x
x → 0 − 1 cos 3 x
sin x
5. lim
15. lim 1 x ⎜ x ⎜ → 0 x ⎝ − cos ⎟
25. lim x → 0 1 −− x 1
cos x
− 1 cos x
sin sin 3 x x
6. lim
x lim
x → 0 1 cos 2 x
→ 0 − 1 cos 4 x
− 1 cos a 4
7. lim
17. lim x sin
a x →∞
tan y
x 2 sin x + tan x
8. y lim →
0 sin 2 lim y x → 0 − 1 cos x
19. lim ( x x → − 5) cot π x x →
sin px
9. lim
0 tan qx
2 sin 2 x + tan x
sin x − cos x
10. lim
1 2 20. x lim → 0 x
2 4 − 1 sin 2 x
fx ( + h ) − fx ()
26. Tentukan untuk setiap fungsi yang diberikan.
h lim → 0 h
() 4 + h − f () 4
27. Tentukan
lim dari fungsi-fungsi pada soal nomor 26.
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA
Rangkuman
1. Limit f (x) ketika x mendekati c sama dengan L, dituliskan dengan lim ( ) x → c fx = L , jika kita dapat membuat nilai f (x) sembarang yang dekat dengan L (sedekat yang
kita mau) dengan cara mengambil nilai x yang dekat dengan c, tetapi tidak sama dengan c.
2. Limit kiri f (x) ketika x mendekati c sama dengan L, kita tuliskan dengan lim ( ) − fx = L jika kita dapat membuat f (x) sembarang dekat dengan L dengan
cara mengambil nilai x cukup dekat ke c, dan x lebih kecil daripada c.
3. Jika pada (2) disyaratkan x harus lebih besar daripada c, maka diperoleh limit kanan dari f (x), dan dinotasikan dengan lim ( ) fx L .
4. lim ( ) x c fx = L jika dan hanya jika lim − fx () L dan x c = lim c + fx x () = L → . → →
5. Operasi aljabar berlaku perhitungan limit fungsi.
6. Laju perubahan sesaat dari fungsi f di titik c didefinisikan sebagai
fc ( + h ) − fc ()
lim
7. Fungsi f dikatakan kontinu di titik c, jika memenuhi ketiga syarat: (1) f (c) ada; (2) lim ( ) fx ; ada; dan (3)
x → c lim ( ) x c fx = fc → ()
8. Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada setiap interval terbuka yang memuat c, kecuali mungkin di c sendiri. Jika untuk x mendekati c tetapi tidak sama dengan c,
maka nilai f (x) membesar tanpa batas, dituliskan lim fx () = +∞ .
9. Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada setiap interval terbuka yang memuat c, kecuali mungkin di c sendiri. Jika untuk x mendekati c tetapi tidak sama dengan c,
maka nilai f (x) mengecil tanpa batas lim fx () = −∞ .