Misalkan kita ambil y = . Karena x →∞ , maka y → 0 .

a. Misalkan kita ambil y = . Karena x →∞ , maka y → 0 .

Jadi,

1 1 sin y

0 y = tan sin x − x

x lim →∞ x sin = y lim → sin y = y lim →

sin x − sin cos x x

b. lim

lim

2 3 x x → 0 2 x cos x

2 sin (1 cos ) 1 x − x sin x ⋅ 2 sin

= x lim →

0 3 = lim

2 3 x cos x x → 0 2 x cos x

2 sin 1 1 x sin

= x lim → 0 ⋅ 1 2 ⋅

cos x 4

1 c. 1 Misalkan y = x −

2 π , sehingga untuk x → 2 π berakibat y → 0 . Jadi,

2 π lim y − + )

x − 1 1 sin 1 sin(

x → 1 1 = 2 lim π x − 2 π y → 0 y − 1 cos y

= lim y → 0 y

2 2 sin 1

= lim y → 0 y

2 sin 1

2 yy

= y lim 2 → 0 ⋅ 1 2 ⋅=⋅⋅= 21 0

BAB VII ~ Limit Fungsi

Latihan 7.7

Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 25, tentukan limit fungsi yang diberikan.

sin( x + h ) sin − x

sin x − cos x

1. lim

lim → sin 3 0 x

lim

4 − 1 sin 2 x sin 5 x

x sin x

tan 2 x − 2 tan x

12. x lim

2. lim

22. lim → x

x → 0 sin 7 2 0 1 cos x x sin 2 x

+ 1 cos 2 x

+ 1 cos 2 x

3. x lim

→ 0 2 13. 23. 3 x x → π lim

lim

2 cos x

x → π 2 cos x

sin 2 x x tan x x + 3 x

4. x lim →

2 14. lim

24. lim

x → 0 sin x x

x → 0 − 1 cos 3 x

sin x

5. lim

15. lim 1 x ⎜ x ⎜ → 0 x ⎝ − cos ⎟

25. lim x → 0 1 −− x 1

cos x

− 1 cos x

sin sin 3 x x

6. lim

x lim

x → 0 1 cos 2 x

→ 0 − 1 cos 4 x

− 1 cos a 4

7. lim

17. lim x sin

a x →∞

tan y

x 2 sin x + tan x

8. y lim →

0 sin 2 lim y x → 0 − 1 cos x

19. lim ( x x → − 5) cot π x x →

sin px

9. lim

0 tan qx

2 sin 2 x + tan x

sin x − cos x

10. lim

1 2 20. x lim → 0 x

2 4 − 1 sin 2 x

fx ( + h ) − fx ()

26. Tentukan untuk setiap fungsi yang diberikan.

h lim → 0 h

() 4 + h − f () 4

27. Tentukan

lim dari fungsi-fungsi pada soal nomor 26.

Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA

Rangkuman

1. Limit f (x) ketika x mendekati c sama dengan L, dituliskan dengan lim ( ) x → c fx = L , jika kita dapat membuat nilai f (x) sembarang yang dekat dengan L (sedekat yang

kita mau) dengan cara mengambil nilai x yang dekat dengan c, tetapi tidak sama dengan c.

2. Limit kiri f (x) ketika x mendekati c sama dengan L, kita tuliskan dengan lim ( ) − fx = L jika kita dapat membuat f (x) sembarang dekat dengan L dengan

cara mengambil nilai x cukup dekat ke c, dan x lebih kecil daripada c.

3. Jika pada (2) disyaratkan x harus lebih besar daripada c, maka diperoleh limit kanan dari f (x), dan dinotasikan dengan lim ( ) fx L .

4. lim ( ) x c fx = L jika dan hanya jika lim − fx () L dan x c = lim c + fx x () = L → . → →

5. Operasi aljabar berlaku perhitungan limit fungsi.

6. Laju perubahan sesaat dari fungsi f di titik c didefinisikan sebagai

fc ( + h ) − fc ()

lim

7. Fungsi f dikatakan kontinu di titik c, jika memenuhi ketiga syarat: (1) f (c) ada; (2) lim ( ) fx ; ada; dan (3)

x → c lim ( ) x c fx = fc → ()

8. Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada setiap interval terbuka yang memuat c, kecuali mungkin di c sendiri. Jika untuk x mendekati c tetapi tidak sama dengan c,

maka nilai f (x) membesar tanpa batas, dituliskan lim fx () = +∞ .

9. Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada setiap interval terbuka yang memuat c, kecuali mungkin di c sendiri. Jika untuk x mendekati c tetapi tidak sama dengan c,

maka nilai f (x) mengecil tanpa batas lim fx () = −∞ .