Kombinasi Sekolah akan mengikuti perlombaan paduan suara yang tiap regunya terdiri

2.1.3 Kombinasi Sekolah akan mengikuti perlombaan paduan suara yang tiap regunya terdiri

dari 2 anak. Dari hasil seleksi diperoleh 4 anak A, B, C dan D yang memenuhi kriteria yang telah ditentukan. Pertanyaannya adalah berapa regu yang dapat dipilih dari empat anak tersebut?

Untuk menjawab pertanyaan ini, perhatikan kembali banyaknya cara keempat anak A, B, C, dan D dapat menempati tempat pertama dan kedua. Kemungkinan-kemungkinannya adalah sebagai berikut.

{AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC} Kita tahu bahwa susunan AB dan susunan BA menentukan satu regu yang sama, karena tidak memperhatikan urutan. Demikian pula halnya susunan AC = CA,

AD = DA, BC = CB, BD = DB, dan CD = DC. Jadi, ada

12 2 = 6 cara untuk menyusun

regu paduan suara yang terdiri atas 2 anak dari 4 anak yang tersedia, {AB, AC, AD, BC, BD, CD}

BAB II ~ Peluang

Banyak cara memilih 2 unsur dari 4 unsur yang tersedia disebut kombinasi 2 unsur dari 4 unsur. Secara umum kita mempunyai definisi berikut ini.

Definisi Kombinasi k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda adalah suatu

pilihan dari k unsur tanpa memperhatikan urutannya ( k ≤ n ) , dinotasikan dengan n C

k . Dengan kata lain, banyak kombinasi k unsur yang diambil dari n unsur yang

tersedia adalah banyak cara memilih k unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia tanpa memperhatikan urutannya.

Kita masih ingat bahwa banyaknya cara memilih 2 anak dari 4 anak untuk ditempatkan dalam dua kedudukan yang berbeda adalah permutasi 2 unsur dari 4

unsur yang tersedia, yaitu P 2 =

= 12 . Untuk kombinasi AB yang tata

letak unsur-unsur A dan B-nya tidak diperhatikan, dapat diturunkan 2! = 2 permutasi, karena setiap kombinasi memberikan 2 permutasi. Jadi, kita peroleh hubungan

2C 2 = P 2 atau C 2 =

Secara umum, untuk setiap kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia, kita dapat membentuk k P

= k ! permutasi. Oleh karena itu, terdapat hubungan

antara kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia, yaitu n C

k , dengan permutasi k unsur dari n unsur yang tersedia, yaitu n P

adalah

kn !( − k )!

Contoh 2.1.11 Hitunglah dari setiap kombinasi berikut.

2 b. C 6 4 c. C 5 d. C 3 Penyelesaian: Langsung kita gunakan rumus pada persamaan (2.7), diperoleh

10 a. 7 C 5

a. C 2 =

b. C 4 =

c. C 5 =

Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA

d. C 3 =

Contoh 2.1.12

Hitunglah nilai n , apabila n C 2 = 4 n + 5 .

Penyelesaian: Dari rumus pada persamaan (2.7) kita peroleh

n ! n ×−×−×−×××× ( n 1) ( n 2) ( n 3) L 321 n ×− ( n 1)

= 2!( n − 2)!

2 Di pihak lain, diketahui bahwa n C

(2 1)(( × n −×−×××× 2) ( n 3) L 3 2 1)

2 = 4 n + 5 , sehingga diperoleh hubungan n ×− ( n 1)

= 4 n + 5 ⇔ 2 n −= n 8 n + 10

2 2 ⇔ n − 9 n − 10 = 0

⇔( n − 10)( n += 1) 0 ⇔ n = 10 atau n =− 1

Karena n harus bilangan asli, maka n yang memenuhi adalah n = 10.

Pada bagian akhir ini, kita akan menyelesaikan masalah pembentukan tim olimpiade matematika yang diungkapkan pada awal bab.

Contoh 2.1.13 Tersedia 10 siswa yang memenuhi syarat menjadi tim olimpiade matematika suatu SMA. Dari sejumlah calon itu, 6 siswa pandai komputer, dan 4 siswa pandai bahasa Inggris. Tim yang dibentuk beranggotakan 3 siswa, yang terdiri dari 2 siswa pandai komputer dan 1 siswa pandai bahasa Inggris. Berapa banyak susunan yang mungkin dapat dibentuk? Penyelesaian: Dua anggota dipilih dari 6 orang calon yang pandai komputer, sehingga

kombinasinya adalah C 2 =

= 15 cara. Seorang anggota dipilih dari 4

orang calon yang pandai Bahasa Inggris, sehingga kombinasinya

C 1 = = 4 cara. Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak 1!(4 1)! −

susunan tim olimpiade matematika yang terdiri dari 2 siswa pandai komputer dan 1 siswa pandai Bahasa Inggris adalah

2 × C 1 = ×= 15 4 60

Jadi, banyak susunan tim olimpiade matematika yang terdiri dari 2 siswa pandai komputer dan 1 siswa pandai Bahasa Inggris yang dipilih dari 6 siswa pandai komputer dan 4 siswa pandai Bahasa Inggris adalah 60 susunan.

BAB II ~ Peluang

Latihan 2.1

Aturan Pengisian Tempat yang Tersedia

1. Suatu kelompok penari latar mempunyai: baju berwarna: merah, pink, biru, kuning dan hijau, rok pendek berwarna: putih, ungu dan coklat, sepatu berwarna: merah dan hitam.

a. Gambarkan diagram pohon yang menghubungkan warna baju, warana rok pendek dan warna sepatu.

b. Berapa banyak pasangan warna seragam yang dapat disusun ?

2. Suatu apartemen terdiri dari empat lantai, masing-masing lantai berturut-turut dihuni 12 orang, 8 orang, 6 orang dan 5 orang. Dari setiap lantai akan dipilih seorang wakil untuk dibentuk sebagai pengurus apartemen. Berapa cara susunan pengurus dapat dibentuk?

3. Perjalanan dari Jakarta ke Bandung dapat melalui 4 jalur, dari Bandung ke Yogyakarta dapat melalui 2 jalur, dan dari Yogyakarta ke Surabaya melalui 3 jalur. Berapa banyak jalur perjalanan yang dapat dipilih dari perjalanan- perjalanan berikut ini.

a. Dari Jakarta ke Yogyakarta melalui Bandung.

b. Dari Surabaya ke Jakarta melalui Yogyakarta.

c. Dari Jakarta ke Surabaya melalui Bandung dan Yogyakarta.

4. Diberikan 11 huruf masing-masing H, I, D, U, P, C, E, R, D, A, dan S. Berapa banyak cara menyusun huruf itu, apabila disyaratkan:

a. huruf pertamanya huruf vokal?

b. huruf pertamanya huruf konsonan?

5. Dari lima buah angka 0, 1, 2, 3, dan 4 akan disusun bilangan-bilangan yang terdiri dari 4 angka. Berapa banyak cara untuk menyusun bilangan-bilangan itu, apabila:

a. bilangan-bilangan boleh mempunyai angka yang sama?

b. bilangan-bilangan tidak boleh mempunyai angka yang sama? Permutasi

1. Hitunglah:

a. 8! – 3! dan (8 – 3)!

b. 6! 3! × dan (6 3)! ×

c. Apakah 8! – 3! = (8 – 3)!, dan 6! 3! × = (6 3)! × ?

2. Tunjukkan bahwa:

c. − + = 2! 4! 4!

a. − =

b. + =