Produk Cartesius dan Relasi Produk Cartesius

6.1 Produk Cartesius dan Relasi Produk Cartesius

Pasangan bilangan (x, y) dengan x sebagai urutan pertama dan y sebagai urutan kedua disebut pasangan terurut. Karena urutan diperhatikan, maka pasangan terurut (2, 5) dan (5, 2) memberikan dua makna yang berbeda. Selanjutnya, misalkan diketahui dua himpunan tak kosong A dan B. Dari dua himpunan ini kita dapat membentuk himpunan baru C yang anggota-anggotanya adalah semua pasangan terurut (x, y)

dengan x ∈ sebagai urutan pertama dan A y ∈ B sebagai urutan kedua. Himpunan C yang dibentuk dengan cara ini disebut produk Cartesius atau perkalian Cartesius himpunan A dan himpunan B, yang disimbolkan dengan AB × . Oleh karena itu, produk Cartesius dapat didefinisikan berikut ini.

Definisi 6.1 Jika A dan B adalah dua himpunan tak kosong, maka produk Cartesius himpunan

A dan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x, y) dengan x ∈ A dan y ∈ B . Ditulis dengan notasi

AB ×= { (,)| xy x ∈ A dan y ∈ B }

Grafik dari produk Cartesius disebut grafik Cartesius. Ide perkalian himpunan AB × pertama kali diperkenalkan oleh Renatus Cartesius yang nama aslinya adalah Rene Descartes (1596 –1650), matematikawan berkebangsaan Perancis.

Contoh 6.1.1 Diberikan himpunan A = {a, b, c} dan B = {1,2}. Tentukan tiap produk Cartesius berikut.

a. AB ×

b. B × A c. AA ×

Penyelesaian:

a. AB ×= { (,)| xy x ∈ A dan y ∈ B } = {(a,1), (b,1), (c,1), (a, 2), (b, 2), (c, 2)},

b. B ×= A { (,)| xy x ∈ B dan y ∈ A } = {(1, a), (2, a), (1, b,), (2, b), (1, c), (2, c)},

c. AA ×= { (,)| xy x ∈ A dan y ∈ A } = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)},

W Dalam contoh 6.1.1, himpunan A mempunyai 3 anggota dan himpunan B mempunyai

2 anggota. Dari penyelesaian pertama tampak bahwa produk Cartesius AB × mempunyai 32 ×= 6 anggota, yaitu (a,1), (b,1), (c,1), (a, 2), (b, 2), dan (c, 2). Secara umum,

jika banyak anggota himpunan A adalah m dan banyak anggota himpunan B adalah n, maka banyak anggota produk Cartesius AB × adalah mn × anggota.

Relasi

Kita perhatikan kembali produk Cartesius dari himpunan A = {a, b, c} dengan himpunan B = {1,2} pada contoh 6.1.1 bagian (a), yaitu

AB × = {(1, a), (2, a), (1, b,), (2, b), (1, c), (2, c)}

BAB VI ~ Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

Dari produk Cartesius A B × ini kita dapat mengambil beberapa himpunan bagian, misalnya:

R 1 = {(1, a), (2, a), (1, b,), (1, c), (2, c)}, R 2 = {(1, b,), (2, b), (1, c), (2, c)}, R 3 = {(2, a), (1, c)}.

Himpunan-himpunan R 1 ,R 2 , dan R 3 yang merupakan himpunan bagian dari produk Cartesius A B × , kita katakan sebagai relasi atau hubungan dari himpunan A ke himpunan B. Dengan pemaparan ini suatu relasi atau hubungan dapat didefinisikan

berikut ini. Definisi 6.2

Suatu relasi atau hubungan dari himpunan A ke himpunan B adalah sembarang himpunan bagian dari produk Cartesius A × B.

Jika R adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B dan pasangan terurut (x, y) adalah anggota R, maka dikatakan x berelasi dengan y, ditulis x R y. Tetapi jika pasangan (x, y) bukan anggota R, maka dikatakan x tidak berelasi dengan y, ditulis

xRy . Untuk ke tiga relasi R 1 ,R 2 , dan R 3 di atas.

R 1 = {(1, a), (2, a), (1, b,), (1, c), (2, c)}, 1R 1 a, 2 R 1 a, 1 R 1 b, 1 R 1 c, dan 2 R 1 c, tetapi 2 R 1 b.

R 2 = {(1, b,), (2, b), (1, c), (2, c)}, 1R 2 b, 2 R 2 b, 1 R 2 c, dan 2 R 2 c, tetapi 1 R 2 a, dan 2 R 2 a.

R 3 = {(2, a), (1, c)}. 2R 3 a dan 1 R 3 c, tetapi 1 R 3 a, 1 R 3 b, 2 R 3 b, dan 2 R 3 c.

Misalkan R adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B yang ditulis sebagai

R = { (,)| xy x ∈ A dan y ∈ B } . Himpunan semua ordinat pertama dari pasangan

terurut (x,y) disebut daerah asal atau domain, ditulis dengan D R . Himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain, ditulis dengan K R . Himpunan semua ordinat kedua dari pasangan terurut (x,y) disebut daerah hasil atau range, ditulis dengan R R .

Sebagai contoh, jika A = {x, y, z} dan B = {1, 2, 3}, dan R adalah relasi dari A ke B yang diberikan oleh R = {(x,1), (y, 1), (z, 2)}, maka :