Tentukan lim h → 0 untuk setiap fungsi f pada soal nomor 5.

6. Tentukan lim h → 0 untuk setiap fungsi f pada soal nomor 5.

BAB VII ~ Limit Fungsi

Misalkan y adalah suatu besaran yang bergantung pada besaran lain x. Sehingga, y adalah fungsi dari x dan dapat kita tuliskan y = f (x). Jika x berubah dari x = c sampai x =+ c h , maka perubahan x adalah

Δ= x ( c + h ) −= c h

(x Δ dibaca “delta x”) dan perubahan padanannya adalah

Δ= y fc ( + h ) − fc ()

Hasil bagi selisih

Δ y fc ( + h ) − fc () =

disebut rerata laju perubahan y terhadap x sepanjang interval [, cc + h ] , dan ditafsirkan sebagai kemiringan tali busur PQ pada gambar 7.10.

y Q(c + h, f(c +

h)) Δ y

P(c, f(c))

0 c c+h x

Gambar 7.10 Rerata laju perubahan

Kita tinjau laju perubahan rerata pada interval yang semakin kecil [, cc + h ] , sehingga

h mendekati 0. Limit laju perubahan rerata ini disebut laju perubahan sesaat y terhadap x saat x = c , yang ditafsirkan sebagai kemiringan garis singgung pada kurva y = fx () di Pcfc ( , ( )) :

fc ( + h ) − fc ()

Δ→ 0 (7.1) Δ x h → 0 h Setelah kita memahami apa tafsiran fisika dari limit di atas, kita akan menyelesaikan

laju perubahan sesaat = lim x

= lim

permasalahan pembuatan kristal yang diungkapkan pada awal bab, yang disederhanakan menjadi contoh berikut.

Contoh 7.3.1 Suhu sebuah tungku pembuatan kristal dipergunakan dalam penelitian untuk

menentukan bagaimana cara terbaik untuk membuat kristal yang dipergunakan dalam komponen elektronik untuk pesawat ulang-alik. Untuk pembuatan kristal yang baik, suhu harus dikendalikan secara akurat dengan menyesuaikan daya masukan. Hubungan suhu dan daya masukan mengikuti fungsi

Tw 2 () = 0,1 w + 2,155 w + 20

dengan T adalah suhu dalam o C , dan w adalah daya masukan dalam watt.

Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA

b. Jika daya yang tersedia adalah 1000 watt, kapan laju perubahan terbesar dan kapan laju perubahan terkecil? Penyelesaian:

a. Menurut rumus (7.1), besar laju perubahan suhu terhadap daya masukan w adalah

Tw ( + h ) − Tw ()

lim

= h lim → 0

Kita hitung dulu,

2 Tw 2 ( + h ) − Tw () [0,1( w + h ) + 2,155( w + h ) 20] [0,1 + − w + 2,1 55 w + 20]

0, 2 2 wh + 2,155 h + 0,1 h =

h = 0, 2 w + 2,155 0,1 + h

Dengan demikian, Δ T

Tw ( + h ) − Tw ()

0 = lim lim (0, 2 Δ w → 2,155 0,1 ) h 0, 2 w w 2,155 h 0 h = h → 0 + + = + Jadi, besar laju perubahan suhu terhadap daya masukan w adalah

lim h →

0, 2 w + 2,155 .

Besaran ini mempunyai satuan o C watt .

b. Daya yang tersedia sebesar 1000 watt. Dari fungsi laju perubahan, maka laju perubahan terbesar terjadi ketika w = 1000 dan terkecil saat w = 0. Jadi,

laju perubahan terbesar = 0,2 (1000) + 2,115= 202,155 o C watt , laju perubahan terkecil = 0,2 (0) + 2,115= 2,155. o C watt .

Latihan 7.3

1. Sebuah kota dijangkiti epidemi flu. Petugas menaksir bahwa t hari setelah dimulainya epidemi, jumlah orang yang sakit flu diberikan oleh fungsi

2 pt 3 ( ) 120 = t − 2 t dengan 0 ≤≤ t 40

Berapakah laju menularnya flu pada saat t = 10, t = 20 , dan t = 40?

2. Gelombang udara dingin mendekati suatu SMA. Temperatur t setelah tengah malam adalah T, dengan

T 2 = 0,1(400 40 − t + t ), 0 ≤≤ t 12

a. Tentukan rerata laju perubahan dari T terhadap t di antara jam 5 pagi dan jam 6 pagi.

b. Tentukan laju perubahan sesaat T terhadap t pada jam 5 pagi.

3. Suatu perusahaan mulai beroperasi pada 14 Pebruari 2000. Pendapatan kotor tahunan perusahaan itu setelah t tahun adalah p juta rupiah, dengan

pt 2 () = 50.000 18.000 + t + 600 t

Tentukan laju pertumbuhan pendapatan kotor pada 14 Pebruari 2007.

BAB VII ~ Limit Fungsi

Pada awal bab kita membahas fungsi f didefinisikan oleh

x 2 − 1 fx () =

Kita perhatikan bahwa f terdefinisi untuk semua x kecuali di x = 1. Sketsa grafiknya terdiri dari semua titik pada garis y = x + 1 kecuali titik (1,2), dapat dilihat pada gambar

7.11. Grafik fungsi ini terputus di titik (1,2) dan kita menyebutnya bahwa fungsi f ini tak kontinu atau diskontinu di titik 1. Ketakkontinuan ini terjadi karena f (1) tidak ada.

Gambar 7.11 Grafik y = ( x 2 − x 1) ( − 1)

Jika fungsi f di atas di titik 1 kita berikan nilai f (1) = 3, maka grafikny a masih terputus di titik x = 1, dan fungsi f tersebut tetap tak kontinu di 1. Tetapi, jika kita mendefinisikan f (1) = 2, maka tidak terdapat lagi grafik yang terputus untuk fungsi ini dan fungsi f dikatakan kontinu di semua nilai x. Hal ini yang memotivasi definisi berikut.

Definisi 7.3 Fungsi f dikatakan kontinu di titik c, jika memenuhi ketiga syarat berikut. (1)

f (c) ada (2)

lim ( ) fx ada x → c

lim ( ) fx fc x → c = ()

Jika satu atau lebih dari ketiga syarat ini tidak dipenuhi di c, maka fungsi f dikatakan tak kontinu atau diskontinu di c. Fungsi yang kontinu di setiap titik dari daearah asalnya disebut fungsi kontinu.

Contoh 7.4.1 Tunjukkan bahwa fungsi

fx 3 () = x 4 + x − 7 , x ∈¡ , kontinu di x = 1.

Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA

Penyelesaian: Kita akan selidiki ketiga syarat kekontinuan.

f 3 (1) = (1) + 4(1) 7 −=− 2 (3) lim ( ) fx

=−= 2 f (1)

Ketiga syarat kekontinuan dipenuhi. Jadi, f kontinu di x = 1.

Contoh 7.4.2

Tunjukkan bahwa fungsi fx () = 2 tak kontinu di x = 3 dan x = –2 .

x −− x 6

Penyelesaian: Jika kita subtitusikan nilai x = 3 dan x = –2 ke dalam fungsi f, maka f (3) dan f (–2) nilainya tidak ada. Jadi, syarat kekontinuan yang pertama tidak terpenuhi. Dengan demikian, fungsi f tak kontinu di x = 3 dan x = –2.

Contoh 7.4.3 Tentukan daerah asalnya yang menyebabkan setiap fungsi berikut kontinu.

a. fx () = 2 b. gx () = x + 3

x − 4 x + 3 Penyelesaian:

a. Fungsi f kontinu di setiap bilangan real x kecuali untuk x yang memenuhi

x 2 − 4 x += 30 . Persamaan

x 2 − 4 x += 30 ⇔ ( x − 1)( x −= 3) 0 ⇔ x = 1 atau x = 3

Jadi, daerah asal sehingga f kontinu adalah D f = { x ∈ ¡ | x ≠ 1 atau x ≠ 3 } .

b. Fungsi g kontinu di setiap bilangan real x sehingga x +≥ 30 (ingat sifat akar). Karena x +≥ 30 dipenuhi untuk x ≥ − , maka daerah asal yang menyebabkan 3

kontinu g adalah D g = { x ∈ ¡ | x ≥− 3 } .

W Contoh 7.4.4

⎧ 3 x + 7 , untuk x ≤ 4

Misalkan

fx () = ⎨

. Tentukan nilai k sehingga f kontinu di x = 4.

⎩ kx − 1 , untuk x > 4

Penyelesaian: Syarat agar fungsi f kontinu di x = 4 adalah lim ( ) fx = f (4) . Kita perhatikan bahwa

f (4) = 3 · 4 + 7 = 19

dan untuk x ≤ 4 ,

lim ( ) − fx = lim (3 − x + = 7) 19

BAB VII ~ Limit Fungsi

Untuk x >, 4

lim ( ) + fx = lim ( + kx −= 1) 4 k − 1

Agar ada haruslah lim ( ) fx lim ( ) fx , yaitu

x lim ( ) → fx 4 x → 4 −

4k – 1 = 19 ⇔ k = 5.

Jadi, agar fungsi f kontinu di x = 4 haruslah k = 5. W

Latihan 7.4

1. Tentukan nilai-nilai sehingga setiap fungsi berikut tak kontinu di nilai-nilai tersebut.

x 2 +− x 6 x

a. fx () =

d. kx () =

b. gx () = 2 e. px () =

x +− x 6 x 2 − 3 x + 2

c. hx ⎧⎪ () = ⎨ x + 2 ⎪⎩

, untuk x ≠− 2

2 , untuk x =− 2

2. Tentukan daerah asal yang menyebabkan setiap fungsi berikut kontinu.

a. f (x) = x 2

(x + 2) 2 c. hx () = 2

x + 2 x − 8 x 2 − 1 ⎧⎪ ( x + 2) , untuk x ≤ 0

b. gx () =

d. kx () = ⎨

2 x + 7 ⎪⎩ 2 x +

2 , untuk x > 0

3. a. Apakah fungsi konstan merupakan fungsi kontinu?

b. Apakah fungsi tangga merupakan fungsi yang kontinu?

c. Apakah fungsi kuadrat merupakan fungsi kontinu?

4. Tentukan konstanta c dan k sehingga fungsi yang diberikan kontinu di titik yang diberikan.

⎧ kx − 1 , untuk x < 2

a. fx () = ⎨ 2 , untuk x = 2

⎩ kx

, untuk x ≥ 2

, untuk x ≤ 1

b. gx () = ⎨ cx + k , untuk 1 << x 4 , untuk x = 1 dan x = 4

⎪⎩ − x

2 , untuk x ≥ 4

Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA

5. Gaya gravitasi bumi yang dipancarkan oleh Bumi pada sebuah unit massa yang berada pada jarak r dari pusat planet adalah