Rataan Simpangan, Ragam, dan Simpangan Baku Jika kita mempunyai data xx 1 , 2 , … , x n dengan rataan x , maka kita dapat
1.6.3 Rataan Simpangan, Ragam, dan Simpangan Baku Jika kita mempunyai data xx 1 , 2 , … , x n dengan rataan x , maka kita dapat
menentukan selisih dari setiap data dengan x , sehingga diperoleh urutan data baru:
( x 1 − x ),( x 2 −… x ), ,( x n − x )
Urutan data itu tentu ada yang positif atau negatif. Karena jarak atau selisih tidak membedakan nilai yang bertanda positif atau negatif, maka nilai data itu dapat kita ambil harga mutlaknya,
x 1 − xx , 2 −… x , , x n − x
Jika urutan data di atas kita jumlahkan kemudian kita bagi dengan ukuran data (n), akan kita peroleh apa yang disebut rataan simpangan (RS),
RS =
dengan: RS = rataan simpangan
x i = nilai data amatan ke-i x = rataan
n = ukuran data Untuk data terkelompok rataan simpangan dirumuskan dengan
∑ fx i i − x
RS =
dengan: RS = rataan simpangan
x i = titik tengah kelas interval ke-i x = rataan
f i = frekuensi dari kelas interval ke-i
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA
Kelemahan dari nilai rataan simpangan adalah kita bekerja dengan bilangan harga mutlak, sehingga kita tidak dapat membedakan data yang mempunyai rentang yang lebih besar dengan rentang yang kecil meskipun mempunyai rataan simpangan yang sama. Sebagai contoh,
rentang data adalah 11. Tetapi lain halnya,
yang mempunyai rentang 5. Untuk mengatasi kelemahan rataan simpangan, kita menggunakan simpangan baku, yang dinotasikan dengan S. Kuadrat dari simpangan baku disebut ragam atau variansi.
Misalkan x adalah rataan dari kelompok data, , xx 1 , 2 , … , x n , maka ragam atau variansi dari kumpulan data itu ditentukan oleh rumus:
2 ∑ ( x i -) x
dengan: S 2 = ragam atau variansi
x i = nilai data amatan ke-i x = rataan
n = ukuran data
Sedangkan simpangan baku atau deviasi baku didefinisikan sebagai akar dari ragam, sehingga
∑ 2 ( xx
S = (1.17)
Untuk data terkelompok simpangan baku diberikan oleh
∑ 2 fx
S = (1.18)
dengan: S = simpangan baku
x i = titik tengah kelas interval ke-i x = rataan
f i = frekuensi kelas interval ke-i
Tugas Mandiri
Dengan menguraikan suku 2 ( x
i − x ) , tunjukkan bahwa rumus simpangan baku (1.17) dapat dituliskan sebagai
2 ∑ 2 () x
BAB I ~ Statistika
Contoh 1.6.4 Misalkan diketahui data tersebar:
35, 47, 39, 45, 40, 32, 42. Tentukan: rataan simpangan, ragam dan simpangan bakunya.
Penyelesaian: Dengan rumus (1.14) kita memperoleh rataan simpangan
Sedangkan ragam yang dapat kita peroleh dari rumus (1.20) adalah
2 (3240) − 2 + (35 40) − 2 + (39 40) − 2 + (40 40) − 2 + (4240) − 2 + (45 40) − 2 + (47 40) − S 2 = =
Jadi, simpangan bakunya adalah s = 2 4 = 4,9 .
Contoh 1.6.5 Hitung rataan simpangan dari kelompok data berikut.
Tabel 1.39 Kelas Interval
Penyelesaian: Kita gunakan rumus (1.15),
Tabel 1.40
Kelas Interval
Jadi, rataan simpangan adalah 4,525.
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA
Contoh 1.6.6 Tentukan ragam dan simpangan baku dari kelompok data pada contoh 1.6.5. Penyelesaian: Untuk menghitung ragam dan simpangan baku, kita gunakan rumus (1.16) dan
Tabel 1.41
Kelas Interval
1.147,4 Kita peroleh,
2 ∑ fx i ( i − x ) S 2 = = 1147,4 = 28,685
dan S = 5,36
Jadi, ragam S 2 = 28,685 dan simpangan baku S = 5,36.
Seperti pada perhitungan rataan yang dapat kita lakukan dengan menentukan lebih dahulu rataan sementara, simpangan baku dapat pula kita hitung dengan cara ini. Dengan metode ini, kita gunakan rumus
2 ∑ 2 fd
⎛ ∑ fd ii ⎞
ii
dengan: S = simpangan baku
f i = frekuensi kelas interval ke-i
d i = x i − x Contoh 1.6.7
Tentukan simpangan baku data pada contoh 1.6.6 dengan rataan sementara 42. Penyelesaian: Kita gunakan rumus (1.18)
Tabel 1.42
Kelas Interval
BAB I ~ Statistika
Jadi, simpangan bakunya adalah S = 5,36, yang sama seperti pada contoh 1.6.6. W
Latihan 1.6
1. Hitung rentang, simpangan kuartil, rataan simpangan, dan simpangan baku dari kelompok data berikut.
Tabel 1.43
a. Nilai
Frekuensi
Tabel 1.44
b. Tinggi
Banyak Anak 1 2 8 6 3 3 7
2. Hitung rataan simpangan dan simpangan baku dari data terkelompok berikut.
a. Tinggi
b. Kelas Interval
3. Hitung simpangan baku dari data-data pada soal no.2 dengan memakai rataan sementara.
4. Panjang papan diukur lima kali pengukuran dengan hasil pengukuran berbeda- beda, yaitu 12,01 m, 11,97 m, 12,14 m, 11,97 m, 12,00 m. Tentukan interval yang memuat panjang papan sebenarnya.
5. Tentukan nilai data yang tidak konsisten dalam kelompoknya kelompok data berikut ini.
a. 4, 5, 5, 7, 8, 4, 6, 6, 9, 3, 9, 12, 20, 10.
b. 20, 25, 26, 28, 30, 32, 33, 33, 32, 28, 29, 30, 30, 30.
6. Tentukan nilai data yang tidak konsisten dalam kelompoknya, dari data pada soal 2.
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA
7. Berikut ini adalah data hasil panen (dalam kwintal) dari seorang peternak ayam selama tahun 2007.
Tabel 1.47
Bulan
TV Merpati
TV Rajawali
a. Buatlah diagram kotak-garis bersama dari dua kelompok data tersebut.
b. Bandingkan karakteristik dari kelompok data tersebut.