Persamaan Lingkaran dengan Pusat O

4.1 Persamaan Lingkaran dengan Pusat O

Kita ingatkan kembali definisi dari lingkaran yang telah kita pelajari di SMP dahulu, yang definisi formalnya seperti berikut ini.

Definisi Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tetap.

Titik tetap itu disebut pusat lingkaran, dan jaraknya disebut jari-jari lingkaran. Ruas garis yang panjangnya 2r dan melalui pusat lingkaran disebut diameter lingkaran.

Sekarang kita akan menentukan

persamaan lingkaran

yang

pusatnya O(0,0) dan berjari-jari r. Kita ambil sembarang titik P(x,y) pada lingkaran itu. Jarak antara titik

P (x,y)

O dan P adalah

2 2 2 d 2 = ( x − X 0) + ( y − 0) = x + y

Karena jarak antara O dan P adalah jari-jari lingkaran, maka

2 2 2 2 r 2 = x + y atau x + y = r

Gambar 4.3

Karena titik (x,y) adalah sembarang titik pada lingkaran, maka setiap titik pada lingkaran

2 2 berlaku 2 x + y = r . Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari r adalah

Contoh 4.1.1 Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dan

a. berjari-jari 4

b. melalui titik P(3, – 5)

Penyelesaian:

a. Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari 4 mempunyai persamaan

x 2 +y 2 = 16

b. Pusat lingkaran O(0,0). Karena lingkaran melalui P, maka jari-jari lingkaran adalah

2 jarak titik O ke titik P. Jarak OP = 2 (3 0) − +−− ( 5 0) = 34 . Jadi persamaan lingkaran yang diminta adalah

2 x 2 + y = 34

W Contoh 4.1.2

Diketahui titik A(0,1) dan B(0,9). Tentukan tempat kedudukan dari semua titik P(x,y) sehingga PB = 3PA. Kemudian periksa kedudukan dua titik (1,1) dan (2,– 4) terhadap tempat kedudukan tersebut.

BAB IV ~ Lingkaran

Penyelesaian: Kita ambil sembarang titik P(x,y) di tempat kedudukan. Dari rumus jarak dua titik, kita peroleh

2 2 2 PB 2 = ( x − 0) + ( y − 9) dan PA = ( x − 0) + ( y − 1) Dari syarat yang diberikan

PB = 3PA

PB ⇔ 2 = 9PA 2

2 2 2 ⇔ 2 x + ( y − 9) = 9[ x + ( y − 1) ]

2 2 2 ⇔ 2 x + y − 18 y + = 81 9 x + 9 y − 18 y + 9

2 ⇔ 2 8 x + 8 y = 72

Jadi, tempat kedudukan titik-titik itu adalah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari 3.

Kedudukan titik (1,1) berada di dalam lingkaran 2 x 2 + y = 9 karena 2 1 2 + 1 = 2 < 9 ,

2 sedangkan titik (2,– 4) berada di luar lingkaran karena 2 2 + ( − 4 ) = 18 > 9 . W

Latihan 4.1

1. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O dan jari-jari:

a. 8 b. 0,5

c. a

2. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O dan melalui titik:

3. Tentukan pusat dan jari-jari dari setiap lingkaran berikut ini.

a. 2 2 2 2 2 x 2 + y = 64 b. x + y = 18 c. 4 x + 4 y = 25

4. Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai pusat sama (konsentrik) dengan

2 lingkaran 2 x + y = 9 tetapi jari-jarinya tiga kali lebih panjang.

5. Diketahui sisi-sisi persegi mempunyai persamaan x = 3, x = –3 , y = 3 dan y = –

3 . Tentukan persamaan lingkaran:

a. yang menyinggung semua sisi persegi.

b. yang melalui keempat titik sudut persegi.

6. Tentukan a agar titik yang diketahui terletak pada lingkaran yang diberikan.

2 a. 2 (a,–2), x + y = 13

2 b. 2 (a,6), x + y = 40

2 c. 2 (a,a), x + y = 72

7. Diketahui persamaan lingkaran x 2 +y 2 = 72.

a. Berapakah jari-jari lingkaran itu?

b. Tentukan letak titik-titik berikut terhadap lingkaran itu: (– 6,6); (–3, 6); (9, 0); (7, 5), dan (4, –6).

Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA

8. Diketahui persamaan lingkaran x 2 +y 2 =r 2 . Tentukan nilai r agar:

a. titik (4, –3) terletak pada lingkaran itu

b. titik (1,3) terletak di luar lingkaran itu

c. titik (12,5) terletak di dalam lingkaran itu

9. Misalkan titik A(1,0) dan B(9,0). Tentukan tempat kedudukan dari semua titikP(x,y) sehingga PB = 3PA.

10. Tentukan tempat kedudukan dari semua titikP(x,y) sehingga:

a. PB = 2PA, untuk A(0,2) dan B(0,8)

b. PB = 3PA, untuk A(1,1) dan B(9,9).