Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

6.8 Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

Perhatikan diagram panah berikut ini

Gambar 6.33

Pada gambar di atas, jika fungsi komposisi g o f memetakan a ∈ ke c C A ∈ , maka fungsi invers dari g o f , yaitu ( g o − 1 f ) memetakan c ∈ C kembali ke a ∈ A .

Contoh 6. 8.1 Diketahui f (x) = x 3 dan g(x) = 2x + 1, x ∈ ¡ . Tentukan

Penyelesaian: Dari pengertian komposisi fungsi

3 ( 3 ( g o f )( ) x = gfx ( ( )) = gx () = 2 x + 1

Misalnya ( g o − 1 f )() x = y , maka

2 3 x += 1 y ⇔ 3 2 x =− y 1 y − 1

o − 1 3 x − Jadi, 1 ( g f )() x = .

W Contoh 6.8.2

Diketahui f (x) = x 3 dan g(x) = 2x + 1, x ∈¡ . Tentukan − 1 f − o 1 g .

Penyelesaian: Mudah kita tunjukkan bahwa jika f (x) = x 3 dan g(x) = 2x + 1, maka

f () x = x dan g () x =

BAB VI ~ Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

Oleh karena itu,

− ( 1 f o − 1 − 1 − g 1 )( ) x = f ( g (( )) x − 1 − = 1 f ( g (( )) x

Dari contoh 6.8.1 dan contoh 6.8.2 di atas kita peroleh bahwa

Apakah hubungan ini selalu benar untuk sembarang dua fungsi yang mempunyai fungsi invers ? Ya, formula ini memang berlaku untuk sembarang dua fungsi yang mempunyai fungsi invers.

Teorema 6.3 Jika f dan g dua fungsi yang mempunyai fungsi invers dan komposisi keduanya ada, maka berlaku

Bukti: Untuk membuktikan sifat ini, menurut Teorema 6.2 cukup kita buktikan

− ( 1 f o g )( o g o − 1 f ) = I

Kita perhatikan bahwa

− 1 f 1 o ( − g )( o g o f ) = f o

− 1 − ( 1 gg o ) o f (sifat asosiatif) oo − =fI 1 f ( gg o − 1 = I )

− = 1 ( f o I ) o f (sifat asosiatif) − =o 1 f f ( f o I = f )

= I o Jadi, terbukti bahwa − 1 − ( 1 f g ) = g o − 1 f .

Tugas Kelompok

Diskusikan dengan kelompok Anda untuk membuktikan bahwa:

o o − 1 − ( 1 f gh ) = h o − 1 o − g 1 f

Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA

Contoh 6.8.3 Diketahui fungsi f dan g pada ¡ dengan g(x) = x – 3 dan ( g o f )( ) x = 3 x − 5 . Tentukan

fungsi f. Penyelesaian:

Dari fungsi g yang diberikan, kita mempunyai − 1 g () x =+ x 3 . Di pihak lain, kita mempunyai hubungan

Akibatnya,

− fx 1 () = ( g o ( g o f ))( ) x − = 1 g (( g o f ))( ) x − = 1 g (3 x − 5) = (3 x −+ 5) 3

Jadi, f(x) = 3x – 2. W Pada bagian akhir ini, kita kembali kepada ilustrasi di awal bab tentang percobaan

kimia yang dilakukan oleh Santi. Contoh 6.8.4

Santi harus melakukan percobaan kimia melalui dua tahap yaitu tahap I dan tahap II. Lamanya (dalam menit) proses percobaan pada setiap tahap merupakan fungsi terhadap banyaknya molekul yang diberikan. Pada tahap I untuk sebanyak x mol bahan,

diperlukan waktu selama fx () =+ x 2 , sedangkan pada tahap II memerlukan waktu

gx 2 () = 2 x − 1 .

a. Jika bahan yang tersedia untuk percobaan sebanyak 10 mol, berapa lama satu percobaan sampai selesai dilakukan?

b. Jika waktu yang diperlukan untuk satu percobaan adalah 127 menit, berapa mol bahan yang diperlukan? Penyelesaian:

a. Masalah ini merupakan aplikasi dari komposisi dua fungsi. Untuk melakukan satu percobaan sampai selesai, waktu yang diperlukan adalah

2 f 2 )( ) x = gfx ( ( )) = 2( x + 2) −= 12 x + 4 x + 3 Untuk x = 10, 2 ( g o f )(10) = 2(10) + 4(10) 3 += 243 . Jadi, waktu yang perlukan untuk satu percobaan dengan bahan sebanyak 10 mol adalah 243 menit.

b. Sebaliknya, masalah ini merupakan penerapan dari invers komposisi dua fungsi.

Dari fx () =+ x 2 dan

gx 2 () = 2 x − 1 , kita peroleh

f () x =− x 2 dan g () x =

BAB VI ~ Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

Dengan menerapkan Teorema 6.3,

o − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 x + ( 1 g f ) () x = ( f o g )( ) x = f ( g ( )) x = − 2 .

Untuk x = 127 diperoleh ( g o f ) (127) =

−= 2 6 . Jadi, untuk waktu 127

menit percobaan itu memerlukan bahan sebanyak 6 mol. W

Latihan 6.8

1. Tentukan rumus untuk

− ( 1 g o f ) , apabila fx () = 2 x + 3 dan gx () =− 23 x dengan:

− ( 1 f o g ) dan

a. mencari dahulu f o g dan g o f ,

b. menggunakan sifat

2. Dengan Teorema 6.3, tentukan

o − ( 1 f g ) ( g f ) untuk f dan g yang diberikan.

o − 1 dan

a. fx () =

dan

gx 2 () = x , untuk x ≥ 0 .

b. 2 f (x) = 3x – 2 dan gx () = x −+ x 3 , untuk x ≥ 12 .

− 1 − 1 − 3. 1 Jika f () x = 3 x − 1 dan g () x = x untuk x ≥ 0 , hitung ( f o g ) (2) dan − ( 1 g o f ) (2) .

4. − Jika f (x) = 2x + 1 dan 1 ( f gx )( ) = f () x , tentukan fungsi g .

5. Diberikan dua fungsi f dan g pada ¡ , tentukan fungsi g jika:

a. f (x) = 2x dan ( g o f )( ) x =+ x 6 ,

b. f (x) = 2x dan ( g o f )( ) 1 1 2 x =− x ,

c. f (x) = x 2 + 5 dan

( 2 f o gx )( ) = x + 2 x + 6 .

6. Jika fx () =

gx 2 () = x untuk x ≥ 0 , tentukan daerah asal dari x + 2

dan

7. Suatu perusahaan telah menaksir bahwa biaya (dalam jutaan rupiah) memproduksi x barang adalah

Cx 2 ( ) 10.000 0, 001 = + x

a. Jika barang yang diproduksi sebanyak 500, berapa total biaya yang diperlukan?

b. Jika tersedia biaya sebesar 11 juta rupiah berapa banyak barang yang dihasilkan?

Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA

8. Pada suatu perusahaan, mesin I mengubah bahan mentah menjadi bahan setengah jadi, dan mesin II mengubah bahan setengah jadi menjadi bahan jadi.