Persamaan Sukubanyak Perasamaan sukubanyak kita maksudkan adalah persamaan yang berbentuk
5.5 Persamaan Sukubanyak Perasamaan sukubanyak kita maksudkan adalah persamaan yang berbentuk
n − ax 1
+ a n − 1 x ++ K ax 1 + a 0 = 0
dengan aa n , n − 1 , K , a 0 adalah konstanta, a n ≠ 0 dan n bilangan asli. Harga x = h yang jika kita subtitusikan ke sukubanyak memenuhi persamaan (5.1), maka h disebut akar
dari persamaan itu. Sebagai contoh, persamaan
3 x 2 3x +x3=0
mempunyai akar 3, karena untuk x = 3,
Secara geometri, jika x = h akar dari persamaan sukubanyak F(x) = 0, maka grafik dari y = F(x) memotong sumbu-x di h. Sebagai contoh, jika F(x) = x 3 3x 2 + x 3, maka grafik dari y = F(x) memotong sumbu-x di 3, lihat gambar 5.2.
BAB V ~ Sukubanyak
Pada sub-bab 5.4 telah kita pahami bahwa jika F(x) sukubanyak, maka Teorema Faktor menyatakan bahwa F(h) = 0 jika dan hanya jika ( x − h ) merupakan faktor dari F(x). Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa:
h akar persamaan F(x) = 0 jika dan hanya jika F(h) = 0. Jika F(x) sukubanyak berderajat n, maka F(x) mempunyai faktor linear paling banyak n. Oleh karena itu, jika F(x) = 0 persamaan sukubanyak berderajat n, maka persamaan
itu paling banyak mempunyai n akar. Contoh 5.5.1
Buktikan bahwa 2 adalah akar persamaan x 3 2x 2 x + 2 = 0 dan tentukan akar-akar yang lain. Penyelesaian:
Misalkan F(x) = x 3 2x 2 x + 2. Karena F(x) berderajat tiga, maka F(x) = 0 paling banyak mempunyai 3 akar. Untuk membuktikan bahwa 2 adalah akar dari persamaan F(x) = 0, cukup dibuktikan F(2) = 0,
2 1 -2 -1 2
2 0 -2
1 0 -1 0
Pembagian sintetik menghasilkan F(2) = 0. Jadi, 2 adalah akar persamaan x 3 2x 2 x+
2 = 0. Lebih lanjut, pada pembagian tersebut hasil baginya adalah (x 2 1), sehingga
x 3 2x 2 x + 2 = (x 2 ) (x 2 1) = (x 2) (x 1) (x + 1) Jadi, akar-akar dari x 3 2x 2 x + 2 = 0 adalah 2, 1, dan 1.
Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA
Pada akhir bab ini kita akan membantu permasalahan Herman yang diberikan pada ilustrasi awal bab.
Contoh 5.5.2 Herman bermaksud membuat suatu kotak yang volumenya 270 dm 3 , dengan ketentuan
bahwa lebar kotak 3 dm lebih pendek dari panjangnya, dan tingginya 1 dm lebih pendek dari lebarnya. Berapa dimensi kotak yang dapat dibuat oleh Herman? Penyelesaian: Misal lebar kotak adalah x dm, maka panjang kotak adalah (x + 3) dm, dan tingginya adalah ( x − 1) dm, sehingga volume kotak adalah
V(x) = (x + 3) x (x 1) dm 3
Karena disyaratkan bahwa volume kotak adalah 270 dm 3 , maka haruslah (x + 3) x (x 1) = 270 atau x 3 + 2x 2 3x 270 = 0 Permasalahannya sekarang adalah mencari akar real dari persamaan sukubanyak ini. Dengan Teorema Faktor, karena F(x) = x 3 + 2x 2 3x 270 berderajat 3, maka F(x) = 0 paling banyak mempunyai 3 akar real. Pembagi bulat yang mungkin dari 270, diantaranya adalah 6, dan kita lakukan pembagian sintetik
6 1 2 -3 -270
Pembagian sintetik menghasilkan bahwa
x 3 + 2x 2 3x 270 = (x 6) (x 2 + 8x + 45).
Akan tetapi persamaan kuadrat x 2 + 8x + 45 = 0 tidak mempunyai akar real. Mengapa? Dengan demikian, nilai x yang mungkin hanyalah 6. Jadi, kotak yang dibuat Herman dengan volume 270 dm 3 berukuran: lebar 6 dm, panjang 9 dm dan tinggi 5 dm.
Tugas Kelompok
Diskusikan penyelesaian dari soal-soal berikut dengan kelompok Anda.
1. Diketahui kerucut lingkaran tegak berjari-jari 5 cm dan tinggi 12 cm, kemudian di dalam kerucut tersebut dibuat suatu tabung. Jika jari-jari tabung adalah r cm, dan tingginya adalah h cm.
a. Nyatakan volume tabung sebagai sukubanyak dalam peubah r. b.Jika volume tabung adalah 400 9π cm 3 , berapakah jari-jari tabung ini?
2. Jika sebuah tangki menampung 5000 liter air, yang mengalir keluar dari alas tangki dalam 40 menit, maka Hukum Torricelli memberikan isi V dari air yang tersisa di tangki setelah t menit adalah
V 5000 1 ⎛ t = ⎞ ⎜ − ⎟ , 0 ≤≤ t 40
a. Tentukan sisa air dalam tangki setelah 5 menit, 10 menit, dan 30 menit.
b. Kapan air dalam tangki tersisa hanya 1250 liter?
BAB V ~ Sukubanyak
Latihan 5.5
1. Buktikan bahwa 1 adalah akar persamaan x 3 9x 2 + 20x 12 = 0, dan tentukan akar-akar yang lain.