Persamaan Umum Lingkaran Pada bagian sebelumnya telah kita ketahui bahwa persamaan lingkaran yang berpusat

4.3 Persamaan Umum Lingkaran Pada bagian sebelumnya telah kita ketahui bahwa persamaan lingkaran yang berpusat

di P(a,b) dengan jari-jari r adalah

Jika ruas kiri dari persamaan ini kita uraikan, maka akan diperoleh

x 2 +y 2 – 2ax – 2by + a 2 +b 2 –r 2 =0

Persamaan ini dapat kita tuliskan dalam bentuk:

x 2 +y 2 + 2Ax + 2By + C = 0,

, , dan C = a 2 +b 2 –r A 2 =− a B =− b . Persamaan terakhir ini disebut persamaan bentuk umum lingkaran. Dari bentuk umum ini kita dapat mencirikan persamaan lingkaran, yaitu koefisien x 2 dan y 2 selalu sama, dan suku xy tidak muncul dalam persamaan itu. Dengan melengkapi bentuk kuadrat dari persamaan bentuk umum di atas kita peroleh persamaan :

(x – (–A)) 2 + (y – (– B)) 2 =A 2 +B 2 –C

Dengan kata lain, persamaan x 2 +y 2 + 2Ax + 2By + C = 0 adalah persamaan lingkaran yang berpusat di (– A,– B) dengan jari-jari r =

BAB IV ~ Lingkaran

Contoh 4.3.1 Tunjukkan bahwa persamaan x 2 +y 2 – 6x + 4y + 16 = 0 adalah persamaan lingkaran,

kemudian tentukan pusat dan jari-jarinya. Penyelesaian: Dari persamaan yang diberikan kita dapat melengkapi bentuk kuadrat:

x 2 +y 2 – 6x + 4y + 16 = 0

x ⇔ 2 – 6x + y 2 + 8y = – 16

⇔ (x 2 – 6x + 9) + (y 2 + 8y + 16) = – 16 + 9 + 16 ⇔ (x – 3) 2 + (y + 4) 2 =9 (x – 3) ⇔ 2 + (y – ( – 4)) 2 =3 2

Jadi, persamaan di atas adalah persamaan lingkaran dengan pusat (3, – 4) dan berjari- jari 3.

Tugas Kelompok

Diskusikan penyelesaian dari soal-soal berikut ini.

1. Diketahui selembar kertas ABCD berbentuk bujur sangkar dengan sisi 1 meter. Seperempat lingkaran digambarkan dari B ke D dengan pusat A. Lembar kertas itu dilipat sepanjang EF, dengan E pada AB dan F pada AD, sehingga A jatuh pada seperempat lingkaran. Tentukan luas segitiga AEF yang mungkin.

2. Lingkaran L 1 dan L 2 masing-masing berjari-jari 1 dan 7, dan jarak kedua pusat

lingkaran adalah 12. Jika PQ dan RS adalah garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran, berapakah luas daerah yang dibatasi oleh sabuk lilitan luar?

Contoh 4.3.2 Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik O(0,0), A(–2 ,4) dan B(–1,7).

Penyelesaian: Bentuk umum persamaan lingkaran

x 2 +y 2 + 2Ax + 2By + C = 0

Dengan mensubtitusikan koordinat-koordinat titik-titik O, A dan B ke dalam persamaan ini, kita peroleh:

0 2 +0 2 + 2A.0 +2b.0 + C = 0 ⇒ C=0

2 ( 2) 2 − + 4 − 4 A + 8 B += 0 0 ⇒ −+ A 2 B =− 5

2 ( 1) 2 − + 7 − 2 A + 14 B += 0 0 ⇒ −+ A 7 B =− 50

dengan menyelesaikan sistem persamaan

−+ A 2 B =− 5 dan −+ A 7 B =− 50

kita peroleh A = –13 dan B = – 9. Jadi, lingkaran yang ditanyakan mempunyai persamaan

2 x 2 +y – 26x – 18y = 0

Matematika SMA/MA Kelas XI - IPA

Latihan 4.3

1. Tentukan pusat dan jari-jari dari setiap lingkaran berikut.

a. 2 2 c. 2 2 4 2 x + 4 y + 8 x − 16 y + = 11 0 x + y + 2 sin θ x − 2 cos θ y + sin θ = 0

b. 2 2 2 x + 2 y + 4 x − 3 y = 0

2. Manakah dari titik-titik berikut yang terletak pada lingkaran

2 x 2 + y + 4 x − 8 y −= 5 0 ?

3. Tentukan A dan B sehingga titik yang diketahui terletak pada lingkaran diberikan:

a. (1,2); 2 2 2 x 2 + y − 2 Ax + 3 y += 10 b. (–1,2); x + y − 5 x − 2 By −= 6 0

4. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik (0,0), (1,3), dan (–3,–2).

5. Tentukan persamaan lingkaran luar segitiga ABC jika A(2,3), B(1,6) dan C(0,-1). Tentukan pula titik pusat dan jari-jarinya.

6. Tentukan persamaan lingkaran luar segitiga yang sisi-sisinya adalah:

a. 2x + y = 0; y = 2 dan x = –2

b. y = –2 x + 5; 3x – y = –5 dan x – 7y = 25

7. Tunjukkan bahwa lingkaran x 2 + y 2 – 2x – 4y = 0 melalui titik asal, memotong sumbu-x di (2,0) dan memotong sumbu-y di (4,0).

8. Diketahui lingkaran x 2 +y 2 + 6x – 8y = 0. Mana yang benar pernyataan berikut?

a. jari-jarinya 5,

b. pusatnya terletak pada garis x + 2y = 5,

c. titik (0,0) terletak di dalam lingkaran,

d. menyinggung garis y = 9,

e. berpotongan dengan garis y = x,

f. lingkaran x 2 +y 2 + 6x – 8y + 21= 0

terletak di dalamnya.

9. Tentukan jarak titik-titik berikut dengan lingkaran yang diberikan.

a. (7,4) dan x 2 +y 2 – 6x – 8y = 0,

b. (–1,– 7) dan x 2 +y 2 = 36,

c. (2,–1) dan x 2 +y 2 + 3x – 7y – 18 = 0.

10. Diketahui titik A(–3,4) dan B(2,– 1). Buktikan bahwa persamaan tempat kedudukan P(x,y) sehingga 2AP = 3PB adalah suatu lingkaran. Tentukan pusat dan jari-jarinya.