c Gambar 2.7 : Elemen Tiga –Dimensi
a b
Gambar 2.8 : elemen axisimetri
2.12. Fungsi Interpolasi Elemen Simpleks Dua Dimensi
Metode elemen hingga didasarkan atas konsep pendekatan dari fungsi – fungsi kontinu seperti temperatur, tekanan, dan perpindahan ke model diskrit. Bentuk
yang sering digunakan dari fungsi interpolasi adalah bentuk polinomial. Derajat dari polinomial dipilih bergantung pada banyaknya item yang diketahui dari
fungsi kontinu pada setiap elemen. Terdapat tiga macam fungsi interpolasi yang dipakai dalam metode elemen hingga, yaitu: simpleks, kompleks, dan multipleks
Susatio, 2004. Elemen simpleks adalah pendekatan yang dilakukan dengan polinomial
yang terdiri dari suku konstan dan suku linier. Banyaknya koefisien dalam
Universitas Sumatera Utara
polinomial sama dengan dimensi dari koordinat ruang yang ada ditambah satu Susatio, 2004.
Titik-titik tertentu dalam elemen-elemen, seperti sudut-sudut elemen segitiga, ditunjuk sebagai titik nodal. Biasanya, polinomial digunakan sebagai fungsi
interpolasi karena mudah untuk didiferensialkan dan diintegralkan. Setiap fungsi interpolasi polinomial akan selalu kontinu dalam suatu elemen., sehingga kondisi
tersebut berlaku untuk batas antar elemen. Elemen simpleks memiliki polinomial linier Allaire, 1985.
Elemen axisimetri terbentuk dari suatu luasan yang diputar disekitar sumbu yang terletak pada luasan tersebut. Untuk elemen simpleks axisimetri adalah elemen
segitiga dengan fungsi interpolasi linier berbentuk � �, � = �
1
+ �
2
� + �
3
� 2.35
� �, � = �
4
+ �
5
� + �
6
� 2.36
Banyaknya koefisien �
�
adalah 6, yang sama dengan jumlah derajat kebebasan elemen.
Displacement nodal adalah:
| �| = �
�
�
�
�
�
�
� = �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
2.37
Evaluasi u pada node i: ��
�
, �
�
= �
�
= �
1
+ �
2
�
�
+ �
3
�
�
Bentuk umum dari fungsi displacment dinyatakan dalam bentuk matriks adalah:
[ �] = ��
� � =
� �
1
+ �
2
� + �
3
� �
4
+ �
5
� + �
6
�� = � 1
� � 1
� �� �
� �
1
�
2
�
3
�
4
�
5
�
6
� �
Universitas Sumatera Utara
2.38 Dengan mensubsitusikan koordinat nodal pada persamaan 2.36, maka besarnya a
masing-masing adalah �
�
1
�
2
�
3
� = � 1
�
�
�
�
1 �
�
�
�
1 �
�
�
�
�
−1
� �
�
�
�
�
�
� 2.39
� �
4
�
5
�
6
� = � 1
�
�
�
�
1 �
�
�
�
1 �
�
�
�
�
−1
� �
�
�
�
�
�
� 2.40
Untuk invers matriks pada persamaan 2.37 dan 2.38, dihasilkan
� �
1
�
2
�
3
� = 1
2 �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
� 2.41
� �
1
�
2
�
3
� = 1
2 �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
� 2.42
dimana: �
�
= �
�
�
�
− �
�
�
�
�
�
= �
�
�
�
− �
�
�
�
�
�
= �
�
�
�
− �
�
�
�
�
�
= �
�
- �
�
�
�
= �
�
- �
�
�
�
= �
�
- �
�
�
�
= �
�
− �
�
�
�
= �
�
− �
�
�
�
= �
�
− �
�
2.13. Menurunkan Elemen Matriks dan Vektor