Persamaan Navier-Stokes Potensial Kecepatan Fungsi Arus

2.6. Hubungan Tegangan-Deformasi

Untuk fluida Newtonian tak mampu-mampat, diketahui bahwa tegangan berbanding lurus terhadap laju deformasi dan dapat dinyatakan dalam koordinat Cartesius sebagai untuk tegangan normal � �� = −� + 2� �� �� 2.22 � �� = −� + 2� �� �� 2.23 � �� = −� + 2� �� �� 2.24 untuk tegangan geser � �� = � �� = � � �� �� + �� ��� 2.25 � �� = � �� = � � �� �� + �� ��� 2.26 � �� = � �� = � � �� �� + �� ��� 2.27 Dimana p adalah tekanan yang merupakan negatif dari rata-rata tiga tegangan normal, artinya −� = � 1 3 � �� �� + � �� + � �� �

2.7. Persamaan Navier-Stokes

Tegangan yang telah didefinisikan sebelumnya dapat disubstitusikan kedalam persamaan diferensial gerakan dan disederhanakan dengan menggunakan persamaan kontinuitas untuk mendapatkan � � �� �� + � �� �� + � �� �� + � �� ��� = − �� �� + �� � + � � � 2 � �� 2 + � 2 � �� 2 + � 2 � �� 2 � 2.28 a � � �� �� + � �� �� + � �� �� + � �� ��� = − �� �� + �� � + � � � 2 � �� 2 + � 2 � �� 2 + � 2 � �� 2 � 2.28 b Universitas Sumatera Utara � � �� �� + � �� �� + � �� �� + � �� �� � = − �� �� + �� � + � � � 2 � �� 2 + � 2 � �� 2 + � 2 � �� 2 � 2.28 c Suku-suku percepatan berada di ruas kiri dan suku-suku gaya diruas kanan. Persamaan 2.26 disebut sebagai persamaan Navier-Stokes , dinamakan demikian untuk menghormati ahli matematika Prancis, L.M.H Navier 1758-1836 dan ahli mekanika Inggris Sir G.G.Stokes 1819-1903, yang menemukan rumus-rumus tersebut. Persamaan Navier-Stokes dianggap sebagai persamaan differensial pengatur dari gerakan fluida Newtonian tak mampu-mampat.

2.8. Potensial Kecepatan

Komponen kecepatan dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi skalar ∅�, �, �, � � = �∅ �� , � = �∅ �� , � = �∅ �� 2.29 Dimana ∅ disebut sebagai potensial kecepatan. Untuk suatu fluida tak mampu mampat dari kekekalan massa bahwa � . � = � Dan oleh karena itu untuk aliran tak mampu-mampat, tak berotasi dengan � = �∅ ∇ 2 ∅ = �∅ �� 2 + � 2 ∅ �� 2 + � 2 ∅ �� 2 2.30 Disebut persamaan Laplace

2.9. Fungsi Arus

Fungsi arus didefinisikan sebagai � = �� �� , dan � = − �� �� v 2.31 Sehingga persamaan kontinuitas dengan �� �� = 0 terpenuhi untuk semua aliran datar, sehingga Universitas Sumatera Utara �� �� − �� �� = 0 2.32 Dan dinyatakan dalam fungsi arus � 2 � �� 2 + � 2 � �� 2 = 0 2.33 Tiga sifat dari fungsi arus adalah: • Fungsi arus memiliki nilai konstan di sepanjang streamline • Streamline dan garis potensial konstan berpotongan pada sudut siku-siku • Selisih fungsi-fungsi arus diantara dua garis arus adalah laju aliran � persatuan kedalaman diantara kedua garis arus, sehingga � = � 2 − � 1 Untuk sebuah aliran tak-berotasi pada bidang, dapat menggunakan baik itu potensial kecepatan atau fungsi arus, keduanya harus memenuhi persamaan Laplace dua-dimensi.

2.10. Metode Elemen Hingga