2.6. Hubungan Tegangan-Deformasi
Untuk fluida Newtonian tak mampu-mampat, diketahui bahwa tegangan berbanding lurus terhadap laju deformasi dan dapat dinyatakan dalam koordinat
Cartesius sebagai untuk tegangan normal �
��
= −� + 2�
�� ��
2.22 �
��
= −� + 2�
�� ��
2.23
�
��
= −� + 2�
�� ��
2.24 untuk tegangan geser
�
��
= �
��
= � �
�� ��
+ ��
��� 2.25
�
��
= �
��
= � �
�� ��
+ ��
��� 2.26
�
��
= �
��
= � �
�� ��
+ ��
��� 2.27
Dimana p adalah tekanan yang merupakan negatif dari rata-rata tiga tegangan normal, artinya
−� = �
1 3
� ��
��
+ �
��
+ �
��
�
2.7. Persamaan Navier-Stokes
Tegangan yang telah didefinisikan sebelumnya dapat disubstitusikan kedalam persamaan diferensial gerakan dan disederhanakan dengan menggunakan
persamaan kontinuitas untuk mendapatkan
� � ��
�� +
� ��
�� +
� ��
�� +
� ��
��� =
− ��
�� +
��
�
+ � �
�
2
� ��
2
+ �
2
� ��
2
+ �
2
� ��
2
�
2.28 a
� � ��
�� +
� ��
�� +
� ��
�� +
� ��
��� =
− ��
�� +
��
�
+ � �
�
2
� ��
2
+ �
2
� ��
2
+ �
2
� ��
2
�
2.28 b
Universitas Sumatera Utara
� � ��
�� +
� ��
�� +
� ��
�� +
� ��
�� � =
− ��
�� +
��
�
+ � �
�
2
� ��
2
+ �
2
� ��
2
+ �
2
� ��
2
�
2.28 c
Suku-suku percepatan berada di ruas kiri dan suku-suku gaya diruas kanan. Persamaan 2.26 disebut sebagai persamaan Navier-Stokes , dinamakan demikian
untuk menghormati ahli matematika Prancis, L.M.H Navier 1758-1836 dan ahli mekanika Inggris Sir G.G.Stokes 1819-1903, yang menemukan rumus-rumus
tersebut. Persamaan Navier-Stokes dianggap sebagai persamaan differensial pengatur dari gerakan fluida Newtonian tak mampu-mampat.
2.8. Potensial Kecepatan
Komponen kecepatan dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi skalar ∅�, �, �, �
� =
�∅ ��
, � =
�∅ ��
, � =
�∅ ��
2.29
Dimana ∅ disebut sebagai potensial kecepatan. Untuk suatu fluida tak mampu
mampat dari kekekalan massa bahwa
� . � = �
Dan oleh karena itu untuk aliran tak mampu-mampat, tak berotasi dengan
� = �∅
∇
2
∅ = �∅
��
2
+ �
2
∅ ��
2
+ �
2
∅ ��
2
2.30
Disebut persamaan Laplace
2.9. Fungsi Arus
Fungsi arus didefinisikan sebagai � =
�� ��
, dan � = −
�� ��
v 2.31
Sehingga persamaan kontinuitas dengan
�� ��
= 0 terpenuhi untuk semua aliran datar, sehingga
Universitas Sumatera Utara
�� �� −
�� ��
= 0 2.32
Dan dinyatakan dalam fungsi arus �
2
� ��
2
+ �
2
� ��
2
= 0 2.33
Tiga sifat dari fungsi arus adalah: •
Fungsi arus memiliki nilai konstan di sepanjang streamline •
Streamline dan garis potensial konstan berpotongan pada sudut siku-siku •
Selisih fungsi-fungsi arus diantara dua garis arus adalah laju aliran �
persatuan kedalaman diantara kedua garis arus, sehingga � = �
2
− �
1
Untuk sebuah aliran tak-berotasi pada bidang, dapat menggunakan baik itu potensial kecepatan atau fungsi arus, keduanya harus memenuhi persamaan
Laplace dua-dimensi.
2.10. Metode Elemen Hingga