Rumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian Metodologi Penelitian Kerangka Penelitian

Persamaan Navier-Stokes adalah persamaan differensial dasar yang menggambarkan aliran dari fluida Newtonian tak mampu-mampat. Aplikasi dari Metode Elemen Hingga banyak dilakukan pada problem kompleks seperti rekayasa struktur, Steady State dan Time Dependent Heat Transfer, Fluid Flow, dan Electrical Potential Problem, aplikasi bidang medikal. Berdasarkan latar belakang tersebut, maka penulis memilih judul penelitian ini dengan, “Implementasi Metode Elemen Hingga dalam Persoalan Aliran Darah pada Pembuluh Darah ”

1.1. Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang akan diteliti adalah bagaimana distribusi tekanan didalam pembuluh darah yang mengalami penyempitan dengan menggunakan Metode Elemen Hingga pada Persamaan Navier Stokes

1.2. Batasan Masalah

Dalam penelitian ini, penulis memiliki batasan dalam penelitian yang dilakukan yaitu terbatas pada persoalan penyempitan aliran darah dalam pembuluh darah arteri yang disimulasikan dengan software Comsol Multiphysics 4.2

1.3. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk Mengetahui bagaimana distribusi tekanan aliran darah pada pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan dan yang mengalami penyempitan

1.4. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai gambaran mengenai implementasi Metode Elemen Hingga dalam distribusi tekanan pada pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan dan yang mengalami penyempitan. Universitas Sumatera Utara

1.5. Metodologi Penelitian

Penelitian ini adalah penelitian literatur yang disusun dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Memaparkan hubungan konsep aliran darah pada Persamaan Navier-Stokes. 2. Menentukan kondisi awal dan batas 3. Mencari formula weak dari persamaan Navier - Stokes 4. Menentukan model matematika dengan Metode Elemen Hingga 5. Perhitungan elemen matriks dan elemen vector dengan bantuan software comsol 4.2 6. Menentukan model aliran jika terjadi penyempitan sebesar 25, 50 dan 75 pada pembuluh darah 7. Menggunakan bantuan software comsol 4.2 untuk memberikan visualisasi model aliran dan penyempitan pembuluh darah Universitas Sumatera Utara

1.6. Kerangka Penelitian

Berikut adalah kerangka penelitian yang akan dilakukan dari keterangan metodologi penelitian: Aliran darah pada pembuluh darah Persamaan Navier-Stokes Metode Galerkin Kondisi Awal Dan Batas Metode Elemen Hingga Pembahasan Dan Hasil Menggunakan Comsol Multiphysics 4.2 Universitas Sumatera Utara iv IMPLEMENTASI METODE ELEMEN HINGGA DALAM PERSOALAN ALIRAN DARAH PADA PEMBULUH DARAH ABSTRAK Proses peredaran darah dipengaruhi oleh kecepatan darah, luas penampang pembuluh darah, tekanan darah dan kerja otot yang terdapat pada jantung dan pembuluh darah. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana distribusi tekanan darah yang terjadi pada pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan dan yang mengalami penyempitan oleh plak plaque sebesar 25, 50 dan 75 dari radius pembuluh darah dengan mengimplementasikan metode elemen hingga pada persamaan Navier-Stokes yang merupakan persamaan differensial dasar yang menggambarkan aliran dari fluida Newtonian takmampu- mampat. Dalam metode elemen hingga, medan aliran dipecah menjadi sekumpulan elemen-elemen fluida kecil diskritisasi domain, dalam penelitian ini peneliti menggambarkan aliran darah 2D-Axisimetri, kemudian dipilih fungsi interpolasi linier untuk elemen 2D-Axisimetri, dan menurunkan elemen matriks dan vektor dengan metode Galerkin untuk mendapatkan persamaan global. Hasil penelitian dari penelitian dengan bantuan komputer, memperlihatkan distribusi tekanan aliran darah dari variasi bentuk pembuluh darah. Hasil simulasi Comsol menunjukkan bahwa tekanan yang terjadi dari variasi bentuk pembuluh darah tidak mengalami perubahan yang signifikan, namun untuk tegangan yang terjadi pada variasi bentuk pembuluh darah dapat disimpulkan bahwa semakin besar penyempitan, maka semakin besar tegangan aliran darah. Kata kunci: Navier-Stokes, medan aliran, darah, metode elemen hingga, metode Galerkin Universitas Sumatera Utara v IMPLEMENTATION OF FINITE ELEMENT METHOD FOR THE PROBLEM OF BLOOD FLOW IN BLOOD VESSEL ABSTRACT The process of blood circulation influenced by the speed of blood, sectional area of blood vessels, blood pressure and muscle work which is at the heart and blood vessels. This research aims to see how the distribution of blood pressure that occurs in blood vessels that are not narrowed and narrowed by plaque plaque by 25, 50 and 75 of the radius of the blood vessels. by implementing the finite element method to the Navier-Stokes equations that constitute the basis of differential equations that describe the flow of Newtonian fluid is incompressible. In the finite element method, the flow field is broken down into a set of elements of the fluid is small discretization of the domain, in this study the researchers describe the flow of water 2D, then have the function of a linear interpolation of the element 2D, and derivation of element matrices and vectors with Galerkin method to get the global equation. The results of the research with the help of computers, the distribution of blood flow from the pressure variation in blood vessels. COMSOL simulation results show that the pressure of the variation in blood vessels did not change significantly, but for the stress that occurs in a variety of shapes blood vessels can be concluded that the greater the constriction , the greater the stress bloodflow. Keywords: Navier-Stokes, the flow field, the blood, the finite element method, Galerkin method Universitas Sumatera Utara IMPLEMENTASI METODE ELEMEN HINGGA DALAM PERSOALAN ALIRAN DARAH PADA PEMBULUH DARAH SKRIPSI ABNIDAR HARUN POHAN 120803006 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2016 Universitas Sumatera Utara IMPLEMENTASI METODE ELEMEN HINGGA DALAM PERSOALAN ALIRAN DARAH PADA PEMBULUH DARAH SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains ABNIDAR HARUN POHAN 120803006 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2016 Universitas Sumatera Utara i PERSETUJUAN Judul Kategori Nama Nomor Induk Mahasiswa Program Studi Departemen Fakultas : Implementasi Metode Elemen Hingga Dalam Aliran Persoalan Darah Pada Pembuluh Darah : Skripsi : Abnidar Harun Pohan : 1208030006 : Sarjana S1 Matematika : Matematika : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Disetujui di Medan, Juni 2016 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2, Pembimbing 1, Drs. Suyanto,M.Kom Prof. Dr. Tulus, M.Si, Ph.D NIP. 19590813 198601 1 002 NIP. 19620901 198803 1 002 Disetujui oleh Departemen Matematika FMIPA USU, Ketua, Prof. Dr. Tulus, M.Si, Ph.D NIP. 19620901 198803 1 002 Universitas Sumatera Utara ii PERNYATAAN IMPLEMENTASI METODE ELEMEN HINGGA DALAM PERSOALAN ALIRAN DARAH PADA PEMBULUH DARAH SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing – masing disebutkan sumbernya. Medan, Juni 2016 Abnidar Harun Pohan 120803006 Universitas Sumatera Utara iii PENGHARGAAN Puji syukur penulis kehadirat Allah Subhanahu wa Ta’ala, yang telah melimpahkan rahmat dan karuniaNya serta memberikan banyak kemudahan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Implementasi Metode Elemen Hingga dalam persoalan Aliran Darah pada Pembuluh Darah”. Shalawat dan salam penulis ucapkan kepada Rasulullah Shallalahu ‘Alaihi wa Sallam, keluarga, para sahabat dan orang-orang yang mengikutinya. Terima kasih penulis sampaikan kepada Prof. Dr. Tulus, M.Si, Ph.D selaku pembimbing 1 dan ketua Departemen Matematika yang banyak berjasa kepada penulis dimana beliau telah meluangkan waktu dan pikirannya, memberikan pengarahan, saran dan kritik terkait penulisan skripsi ini. Terima kasih kepada bapak Drs. Suyanto, M.Kom selaku pembimbing 2, yang telah meluangkan waktu, pikiran, dan saran untuk perbaikan skripsi ini. Terima kasih penulis ucapkan kepada bapak Dr. Sawaluddin, M.IT selaku penguji 1 dan bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Kom selaku penguji 2 yang telah meluangkan waktu, pikiran dan memberikan kritik maupun saran untuk perbaikan skripsi ini dan sebagai pembelajaran bagi penulis. Terima kasih penulis sampaikan kepada seluruh dosen Matematika USU yang telah membagikan ilmu kepada penulis selama masa perkuliahan, Dekan dan Wakil Dekan FMIPA USU, dan seluruh staff administrasi FMIPA USU. Terima kasih sebesar-besarnya penulis ucapkan kepada orang tua penulis yang begitu sabar dan selalu mendukung penulis baik secara moril maupun materi. Semoga Tuhan memberikan balasan kebaikan atas segala bantuan yang telah semua berikan kepada penulis. Atas perhatiannya penulis ucapkan terima kasih, penulis berharap tulisan ini bermanfaat bagi penulis sendiri maupun bagi orang lain. Medan, Juni 2016 Penulis Abnidar Harun Pohan Universitas Sumatera Utara iv IMPLEMENTASI METODE ELEMEN HINGGA DALAM PERSOALAN ALIRAN DARAH PADA PEMBULUH DARAH ABSTRAK Proses peredaran darah dipengaruhi oleh kecepatan darah, luas penampang pembuluh darah, tekanan darah dan kerja otot yang terdapat pada jantung dan pembuluh darah. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana distribusi tekanan darah yang terjadi pada pembuluh darah yang tidak mengalami penyempitan dan yang mengalami penyempitan oleh plak plaque sebesar 25, 50 dan 75 dari radius pembuluh darah dengan mengimplementasikan metode elemen hingga pada persamaan Navier-Stokes yang merupakan persamaan differensial dasar yang menggambarkan aliran dari fluida Newtonian takmampu- mampat. Dalam metode elemen hingga, medan aliran dipecah menjadi sekumpulan elemen-elemen fluida kecil diskritisasi domain, dalam penelitian ini peneliti menggambarkan aliran darah 2D-Axisimetri, kemudian dipilih fungsi interpolasi linier untuk elemen 2D-Axisimetri, dan menurunkan elemen matriks dan vektor dengan metode Galerkin untuk mendapatkan persamaan global. Hasil penelitian dari penelitian dengan bantuan komputer, memperlihatkan distribusi tekanan aliran darah dari variasi bentuk pembuluh darah. Hasil simulasi Comsol menunjukkan bahwa tekanan yang terjadi dari variasi bentuk pembuluh darah tidak mengalami perubahan yang signifikan, namun untuk tegangan yang terjadi pada variasi bentuk pembuluh darah dapat disimpulkan bahwa semakin besar penyempitan, maka semakin besar tegangan aliran darah. Kata kunci: Navier-Stokes, medan aliran, darah, metode elemen hingga, metode Galerkin Universitas Sumatera Utara v IMPLEMENTATION OF FINITE ELEMENT METHOD FOR THE PROBLEM OF BLOOD FLOW IN BLOOD VESSEL ABSTRACT The process of blood circulation influenced by the speed of blood, sectional area of blood vessels, blood pressure and muscle work which is at the heart and blood vessels. This research aims to see how the distribution of blood pressure that occurs in blood vessels that are not narrowed and narrowed by plaque plaque by 25, 50 and 75 of the radius of the blood vessels. by implementing the finite element method to the Navier-Stokes equations that constitute the basis of differential equations that describe the flow of Newtonian fluid is incompressible. In the finite element method, the flow field is broken down into a set of elements of the fluid is small discretization of the domain, in this study the researchers describe the flow of water 2D, then have the function of a linear interpolation of the element 2D, and derivation of element matrices and vectors with Galerkin method to get the global equation. The results of the research with the help of computers, the distribution of blood flow from the pressure variation in blood vessels. COMSOL simulation results show that the pressure of the variation in blood vessels did not change significantly, but for the stress that occurs in a variety of shapes blood vessels can be concluded that the greater the constriction , the greater the stress bloodflow. Keywords: Navier-Stokes, the flow field, the blood, the finite element method, Galerkin method Universitas Sumatera Utara vi DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii PENGHARGAAN iii ABSTRAK vi ABSTRACT v DAFTAR ISI vi DAFTAR GAMBAR ix DAFTAR ISTILAH x DAFTAR TABEL xi BAB 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Rumusan Masalah 3 1.3 Batasan Masalah 3 1.4 Tujuan Penelitian 4 1.5 Manfaat Penelitian 4 1.6 Metodologi penelitian 4 1.7 Kerangka Penelitian 5 BAB 2 LANDASAN TEORI 6 2.1 Fluida 6 2.1.1 Pengertian Fluida 6 2.1.2 Jenis – Jenis Fluida 6 2.1.3. Pergerakan Fluida 7 2.1.4. Jenis – Jenis Aliran Fluida 8 . 2.1.4.1 Berdasarkan Kemampuan Menahan Tekanan 8 2.1.4.2. Berdasarkan Sifat Alirannya 9 2.1.4.3 Berdasarkan Sifat Kekentalannya 9 2.2 Darah 9 2.2.1. Sistem Peredaran Darah Pada Manusia 9 2.2.2. Penyempitan Pembuluh Darah Arteri 10 2.3 Medan Percepatan 11 2.4 Kontinuitas Massa 13 2.5 Persamaan – Persamaan Gerak 13 2.6 Hubungan Tegangan-Deformasi 15 2.7 Persamaan Navier-Stokes 16 2.8 Potensial Kecepatan 17 2.9 Fungsi Arus 17 2.10 Metode elemen hingga 18 2.11 Diskritisasi Domain 19

2.12 Fungsi Interpolasi Elemen Simpleks Dua Dimensi

21 Universitas Sumatera Utara vii

2.13 Menurunkan Elemen Matriks dan Vektor

23 2.13.1. Direct Approach Pendekatan Langsung 24 2.13.2. Varitional Approach Pendekatan Variasi 24 2.13.3.Weight Residual Approach Pendekatan Residu Bobot 24

2.14 Formula Weak

25 2.15 Metode Galerkin 27 2.16. Software Comsol 29 BAB 3 ANALISIS DAN PERANCANGAN 30 3.1 Perancangan Geometri 30 3.2 Tahapan Analisis 32 3.2.1.Memaparkan hubungan-hubungan pergerakan aliran darah pada persamaan Navier-Stokes 32 3.2.2 Menentukan kondisi awal dan batas 32 3.2.3 Menyelesaikan Persamaan Global 32 3.2.3 Simulasi Dan Visualisasi Model Dengan Comsol Mutiphysics 4.2 32

3.3 Membuat Kesimpulan Dan Menyusun Laporan Penelitian

35 BAB 4 PEMBAHASAN 36 4.1 Persamaan Dasar Dalam Dinamika Fluida 36 4.2 Formulasi Fungsi Potensial 38 4.2.1. Bentuk Persamaan Differensial 38 4.2.2. Bentuk Variasi 38 4.3 Solusi Elemen Hingga 39 4.4 Simulasi Dengan Comsol Multiphysics 41 4.5 Tekanan Pada Pembuluh Darah 43 4.6 Distribusi Tekanan 45 4.7 Tegangan Pada Pembuluh Darah 50 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 55 5.1 Kesimpulan 55 5.2 Saran 55 DAFTAR PUSTAKA 56 KALENDER PENELITIAN 57 Universitas Sumatera Utara viii DAFTAR GAMBAR Nomor Gambar Judul Halaman 1.1 Aliran darah pada pembuluh darah 1

2.1. Tempat Kedudukan Partikel Yang Dinyatakan Dengan Vektor