Formula Weak LANDASAN TEORI

2.14. Formula Weak

Persamaan weak form biasanya dalam bentuk integral dan memerlukan kontinuitas lemah pada variabel bidang. Karena kebutuhan yang lebih lemah pada variabel bidang dan bentuk integral dari persamaan yang mengatur, formulasi didasarkan pada weak form yang diharapkan mengarah pada suatu himpunan persamaan untuk sistem diskrit yang menghasilkan hasil yang lebih akurat, terutama untuk sistem yang melibatkan geometri yang kompleks. Oleh karena itu, jenis weak form dari formulasi adalah lebih disukai untuk mendapatkan suatu solusi pendekatan. Dengan demikian, metode elemen hingga, berdasarkan weak form dari formulasi seperti prinsip energi atau pendekatan residual tertimbang, telah menjadi sangat populer.Contoh berikut menunjukkan keuntungan dari formulasi weak form. Contoh: Persamaan yang mengatur defleksi balok, ��, diberikan oleh �� � 4 � �� 4 = �� C.1 di mana �� adalah gaya didistribusikan sepanjang balok. Untuk balok kantilever dikenakan beban akhir dan momen akhir seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.9, mencari defleksi balok menggunakan metode Galerkin dengan solusi diasumsikan ��� = ��� = �3� 2 � − � 3 C.2 di mana �� adalah fungsi trial dan � adalah konstanta. Juga, menunjukkan keuntungan dari formulasi weak. 3. Gambar 2.10. Kantilever beam dikenakan beban dan momen 4. Universitas Sumatera Utara Solusi: Karena beban didistribusikan �� = 0 untuk balok yang ditunjukkan pada Gambar 2.9, persamaan yang mengatur governing equation menjadi �� � 4 � �� 4 = 0 C.3 Dalam metode Galerkin, konstanta �dalam solusi diasumsikan ditemukan dengan menggunakan hubungan � ���� � = 0 C.4 di mana �� adalah residu dan �� = 3� 2 � − � 3 adalah fungsi bobottertimbang yang diberikan oleh persamaan C.2. Persamaan C.4 dapat ditulis kembali sebagai � �� � 4 �� �� 4 �� � = 0 C.5 Karena turunan keempat ��� adalah nol, akan dikurangi orde turunan tertinggi ��� dengan mengintegrasikan per bagian integral by parts persamaan C.5: ���� � 3 �� �� 3 � � − � �� �� �� � 3 �� �� 3 �� � = 0 C.6 Integrasi suku kedua di sisi kiri dari persamaan C.6 per bagian menghasilkan persamaan � �� � 2 � �� 2 � 2 �� �� 2 �� � = �−���� � 3 �� �� 3 � � + �� �� �� � 2 �� �� 2 � � � C.7 Kondisi batas mengasilkan �� = 0 = 0, �� �� � = 0 = 0, �� � 2 �� �� 2 � = 1 = � , �� � 3 �� �� 3 � = � = � C.8 Universitas Sumatera Utara Dengan menggunakan dua kondisi pertama persamaan C.8, persamaan C.7 dapat dinyatakan sebagai � �� � 2 � �� 2 � 2 �� �� 2 �� � = ���� � 3 �� �� 3 � � − �� �� �� � 2 �� �� 2 � � C.9 Dari persamaan C.2 dan Gambar 2.9 diperoleh �� = 2� 3 , �� �� � = 3� 2 , �� � 2 �� �� 2 � = � , �� � 3 �� �� 3 � = � C.10 Integral pada persamaan C.9 dapat dihitung dengan hubungan pada persamaan C.2 sebagai � �� � 2 � �� 2 � 2 �� �� 2 �� � = � ��6� − 6�� � 6 � − 6� �� = 12�� � 3 � C.11 Gunakan persamaan C.10 dan C.11 pada persamaan C.9, konstanta C dapat ditemukan sebagai berikut: � = � �� + � 4 ��� C.12 Maka, solusi pendekatan untuk defleksi balok menjadi ��� = � � �� + � 4 ���� 3 � 2 � − � 3 C.13 yang menghasilkan defleksi pada ujung bebas � = � sebagai ��� = � � 3 3 �� + � � 2 3 �� C.14

2.15. Metode Galerkin