∅ 1,2 = 1,2 , {1} {1} = {1}, 1,2 1,2 = {1,2}
�;
Contoh 2.2.1.2.2
: Misalkan = { , , } dan diberikan
� = {∅, , , { }} adalah himpunan bagian dari
2 . Maka � bukanlah suatu topologi pada , sebab
= { , } �.
Bila terdapat suatu topologi pada yang anggotanya adalah semua
himpunan bagian dari atau sama dengan 2 , maka topologi tersebut disebut
topologi diskrit
. Topologi ini adalah topologi terbesar yang dapat dibentuk. Dan bila terdapat suatu topologi pada yang anggotanya hanya terdiri dari
himpunan kosong ∅ dan himpunan itu sendiri, maka topologi tersebut disebut
topologi indiskrit
. Topologi ini adalah topologi terkecil yang dapat dibentuk.
2.2.2 Himpunan Tertutup
Definisi 2.2.2.1.
Misalkan adalah suatu ruang topologi. Suatu
himpunan bagian dari disebut
himpunan tertutup
jika dan hanya jika komplemen dari merupakan himpunan buka. Komplemen dari ditulis
. Contoh 2.2.2.1
: Misalkan = {1, 2, 3, 4} dan
� = {∅, , {1}, {3}, 1,3 } adalah suatu
topologi pada
. Maka
himpunan tertutup
dari adalah
{ , ∅, 2,3,4 , 1,2,4 , 2,4 } yang merupakan komplemen dari setiap himpunan
bagian buka pada topologi .
Teorema 2.2.2.1.
Diberikan adalah suatu ruang topologi. Irisan sebarang dari setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup. Selanjutnya, gabungan
sebarang dari setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup.
Bukti 2.2.2.1
: Misal {
; = 1,2, … , } adalah koleksi himpunan
⊆ , yang mana
adalah himpunan tertutup. Diperoleh adalah himpunan terbuka, maka
Universitas Sumatera Utara
�. Karena � terbuka, maka ⋂
adalah
tertutup, sebab
=
⋂ . Selanjutnya, jika tertutup untuk = 1,2, … , , maka � terbuka.
Karena ⋂
� terbuka, maka adalah tertutup, sebab ⋂ =
. ∎
Contoh 2.2.2.2
: Misal
= { , , , , } dan
� = {∅, , { }, { , }, , , , { , , , }} adalah suatu topologi pada . Maka diperoleh himpunan tertutup dari adalah
{ , ∅, , , , , , , , , , { }}.
Dapat diperlihatkan bahwa irisan sebarang dari setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup, misalnya
, , , , ,
= { , }. Dan
selanjutnya, gabungan sebarang dari setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup,
misalnya ,
= { , , }.
2.2.3 Penutup Himpunan
Definisi 2.2.3.1.
Misalkan adalah suatu himpunan bagian dari ruang topologi .
Penutup himpunan
, dinotasikan dengan
,
adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat .
Contoh 2.2.3.1
: Misalkan = {1, 2, 3, 4} dan
� = {∅, , 1 , 3 , 1,3 , {1,2,3}}. Diperoleh himpunan tertutup dari
adalah { ,
∅, 2,3,4 , 1,2,4 , 2,4 , {4}}. Maka:
a. 1
= 1,2,4
= {1,2,4}. b.
2 =
2,3,4 1,2,4
2,4 = {2,4}.
c. 2,4
= 2,3,4
1,2,4 2,4
= {2,4}. d.
1,2,4 =
1,2,4 = {1,2,4}.
Teorema 2.2.3.1.
Misalkan adalah suatu himpunan bagian dari ruang topologi . Himpunan adalah tertutup jika dan hanya jika
= .
Universitas Sumatera Utara
Bukti 2.2.3.1
: Pertama, akan dibuktikan bahwa jika adalah tertutup, maka =
. Karena adalah himpunan tertutup, maka himpunan tertutup terkecil yang memuat adalah itu sendiri. Dengan demikian,
= . Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa jika
= , maka adalah tertutup. Menurut
Definisi 2.2.3.1.
, adalah irisan dari semua himpunan tertutup. Dan
Teorema 2.2.2.1.
mengatakan bahwa irisan setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup. Dengan demikian,
adalah himpunan tertutup. Kemudian, karena =
, maka jelas bahwa adalah himpunan tertutup. Jadi, teorema telah terbukti. ∎
Contoh 2.2.3.2
: Misalkan = { , , } dan
� = {∅, , , , { , }}. Diperoleh himpunan tertutup dari
adalah { ,
∅, , , , , }. Kemudian ambil = { }, yang mana suatu himpunan tertutup. Maka,
=
, ,
= = . Selanjutnya ambil
= { }, yang mana bukanlah suatu
himpunan tertutup. Maka,
=
, =
, ≠ .
2.2.4 Basis dari Topologi
