Bukti 2.2.3.1
: Pertama, akan dibuktikan bahwa jika adalah tertutup, maka =
. Karena adalah himpunan tertutup, maka himpunan tertutup terkecil yang memuat adalah itu sendiri. Dengan demikian,
= . Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa jika
= , maka adalah tertutup. Menurut
Definisi 2.2.3.1.
, adalah irisan dari semua himpunan tertutup. Dan
Teorema 2.2.2.1.
mengatakan bahwa irisan setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup. Dengan demikian,
adalah himpunan tertutup. Kemudian, karena =
, maka jelas bahwa adalah himpunan tertutup. Jadi, teorema telah terbukti. ∎
Contoh 2.2.3.2
: Misalkan = { , , } dan
� = {∅, , , , { , }}. Diperoleh himpunan tertutup dari
adalah { ,
∅, , , , , }. Kemudian ambil = { }, yang mana suatu himpunan tertutup. Maka,
=
, ,
= = . Selanjutnya ambil
= { }, yang mana bukanlah suatu
himpunan tertutup. Maka,
=
, =
, ≠ .
2.2.4 Basis dari Topologi
Definisi 2.2.4.1.
Misal adalah suatu ruang topologi. Dibentuk suatu kelas ℬ
yang merupakan himpunan bagian buka dari , dinotasikan ℬ �. Didefinisikan
ℬ adalah
basis
dari topologi � jika dan hanya jika setiap himpunan buka
� adalah gabungan anggota-anggota
ℬ. Atau, kelas ℬ � adalah suatu basis dari topologi
� jika dan hanya jika untuk setiap anggota himpunan buka , ada terdapat
ℬ dengan .
Contoh 2.2.4.1
: Misalkan = { , , } dan
� = {∅, , , , , , , } adalah suatu topologi pada . Maka dapat dibentuk suatu basis:
ℬ = {∅, , , , }, yang gabungan anggota-anggotanya membentuk setiap himpunan buka
�, yaitu:
Universitas Sumatera Utara
i. ∅ ∅ = ∅,
ii. ∅ = = { },
iii. ∅ = = { },
iv. = { , },
v. ∅ , = , , = , = { , }, dan
vi. , = , , = .
Teorema 2.2.4.1.
Jika ℬ
1
merupakan suatu basis dari topologi � pada dan ℬ
2
merupakan koleksi dari himpunan terbuka pada , yang mana ℬ
1
ℬ
2
, maka ℬ
2
adalah juga merupakan basis bagi topologi �.
Bukti 2.2.4.1
: Misalkan adalah himpunan bagian terbuka dari . Karena ℬ
1
adalah suatu basis dari topologi � pada , maka merupakan gabungan dari
anggota-anggota ℬ
1
. Ini berarti bahwa =
ℬ
;
= 1,2, … , , yang mana
ℬ ℬ
1
. Tetapi karena
ℬ
1
ℬ
2
, maka berlaku untuk setiap ℬ
ℬ
1
juga merupakan anggota dari
ℬ
2
. Ini berarti bahwa juga merupakan gabungan dari anggota- anggota
ℬ
2
. Dengan demikian, ℬ
2
merupakan basis dari topologi � pada juga.
∎ Berdasarkan
Teorema 2.2.4.1.
tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa basis dari suatu topologi adalah tidak tunggal.
Contoh 2.2.4.2
: Misalkan diberikan
= { , , , , }. Jika dibentuk suatu basis ℬ
1
= {
∅, , , , , , , , , , , , , }, maka diperoleh topologi pada , yaitu
�
1
{ ∅, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , }.
Sekarang jika ℬ
2
= { ∅, , , , , , , , , , , , , , , , , },
maka diperoleh
�
2
= ∅, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
merupakan suatu topologi pada .
Universitas Sumatera Utara
Dari sini jelas terlihat bahwa ℬ
1
ℬ
2
, tetapi �
1
= �
2
. Dengan demikian, ℬ
1
dan ℬ
2
merupakan basis-basis dari topologi yang sama.
2.2.5 Subbasis dari Topologi
