3.6 Titik Limit
F uzzy
Definisi 3.6.1.
Misal ,
� adalah suatu ruang topologi
fuzzy
dan adalah suatu himpunan
fuzzy
pada ,
�. Suatu titik disebut
titik limit fuzzy
dari , jika dan hanya jika setiap himpunan buka
yang memuat beserta fungsi
keanggotaannya, memuat suatu titik dan fungsi keanggotaan pada himpunan
fuzzy
yang berbeda dengan . Dapat ditulis: “ titik limit
fuzzy
, jika , buka, sedemikian
� − � ≠ 0.” Himpunan titik-titik limit
fuzzy
dinotasikan dengan ′, yaitu
himpunan turunan fuzzy
dari .
Contoh 3.6.1
: Misal � = {0, 1, 7, 0.4 , 8, 0.5 , 7, 0.4 , 8, 0.7 } topologi
fuzzy
dalam = {7, 8}, dan
= { 7, 0.2 , 8, 0.5} himpunan bagian
fuzzy
dari . Maka:
i. 7
7, 0.4 , 8, 0.5
⟶ {
7, 0.4 ,
8, 0.5 −
7 }
7, 0.2 ,
8, 0.5 =
7, 0.5 7, 0.2 , 8, 0.5 = { 7, 0.2 }. =
7 adalah titik limit
fuzzy
. ii.
8 { 7, 0.4 , 8, 0.5}
⟶ {
7, 0.4 ,
8, 0.5 −
8 }
7, 0.2 ,
8, 0.5 = 0
7, 0.2 , 8, 0.5 = 0. =
8 bukan titik limit
fuzzy
. Jadi, himpunan titik limit
fuzzy
dari adalah ′ = {7}.
Sifat 3.6.1.
Bila ditentukan suatu himpunan bagian
fuzzy
, diperoleh titik limit
fuzzy
′ ′.
Contoh 3.6.2
:
Universitas Sumatera Utara
Misal � = {0, 1, 2, 0.3 , 3, 0.6 , 2, 0.4 , 3, 0.8 } topologi
fuzzy
dalam = {1, 2, 3}. Lalu diberikan
= { 2, 0.4 } dan = { 1, 0.1 , 2, 0.4} masing-
masing merupakan himpunan bagian
fuzzy
dari , yang mana .
Maka untuk himpunan bagian
fuzzy
diperoleh: a.
1
1 = { 1, 1
, 2, 1
, 3, 1
} ⟶ { 1, 1 , 2, 1 , 3, 1 }
− 1
} {
2, 0.4 }
=
{ 1, 1
, 2, 1
} { 2, 0.4 } = { 2, 0.4 }. =
1 adalah titik limit
fuzzy
.
b. 2
2, 0.3 , 3, 0.6
⟶
2, 0.3 ,
3, 0.6 −
2 }
{ 2, 0.4
} = {
1, 0.6 } { 2, 0.4 } = 0. =
2 bukan titik limit
fuzzy
. c.
3 2, 0.3 , 3, 0.6
⟶
2, 0.3 ,
3, 0.6
− 3 }
{ 2, 0.4
} = 0
{ 2, 0.4 } = 0.
= 3 bukan titik limit
fuzzy
. Jadi, himpunan titik limit
fuzzy
dari adalah ′ = {1}.
Sedangkan untuk himpunan bagian
fuzzy
diperoleh: i.
1
1 = { 1, 1
, 2, 1
, 3, 1
} ⟶ { 1, 1 , 2, 1 , 3, 1 }
− 1
} {
1, 0.1 , 2, 0.4}
=
{ 1, 1
, 2, 1
} { 1, 0.1 , 2, 0.4} = { 1, 0.1 , 2, 0.4}. =
1 adalah titik limit
fuzzy
. ii.
2 2, 0.3 , 3, 0.6
⟶
2, 0.3 ,
3, 0.6 −
2 }
{ 1, 0.1
, 2, 0.4} = {
1, 0.6 } { 1, 0.1 , 2, 0.4} = { 1, 0.1 }. =
2 adalah titik limit
fuzzy
. iii.
3 2, 0.3 , 3, 0.6
Universitas Sumatera Utara
⟶
2, 0.3 ,
3, 0.6
− 3 }
{ 1, 0.1
, 2, 0.4} = 0
{ 1, 0.1 , 2, 0.4} = 0.
= 3 bukan titik limit
fuzzy
. Jadi, himpunan titik limit
fuzzy
dari adalah ′ = {1, 2}.
Dengan demikian, diperoleh titik limit
fuzzy
′ = {1} dan ′ = {1,2}, sehingga ′
′. Jadi, bila ditentukan suatu himpunan bagian
fuzzy
, akan diperoleh titik limit
fuzzy
′ ′.
Sifat 3.6.2.
Bila ditentukan suatu topologi
fuzzy
�
1
�
2
, diperoleh titik limit
fuzzy
′
1
′
2
.
Contoh 3.6.3
: Misal
= {1, 2, 3, 4}, serta �
1
= {0, 1, 2, 0.5 , 3, 0.7 , 4, 0.8 } dan �
2
= {0, 1, {2, 0.5}, {2, 0.5, 3, 0.7},
2, 0.5 , 3, 0.7 , 4, 0.8 } adalah masing- masing suatu topologi
fuzzy
pada , yang mana �
1
�
2
. Kemudian diberikan = {
1, 0.3 , 2, 0.5} merupakan suatu himpunan bagian
fuzzy
dari . Maka untuk topologi
�
1
diperoleh: a.
1 1 =
{ 1, 1
, 2, 1
, 3, 1
, 4, 1
} ⟶ {{ 1, 1 , 2, 1 , 3, 1 , 4, 1 }
− 1
} {
1, 0.3 , 2, 0.5}
=
1, 1 ,
2, 1 ,
3, 1
1, 0.3 , 2, 0.5 = {
1, 0.3 , 2, 0.5}. =
1 adalah titik limit
fuzzy
. b.
2 2, 0.5 , 3, 0.7 , 4, 0.8
⟶ {{
2, 0.5 ,
3, 0.7 , 4, 0.8
}
− 2
} {
1, 0.3 , 2, 0.5}
= 1, 0.7 , 2, 0.8 1, 0.3 , 2, 0.5 =
{ 1, 0.3 , 2, 0.5}.
= 2 adalah titik limit
fuzzy
. c.
3 2, 0.5 , 3, 0.7 , 4, 0.8
⟶ {
2, 0.5 ,
3, 0.7 , 4, 0.8
− 3 }
{ 1, 0.3
, 2, 0.5}
Universitas Sumatera Utara
= { 1, 0.8 } { 1, 0.3 , 2, 0.5} = { 1, 0.3 }.
= 3 adalah titik limit
fuzzy
. d.
4 2, 0.5 , 3, 0.7 , 4, 0.8
⟶ {
2, 0.5 ,
3, 0.7 , 4, 0.8
− 4
} {
1, 0.3 , 2, 0.5}
= 0 {
1, 0.3 , 2, 0.5} = 0. =
4 bukan titik limit
fuzzy
. Jadi, himpunan titik limit
fuzzy
dari untuk �
1
adalah ′
1
= {1, 2, 3}. Sedangkan untuk topologi
�
2
diperoleh: i.
1 1 =
{ 1, 1
, 2, 1
, 3, 1
, 4, 1
} ⟶ {{ 1, 1 , 2, 1 , 3, 1 , 4, 1 }
− 1
} {
1, 0.3 , 2, 0.5}
=
1, 1 ,
2, 1 ,
3, 1
1, 0.3 , 2, 0.5 = {
1, 0.3 , 2, 0.5}. =
1 adalah titik limit
fuzzy
. ii.
2 {2, 0.5}
⟶ {{
2, 0.5
}
− 2
} {
1, 0.3 , 2, 0.5}
= 1, 0.3 , 2, 0.5 = 0.
= 2 bukan titik limit
fuzzy
. iii.
3 {2, 0.5, 3, 0.7}
⟶ {
2, 0.5, 3, 0.7
− 3 }
{ 1, 0.3
, 2, 0.5} = 0
{ 1, 0.3 , 2, 0.5} = 0.
= 3 bukan titik limit
fuzzy
. iv.
4 2, 0.5 , 3, 0.7 , 4, 0.8
⟶ {
2, 0.5 ,
3, 0.7 , 4, 0.8
− 4
} {
1, 0.3 , 2, 0.5}
= 0 {
1, 0.3 , 2, 0.5} = 0. =
4 bukan titik limit
fuzzy
. Jadi, himpunan titik limit
fuzzy
dari untuk �
2
adalah ′
2
= {1}.
Universitas Sumatera Utara
Dengan demikian, diperoleh titik limit
fuzzy
′
1
= {1, 2, 3} dan ′
2
= {1}, sehingga
′
1
′
2
. Jadi bila ditentukan suatu topologi
fuzzy
�
1
�
2
, akan diperoleh titik limit
fuzzy
′
1
′
2
.
3.7 Titik Interior
Kategori