Dari sini jelas terlihat bahwa ℬ
1
ℬ
2
, tetapi �
1
= �
2
. Dengan demikian, ℬ
1
dan ℬ
2
merupakan basis-basis dari topologi yang sama.
2.2.5 Subbasis dari Topologi
Definisi 2.2.5.1.
Misal adalah suatu ruang topologi. Dibentuk suatu kelas �
yang merupakan himpunan bagian buka dari , dinotasikan � �. Didefinisikan
� adalah
subbasis
dari topologi � jika dan hanya jika setiap irisan hingga dari
anggota � membentuk suatu basis dari topologi �.
Contoh 2.2.5.1
: Misalkan = { , , } dan
� = {∅, , , , , , , } adalah suatu topologi pada . Maka dapat dibentuk suatu basis:
ℬ = {∅, , , , }, yang gabungan anggota-anggotanya membentuk setiap himpunan buka
�. Dari basis tersebut, maka dapat dibentuk suatu subbasis:
� = { , , , , , , }, yang irisan hingga anggota-anggotanya membentuk basis
ℬ, yaitu: a.
= ,
= ∅,
b. , ,
= ,
c. ,
= , ,
= { }, dan d.
, , ,
= ,
. Dengan demikian,
� merupakan suatu subbasis dari topologi �.
Teorema 2.2.5.1.
Jika �
1
merupakan suatu subbasis dari topologi � pada dan �
2
merupakan koleksi dari himpunan terbuka pada , yang mana �
1
�
2
, maka �
2
adalah juga merupakan subbasis bagi topologi �.
Universitas Sumatera Utara
Bukti 2.2.5.1
: Misalkan ℬ merupakan basis dari topologi � pada . Karena �
1
merupakan suatu subbasis dari topologi �, maka ℬ merupakan irisan hingga dari
anggota-anggota �
1
. Ini berarti bahwa ℬ = ⋂� ; = 1,2, … , , yang mana �
�
1
. Tetapi karena
�
1
�
2
, maka berlaku untuk setiap �
�
1
juga merupakan anggota dari
�
2
. Ini berarti bahwa ℬ juga merupakan irisan hingga dari anggota-
anggota �
2
. Dengan demikian, �
2
merupakan subbasis dari topologi � pada
juga. ∎
Berdasarkan
Teorema 2.2.5.1.
tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa subbasis dari suatu topologi adalah tidak tunggal.
Contoh 2.2.5.2
: Misalkan diberikan = { , , , , }. Jika dibentuk suatu
subbasis �
1
= { , , , , , , , , , , , , }, maka dapat diperoleh
suatu basis
dari topologi
pada ,
yaitu ℬ
1
= { , , , , , , , , , , , , , ∅, { }}.
Sekarang jika �
2
= { , , , , , , , , , , , , , }, maka diperoleh
ℬ
2
= { , , , , , , , , , , , , , , ∅} merupakan suatu basis dari
topologi pada . Oleh karena
ℬ
1
= ℬ
2
, maka dapat dibentuk suatu topologi yang sama pada , yaitu
� = { , , , , , , , , , , , , , , ∅, , , , , { , , }}. Dari sini jelas terlihat bahwa
�
1
�
2
dan ℬ
1
= ℬ
2
. Dengan demikian, �
1
dan �
2
merupakan subbasis-subbasis dari topologi yang sama.
2.2.6 Titik Limit
