Tujuan Penelitian Kontribusi Penelitian Metode Penelitian Pengertian Ruang Topologi

iii Irisan dari koleksi-koleksi hingga himpunan buka adalah juga suatu himpunan buka. Vilela dan Bautista 2011 dalam jurnalnya mengatakan bahwa suatu topologi fuzzy pada himpunan tak-kosong adalah kumpulan � dari himpunan fuzzy di yang memenuhi: i untuk setiap [0,1], himpunan fuzzy � didefinisikan dengan � = , ∀ , ada di dalam �, ii jika , �, maka �, yang mana = min ⁡{ , }, dan iii jika � untuk ⊆ , maka �, yang mana = sup{ } . Pasangan , � disebut sebagai suatu ruang topologi fuzzy dan anggota-anggota di � adalah himpunan buka fuzzy .

1.5 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk mengkaji tentang konsep, sifat-sifat, teorema, dan operasi-operasi yang terdapat di dalam ruang topologi , �, apakah dapat diberlakukan di dalam ruang topologi fuzzy , � atau tidak, serta mencari keterhubungan antara dua ruang topologi tersebut.

1.6 Kontribusi Penelitian

Manfaat dari penulisan ini adalah sebagai berikut: 1. Menambah wawasan penulis tentang himpunan fuzzy , ruang topologi , �, dan ruang topologi fuzzy , �. Universitas Sumatera Utara 2. Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan untuk mahasiswa matematika, terlebih bagi mahasiswa yang hendak melakukan penelitian serupa.

1.7 Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah: 1. Mempelajari literatur tentang sifat-sifat yang berlaku dalam himpunan fuzzy dan ruang topologi dari media buku dan media internet berupa jurnal dan artikel. 2. Menjelaskan tentang konsep, sifat-sifat, teorema, dan operasi-operasi yang terdapat di dalam ruang topologi , � dan bagaimana bila diaplikasikan ke ruang topologi fuzzy , �. 3. Mencari keterhubungan antara ruang topologi , � dengan ruang topologi fuzzy , �, yakni keisomorfisannya. Universitas Sumatera Utara BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1 Himpunan

F uzzy Fuzzy berarti “kabur” atau “samar-samar”. Himpunan fuzzy adalah himpunan yang keanggotaannya memiliki nilai kekaburankesamaran antara salah dan benar. Konsep tentang himpunan fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Profesor Lotfi A. Zadeh, seorang ilmuwan Amerika Serikat berkebangsaan Iran, dari Universitas California di Barkeley, melalui tulisannya “Fuzzy Sets” pada tahun 1965.

2.1.1 Pengertian Himpunan

F uzzy Sebelum teori tentang himpunan fuzzy muncul, dikenal sebuah himpunan klasik yang seringkali disebut himpunan tegas crisp set yang keanggotaannya memiliki nilai salah atau benar secara tegas. Sebaliknya, anggota himpunan fuzzy memiliki nilai kekaburan antara salah dan benar. Himpunan tegas hanya mengenal dingin atau panas, sedangkan himpunan fuzzy dapat mengenal dingin, sejuk, hangat, dan panas. Perbedaan antara dua jenis himpunan tersebut adalah himpunan tegas hanya memiliki dua kemungkinan nilai keanggotaan, yaitu 0 atau 1. Artinya, untuk sebarang himpunan tegas , jika sebuah unsur adalah bukan anggota himpunan , maka nilai yang berhubungan dengan adalah 0. Dan jika unsur tersebut merupakan anggota himpunan , nilai yang berhubungan dengan adalah 1. Sedangkan dalam himpunan fuzzy , keanggotaan suatu unsur dinyatakan dengan derajat keanggotaan membership values , yang nilainya terletak dalam Universitas Sumatera Utara interval [0,1] dan ditentukan dengan fungsi keanggotaan � : → [0,1]. Artinya, untuk sebarang himpunan fuzzy , sebuah unsur adalah bukan anggota himpunan jika � = 0, unsur adalah anggota penuh himpunan jika � = 1, dan unsur tersebut adalah anggota himpunan dengan derajat keanggotaan sebesar � jika � = �, dengan 0 � 1. Dengan demikian dapat dipeoleh suatu definisi untuk himpunan fuzzy , yakni: Definisi 2.1.1.1. Himpunan fuzzy dalam suatu himpunan sebarang adalah himpunan yang anggota-anggotanya dinyatakan dengan derajat keanggotaan, yang nilainya terletak dalam interval [0,1] dan ditentukan dengan fungsi keanggotaan � : → [0,1].

2.1.2 Fungsi Keanggotaan

Setiap himpunan fuzzy dapat dinyatakan dengan suatu fungsi keanggotaan. Ada beberapa cara untuk menyatakan himpunan fuzzy dengan fungsi keanggotaannya. Untuk semesta hingga diskrit biasanya dipakai cara daftar , yaitu daftar anggota dengan derajat keanggotaannya yang dibentuk sebagai himpunan pasangan berurutan = { 1 , � 1 , 2 , � 2 , … , , � }. Contoh 2.1.2.1 : Misal adalah himpunan fuzzy “bilangan real yang dekat dengan 2”. Himpunan fuzzy dapat disajikan dengan menggunakan fungsi keanggotaan sebagai berikut: � = − 1 untuk 1 2 3 − untuk 2 3 untuk lainnya Universitas Sumatera Utara Dengan fungsi keanggotaan ini, diperoleh: � 1 = 0, � 1.5 = 0.5, � 1.7 = 0.7, � 2 = 1, � 2.5 = 0.5, � 2.7 = 0.3, dan � 3 = 0. Maka, dapat ditulis sebagai himpunan pasangan berurutan: = { 1, 0 , 1.5, 0.5 , 1.7, 0.7 , 2, 1 , 2.5, 0.5 , 2.7, 0.3 , 3, 0}. Kebanyakan himpunan fuzzy berada dalam semesta himpunan semua bilangan riil ℝ dengan fungsi keanggotaan yang dinyatakan dalam bentuk suatu formula matematis. Formula matematis fungsi keanggotaan dalam himpunan fuzzy tersebut diantaranya adalah fungsi keanggotaan segitiga , fungsi keanggotaan trapesium , fungsi keanggotaan Gauss , fungsi keanggotaan Cauchy , fungsi keanggotaan sigmoid , dan fungsi keanggotaan kiri-kanan .

2.1.2.1 Fungsi Keanggotaan Segitiga

Definisi 2.1.2.1.1. Suatu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy disebut fungsi keanggotaan segitiga jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu , , ℝ dengan , dinyatakan dengan ; , , dengan aturan: ; , , = − − untuk − − untuk untuk lainnya Fungsi keanggotaan tersebut dapat juga dinyatakan sebagai berikut: ; , , = − − , − − , 0.

2.1.2.2 Fungsi Keanggotaan Trapesium

Definisi 2.1.2.2.1. Suatu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy disebut fungsi keanggotaan trapesium jika mempunyai empat buah parameter, yaitu , , , Universitas Sumatera Utara ℝ dengan , dinyatakan dengan ; , , , dengan aturan: − − untuk 1 untuk − − untuk untuk lainnya Fungsi keanggotaan tersebut dapat juga dinyatakan sebagai berikut: ; , , , = − − , 1, − − , 0.

2.1.2.3 Fungsi Keanggotaan Gauss

Definisi 2.1.2.3.1. Suatu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy disebut fungsi keanggotaan Gauss jika mempunyai dua buah parameter, yaitu , ℝ, dinyatakan dengan ; , sebagai berikut: ; , = − − 2 .

2.1.2.4 Fungsi Keanggotaan Cauchy

Definisi 2.1.2.4.1. Suatu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy disebut fungsi keanggotaan Cauchy jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu , , ℝ, dinyatakan dengan ; , , sebagai berikut: ; , , = 1 1+ − 2 . Universitas Sumatera Utara

2.1.2.5 Fungsi Keanggotaan Sigmoid

Definisi 2.1.2.5.1. Suatu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy disebut fungsi keanggotaan Sigmoid jika mempunyai dua buah parameter, yaitu , ℝ, dinyatakan dengan ; , sebagai berikut: ; , = 1 1+ − − .

2.1.2.6 Fungsi Keanggotaan Kiri-Kanan

Definisi 2.1.2.6.1. Suatu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy disebut fungsi keanggotaan kiri-kanan jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu , , ℝ, dinyatakan dengan � ; , , sebagai berikut: � ; , , = � − untuk − untuk . Tentu saja masih banyak fungsi-fungsi keanggotaan lainnya yang dapat dibuat untuk memenuhi keperluan aplikasi-aplikasi tertentu. Yang jelas fungsi keanggotaan memainkan peranan sentral dalam teori himpunan fuzzy yang harus dikontruksikan untuk menyatakan istilah linguistik yang dipergunakan.

2.1.3 Operasi pada Himpunan

F uzzy Terhadap dua buah himpunan fuzzy atau lebih, dapat dilakukan operasi-operasi untuk menghasilkan himpunan fuzzy yang lain. Operasi-operasi tersebut diantaranya adalah penjumlahan , pengurangan , perkalian , pembagian , komplemen , gabungan , dan irisan . Universitas Sumatera Utara

2.1.3.1 Penjumlahan

Definisi 2.1.3.1.1. Penjumlahan dua buah himpunan fuzzy dan adalah himpunan fuzzy + , yang didefinisikan dengan fungsi keanggotaan � + = sup + = min{ � , � }. Contoh 2.1.3.1.1 : Misalkan dalam semesta = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} diketahui himpunan-himpunan fuzzy = { 1, 0.4 , 2, 1 , 3, 0.6 , 4, 0.1 }. = { 2, 0.2 , 3, 0.7 , 4, 1 , 5, 0.6 }. Maka diperoleh + = { 3, 0.2 , 4, 0.4 , 5, 0.7 , 6, 1 , 7, 0.6 , 8, 0.6 , 9, 0.1}. Definisi 2.1.3.1.2. Jika himpunan fuzzy dijumlahkan dengan suatu bilangan real ℝ, maka penjumlahan tersebut dapat didefinisikan dengan fungsi keanggotaan � + = sup + = min{ � , 1} = � − . Contoh 2.1.3.1.2 : Misalkan dalam semesta = { −3, −2, −1, 0, 1, 2} diketahui himpunan fuzzy = { −3, 0 , −2, 0.3 , −1, 0.5 , 0, 0.7 , 1, 1}. Maka diperoleh + 2 = { −1, 0 , 0, 0.3 , 1, 0.5 , 2, 0.7 , 3, 1}. Universitas Sumatera Utara

2.1.3.2 Pengurangan

Definisi 2.1.3.2.1. Pengurangan dua buah himpunan fuzzy dan adalah himpunan fuzzy − , yang didefinisikan dengan fungsi keanggotaan � − = sup − = min{ � , � }. Contoh 2.1.3.2.1 : Misalkan dalam semesta = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} diketahui himpunan-himpunan fuzzy = { 6, 0.4 , 7, 1 , 8, 0.6 , 9, 0.1 }. = { 2, 0.2 , 3, 0.7 , 4, 1 , 5, 0.6 }. Maka diperoleh − = { 1, 0.4 , 2, 0.6 , 3, 1 , 4, 0.7 , 5, 0.6 , 6, 0.6 , 7, 0.1}.

2.1.3.3 Perkalian

Definisi 2.1.3.3.1. Perkalian dua buah himpunan fuzzy dan adalah himpunan fuzzy ∙ , yang didefinisikan dengan fungsi keanggotaan � ∙ = sup ∙ = min{ � , � }. Contoh 2.1.3.3.1 : Misalkan dalam semesta = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} diketahui himpunan-himpunan fuzzy = { 1, 0.4 , 2, 1 , 3, 0.6 , 4, 0.1 }. = { 0, 0.2 , 1, 1 , 2, 0.6 }. Maka diperoleh ∙ = 0, 0.2 , 1, 0.4 , 2, 1 , 3, 0.6 , 4, 0.6 , 6, 0.6 , 8, 0.1 . Universitas Sumatera Utara Definisi 2.1.3.3.2. Jika himpunan fuzzy dikalikan dengan suatu bilangan real ℝ, maka perkalian tersebut dapat didefinisikan dengan fungsi keanggotaan � ∙ = sup ∙ = min{ � , 1} = � . Contoh 2.1.3.3.2 : Misal dalam semesta = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} diketahui himpunan fuzzy = { 0, 0 , 1, 0.3 , 2, 0.5 , 3, 0.7 , 4, 1}. Maka diperoleh ∙ 2 = { 0, 0 , 2, 0.3 , 4, 0.5 , 6, 0.7 , 8, 1}.

2.1.3.4 Pembagian

Definisi 2.1.3.4.1. Pembagian dua buah himpunan fuzzy dan adalah himpunan fuzzy , yang didefinisikan dengan fungsi keanggotaan � = sup = min{ � , � }. Contoh 2.1.3.4.1 : Misalkan dalam semesta = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} diketahui himpunan-himpunan fuzzy = { 0, 0.4 , 4, 1 , 8, 0.6 }. = { 1, 0.3 , 2, 1 , 4, 0.7 }. Maka diperoleh = { 0, 0.4 , 1, 0.7 , 2, 1 , 4, 0.6 , 8, 0.3}. Universitas Sumatera Utara

2.1.3.5 Komplemen

Definisi 2.1.3.5.1. Komplemen dari suatu himpunan fuzzy adalah himpunan fuzzy − , diartikan sebagai “ tidak dekat ”, dengan fungsi keanggotaan � − = 1 − � , untuk setiap . Contoh 2.1.3.5.1 : Misalkan dalam semesta = { −4, −3, −2, −1, 0} diketahui himpunan fuzzy = { −4, 0 , −3, 0.3 , −2, 0.5 , −1, 0.7 , 0, 1}. Maka diperoleh − = { −4, 1 , −3, 0.7 , −2, 0.5 , −1, 0.3 , 0, 0}.

2.1.3.6 Gabungan

Definisi 2.1.3.6.1. Gabungan dua buah himpunan fuzzy dan adalah himpunan fuzzy , diartikan sebagai “ dekat atau dekat ”, dengan fungsi keanggotaan � = � � = max ⁡� , � , untuk setiap . Contoh 2.1.3.6.1 : Misalkan dalam semesta = { −3, −2, −1, 0, 1, 2} diketahui himpunan-himpunan fuzzy = { −3, 0.3 , −2, 0.7 , −1, 1 , 0, 0.5 , 1, 0.2 , 2, 0}. = { −3, 0 , −2, 0.1 , −1, 0.4 , 0, 0.6 , 1, 0.8 , 2, 1}. Maka diperoleh = { −3, 0.3 , −2, 0.7 , −1, 1 , 0, 0.6 , 1, 0.8 , 2, 1}. Universitas Sumatera Utara

2.1.3.7 Irisan

Definisi 2.1.3.7.1. Irisan dua buah himpunan fuzzy dan adalah himpunan fuzzy , diartikan sebagai “ dekat dan dekat ”, dengan fungsi keanggotaan � = � � = min ⁡� , � , untuk setiap . Contoh 2.1.3.7.1 : Misalkan dalam semesta = { −3, −2, −1, 0, 1, 2} diketahui himpunan-himpunan fuzzy = { −3, 0.3 , −2, 0.7 , −1, 1 , 0, 0.5 , 1, 0.2 , 2, 0}. = { −3, 0 , −2, 0.1 , −1, 0.4 , 0, 0.6 , 1, 0.8 , 2, 1}. Maka diperoleh = { −3, 0 , −2, 0.1 , −1, 0.4 , 0, 0.5 , 1, 0.2 , 2, 0}. Dua buah himpunan fuzzy dikatakan beririsan apabila irisan kedua himpunan fuzzy tersebut tidak sama dengan himpunan kosong. Apabila irisan dua buah himpunan fuzzy sama dengan himpunan kosong, maka kedua himpunan fuzzy tersebut dikatakan lepas .

2.2 Topologi dan Ruang Topologi

Kata „topologi‟ berasal dari bahasa Yunani, yaitu „topos‟ yang berarti tempat dan „logos‟ yang berarti ilmu. Dengan demikian, topologi adalah ilmu yang berhubungan dengan tempattata ruang. Topologi dapat diartikan sebagai cabang matematika yang bersangkutan dengan tata ruang yang tidak berubah dalam deformasi dwikontinu, yaitu ruang yang dapat ditekuk, dilipat, disusut, direntangkan, dan dipilin, tetapi tidak diperkenankan untuk dipotong, dirobek, ditusuk, atau dilekatkan. Universitas Sumatera Utara Kajian topologi bermula dari permasalahan geometri oleh Leonard Euler pada tahun 1736 dalam tulisan “Seven Bridges of K ö nigsberg”, yang merupakan awal sejarah berkembangnya teori graf. Konsep topologinya sendiri diperkenalkan oleh Johann Benedict Listing dalam tulisan “Vorstudien zur Topologie” pada tahun 1847 di Jerman. Konsep topologi muncul melalui pengembangan konsep dari geometri dan teori himpunan, seperti ruang, dimensi, bentuk, dan transformasi. 2.2.1 Pengertian Topologi dan Ruang Topologi 2.2.1.1 Persekitaran Definisi 2.2.1.1.1. Misal adalah himpunan bagian dari suatu himpunan sebarang . adalah persekitaran dari , jika dan hanya jika terdapat suatu himpunan sedemikian sehingga ⊆ . Teorema 2.2.1.1.1. Suatu himpunan adalah terbuka jika dan hanya jika merupakan persekitaran dari setiap titik yang didalamnya. Bukti 2.2.1.1.1 : Pertama, akan dibuktikan bahwa himpunan adalah terbuka jika merupakan persekitaran dari setiap titik yang didalamnya. Misalkan adalah himpunan terbuka, maka setiap titik menjadi anggota pada himpunan terbuka yang termuat dalam , yang berarti ⊆ . Jadi, adalah persekitaran dari setiap titik yang didalamnya. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa suatu himpunan merupakan persekitaran dari setiap titik yang didalamnya jika adalah terbuka. Misalkan merupakan suatu persekitaran dari setiap titik yang didalamnya. Sehingga untuk setiap , terdapat suatu himpunan terbuka sedemikian sehingga ⊆ . Dari sini diperoleh: = ; ⊆ [ ; ] ⊆ . Yang berarti bahwa: = [ ; ] dan adalah terbuka karena gabungan dari himpunan terbuka adalah himpunan terbuka. Universitas Sumatera Utara ∎

2.2.1.2 Pengertian Topologi dan Ruang Topologi

Definisi 2.2.1.2.1. Misal suatu himpunan sebarang dan ℱ = { : ⊆ ; = 1,2, … , }. � dikatakan suatu topologi pada jika dan hanya jika � adalah kumpulan himpunan bagian dari yang memenuhi aksioma-aksioma berikut: iv ∅, �, v ⋂ �; = 1,2, … , , vi �; = 1,2, … , . Jika dan � digabung, ditulis , �. Pasangan , � disebut sebagai ruang topologi dan anggota-anggota di � merupakan suatu himpunan buka . Penulisan , � sering ditulis hanya dengan “ ” saja. Contoh 2.2.1.2.1 : Misal = {1, 2, 3}. Dan himpunan bagian-himpunan bagian dari adalah ℱ = {∅, , 1 , 2 , 3 , 1,2 , 1,3 , 2,3 }. Maka � = {∅, , 1 , 2 , 1,2 } adalah suatu topologi pada , sebab anggota-anggota � merupakan kumpulan himpunan bagian dari dan � memenuhi aksioma: i ∅, �; ii ∅ ∅ = ∅, = , 1 2 = ∅, ∅ = ∅, 1 = 1 , 1 1,2 = {1}, ∅ 1 = ∅, 2 = {2}, {2} 2 = {2}, ∅ 2 = ∅, 1,2 = {1,2}, {2} 1,2 = {2}, ∅ 1,2 = ∅, 1 1 = 1 , 1,2 1,2 = {1,2} �; iii ∅ ∅ = ∅, = , {1} {2} = 1,2 , ∅ = , {1} = , {1} {1,2} = 1,2 , ∅ 1 = {1}, {2} = , {2} {2} = 2 , ∅ 2 = {2}, {1,2} = , {2} {1,2} = 1,2 , Universitas Sumatera Utara ∅ 1,2 = 1,2 , {1} {1} = {1}, 1,2 1,2 = {1,2} �; Contoh 2.2.1.2.2 : Misalkan = { , , } dan diberikan � = {∅, , , { }} adalah himpunan bagian dari 2 . Maka � bukanlah suatu topologi pada , sebab = { , } �. Bila terdapat suatu topologi pada yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari atau sama dengan 2 , maka topologi tersebut disebut topologi diskrit . Topologi ini adalah topologi terbesar yang dapat dibentuk. Dan bila terdapat suatu topologi pada yang anggotanya hanya terdiri dari himpunan kosong ∅ dan himpunan itu sendiri, maka topologi tersebut disebut topologi indiskrit . Topologi ini adalah topologi terkecil yang dapat dibentuk.

2.2.2 Himpunan Tertutup

Definisi 2.2.2.1. Misalkan adalah suatu ruang topologi. Suatu himpunan bagian dari disebut himpunan tertutup jika dan hanya jika komplemen dari merupakan himpunan buka. Komplemen dari ditulis . Contoh 2.2.2.1 : Misalkan = {1, 2, 3, 4} dan � = {∅, , {1}, {3}, 1,3 } adalah suatu topologi pada . Maka himpunan tertutup dari adalah { , ∅, 2,3,4 , 1,2,4 , 2,4 } yang merupakan komplemen dari setiap himpunan bagian buka pada topologi . Teorema 2.2.2.1. Diberikan adalah suatu ruang topologi. Irisan sebarang dari setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup. Selanjutnya, gabungan sebarang dari setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup. Bukti 2.2.2.1 : Misal { ; = 1,2, … , } adalah koleksi himpunan ⊆ , yang mana adalah himpunan tertutup. Diperoleh adalah himpunan terbuka, maka Universitas Sumatera Utara �. Karena � terbuka, maka ⋂ adalah tertutup, sebab = ⋂ . Selanjutnya, jika tertutup untuk = 1,2, … , , maka � terbuka. Karena ⋂ � terbuka, maka adalah tertutup, sebab ⋂ = . ∎ Contoh 2.2.2.2 : Misal = { , , , , } dan � = {∅, , { }, { , }, , , , { , , , }} adalah suatu topologi pada . Maka diperoleh himpunan tertutup dari adalah { , ∅, , , , , , , , , , { }}. Dapat diperlihatkan bahwa irisan sebarang dari setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup, misalnya , , , , , = { , }. Dan selanjutnya, gabungan sebarang dari setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup, misalnya , = { , , }.

2.2.3 Penutup Himpunan

Definisi 2.2.3.1. Misalkan adalah suatu himpunan bagian dari ruang topologi . Penutup himpunan , dinotasikan dengan , adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat . Contoh 2.2.3.1 : Misalkan = {1, 2, 3, 4} dan � = {∅, , 1 , 3 , 1,3 , {1,2,3}}. Diperoleh himpunan tertutup dari adalah { , ∅, 2,3,4 , 1,2,4 , 2,4 , {4}}. Maka: a. 1 = 1,2,4 = {1,2,4}. b. 2 = 2,3,4 1,2,4 2,4 = {2,4}. c. 2,4 = 2,3,4 1,2,4 2,4 = {2,4}. d. 1,2,4 = 1,2,4 = {1,2,4}. Teorema 2.2.3.1. Misalkan adalah suatu himpunan bagian dari ruang topologi . Himpunan adalah tertutup jika dan hanya jika = . Universitas Sumatera Utara Bukti 2.2.3.1 : Pertama, akan dibuktikan bahwa jika adalah tertutup, maka = . Karena adalah himpunan tertutup, maka himpunan tertutup terkecil yang memuat adalah itu sendiri. Dengan demikian, = . Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa jika = , maka adalah tertutup. Menurut Definisi 2.2.3.1. , adalah irisan dari semua himpunan tertutup. Dan Teorema 2.2.2.1. mengatakan bahwa irisan setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup. Dengan demikian, adalah himpunan tertutup. Kemudian, karena = , maka jelas bahwa adalah himpunan tertutup. Jadi, teorema telah terbukti. ∎ Contoh 2.2.3.2 : Misalkan = { , , } dan � = {∅, , , , { , }}. Diperoleh himpunan tertutup dari adalah { , ∅, , , , , }. Kemudian ambil = { }, yang mana suatu himpunan tertutup. Maka, = , , = = . Selanjutnya ambil = { }, yang mana bukanlah suatu himpunan tertutup. Maka, = , = , ≠ .

2.2.4 Basis dari Topologi

Definisi 2.2.4.1. Misal adalah suatu ruang topologi. Dibentuk suatu kelas ℬ yang merupakan himpunan bagian buka dari , dinotasikan ℬ �. Didefinisikan ℬ adalah basis dari topologi � jika dan hanya jika setiap himpunan buka � adalah gabungan anggota-anggota ℬ. Atau, kelas ℬ � adalah suatu basis dari topologi � jika dan hanya jika untuk setiap anggota himpunan buka , ada terdapat ℬ dengan . Contoh 2.2.4.1 : Misalkan = { , , } dan � = {∅, , , , , , , } adalah suatu topologi pada . Maka dapat dibentuk suatu basis: ℬ = {∅, , , , }, yang gabungan anggota-anggotanya membentuk setiap himpunan buka �, yaitu: Universitas Sumatera Utara i. ∅ ∅ = ∅, ii. ∅ = = { }, iii. ∅ = = { }, iv. = { , }, v. ∅ , = , , = , = { , }, dan vi. , = , , = . Teorema 2.2.4.1. Jika ℬ 1 merupakan suatu basis dari topologi � pada dan ℬ 2 merupakan koleksi dari himpunan terbuka pada , yang mana ℬ 1 ℬ 2 , maka ℬ 2 adalah juga merupakan basis bagi topologi �. Bukti 2.2.4.1 : Misalkan adalah himpunan bagian terbuka dari . Karena ℬ 1 adalah suatu basis dari topologi � pada , maka merupakan gabungan dari anggota-anggota ℬ 1 . Ini berarti bahwa = ℬ ; = 1,2, … , , yang mana ℬ ℬ 1 . Tetapi karena ℬ 1 ℬ 2 , maka berlaku untuk setiap ℬ ℬ 1 juga merupakan anggota dari ℬ 2 . Ini berarti bahwa juga merupakan gabungan dari anggota- anggota ℬ 2 . Dengan demikian, ℬ 2 merupakan basis dari topologi � pada juga. ∎ Berdasarkan Teorema 2.2.4.1. tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa basis dari suatu topologi adalah tidak tunggal. Contoh 2.2.4.2 : Misalkan diberikan = { , , , , }. Jika dibentuk suatu basis ℬ 1 = { ∅, , , , , , , , , , , , , }, maka diperoleh topologi pada , yaitu � 1 { ∅, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , }. Sekarang jika ℬ 2 = { ∅, , , , , , , , , , , , , , , , , }, maka diperoleh � 2 = ∅, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , merupakan suatu topologi pada . Universitas Sumatera Utara Dari sini jelas terlihat bahwa ℬ 1 ℬ 2 , tetapi � 1 = � 2 . Dengan demikian, ℬ 1 dan ℬ 2 merupakan basis-basis dari topologi yang sama.

2.2.5 Subbasis dari Topologi

Definisi 2.2.5.1. Misal adalah suatu ruang topologi. Dibentuk suatu kelas � yang merupakan himpunan bagian buka dari , dinotasikan � �. Didefinisikan � adalah subbasis dari topologi � jika dan hanya jika setiap irisan hingga dari anggota � membentuk suatu basis dari topologi �. Contoh 2.2.5.1 : Misalkan = { , , } dan � = {∅, , , , , , , } adalah suatu topologi pada . Maka dapat dibentuk suatu basis: ℬ = {∅, , , , }, yang gabungan anggota-anggotanya membentuk setiap himpunan buka �. Dari basis tersebut, maka dapat dibentuk suatu subbasis: � = { , , , , , , }, yang irisan hingga anggota-anggotanya membentuk basis ℬ, yaitu: a. = , = ∅, b. , , = , c. , = , , = { }, dan d. , , , = , . Dengan demikian, � merupakan suatu subbasis dari topologi �. Teorema 2.2.5.1. Jika � 1 merupakan suatu subbasis dari topologi � pada dan � 2 merupakan koleksi dari himpunan terbuka pada , yang mana � 1 � 2 , maka � 2 adalah juga merupakan subbasis bagi topologi �. Universitas Sumatera Utara Bukti 2.2.5.1 : Misalkan ℬ merupakan basis dari topologi � pada . Karena � 1 merupakan suatu subbasis dari topologi �, maka ℬ merupakan irisan hingga dari anggota-anggota � 1 . Ini berarti bahwa ℬ = ⋂� ; = 1,2, … , , yang mana � � 1 . Tetapi karena � 1 � 2 , maka berlaku untuk setiap � � 1 juga merupakan anggota dari � 2 . Ini berarti bahwa ℬ juga merupakan irisan hingga dari anggota- anggota � 2 . Dengan demikian, � 2 merupakan subbasis dari topologi � pada juga. ∎ Berdasarkan Teorema 2.2.5.1. tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa subbasis dari suatu topologi adalah tidak tunggal. Contoh 2.2.5.2 : Misalkan diberikan = { , , , , }. Jika dibentuk suatu subbasis � 1 = { , , , , , , , , , , , , }, maka dapat diperoleh suatu basis dari topologi pada , yaitu ℬ 1 = { , , , , , , , , , , , , , ∅, { }}. Sekarang jika � 2 = { , , , , , , , , , , , , , }, maka diperoleh ℬ 2 = { , , , , , , , , , , , , , , ∅} merupakan suatu basis dari topologi pada . Oleh karena ℬ 1 = ℬ 2 , maka dapat dibentuk suatu topologi yang sama pada , yaitu � = { , , , , , , , , , , , , , , ∅, , , , , { , , }}. Dari sini jelas terlihat bahwa � 1 � 2 dan ℬ 1 = ℬ 2 . Dengan demikian, � 1 dan � 2 merupakan subbasis-subbasis dari topologi yang sama.

2.2.6 Titik Limit

Definisi 2.2.6.1. Misalkan adalah sebuah ruang topologi. Suatu titik disebut titik limit dari himpunan bagian pada , dinotasikan dengan ′, jika dan Universitas Sumatera Utara hanya jika setiap himpunan buka yang memuat titik , juga memuat suatu titik pada yang berbeda dengan titik tersebut. Atau juga dapat ditulis: “ titik limit, jika , buka, sedemikian − ≠ ∅.” Contoh 2.2.6.1 : Misalkan = {1, 2, 3, 4, 5} dan � = {∅, , 1,2 , 3,4 , {1,2,3,4}} adalah suatu topologi pada . Diberikan = {1,2,3} merupakan himpunan bagian dari . Maka: i. 1 {1,2} ⟶ 1,2 − 1 1,2,3 = {2}. = 1 adalah titik limit. ii. 2 {1,2} ⟶ 1,2 − 2 1,2,3 = {1}. = 2 adalah titik limit. iii. 3 3,4 ⟶ 3,4 − 3 1,2,3 = ∅. = 3 bukan titik limit. iv. 4 {3,4} ⟶ 3,4 − 4 1,2,3 = {3}. = 4 adalah titik limit. v. 5 ⟶ − 5 1,2,3 = {1,2,3}. = 5 adalah titik limit. Jadi, himpunan titik limit dari adalah ′ = {1, 2, 4, 5}. Sifat 2.2.6.1. Bila ditentukan himpunan bagian , diperoleh titik limit ′ ′. Contoh 2.2.6.2 : Misal � = ∅, , , , , , , adalah suatu topologi pada = { , , , }. Lalu diberikan = { , } dan = { , , } masing-masing merupakan himpunan bagian dari , yang mana . Maka untuk himpunan bagian diperoleh: a. { } ⟶ − , = ∅. = bukan titik limit. b. ⟶ − , = { }. = adalah titik limit. Universitas Sumatera Utara c. , ⟶ , − , = ∅.= bukan titik limit. d. { , } ⟶ { , } − , = ∅.= bukan titik limit. Jadi, himpunan titik limit dari adalah ′ = { }. Sedangkan untuk himpunan bagian diperoleh: w. { } ⟶ − , , = ∅. = bukan titik limit. x. ⟶ − , , = { , }. = adalah titik limit. y. , ⟶ , − , , = ∅. = bukan titik limit. z. { , } ⟶ { , } − , , = { }. = adalah titik limit. Jadi, himpunan titik limit dari adalah ′ = { , }. Dengan demikian, diperoleh titik limit ′ = { } dan ′ = { , }, sehingga ′ ′. Jadi, bila ditentukan suatu himpunan bagian , akan diperoleh titik limit ′ ′. Sifat 2.2.6.2. Bila ditentukan suatu topologi � 1 � 2 , diperoleh titik limit ′ 1 ′ 2 . Contoh 2.2.6.3 : Misal � 1 = { ∅, , , , } dan � 2 = ∅, , , , , , , adalah masing-masing suatu topologi pada = { , , , , }, yang mana � 1 � 2 . Lalu diberikan = { , } merupakan suatu himpunan bagian dari . Maka untuk topologi � 1 diperoleh: i. { , , } ⟶ , , − , = ∅. = bukan titik limit. Universitas Sumatera Utara ii. ⟶ − , = { }. = adalah titik limit. iii. , , ⟶ , , − , = { }. = adalah titik limit. iv. { , , } ⟶ { , , } − , = { }. = adalah titik limit. v. ⟶ − , = { , }. = adalah titik limit. Jadi, himpunan titik limit dari untuk � 1 adalah ′ 1 = { , , , }. Sedangkan untuk topologi � 2 diperoleh: a. { } ⟶ − , = ∅. = bukan titik limit. b. ⟶ − , = { }. = adalah titik limit. c. , ⟶ , − , = ∅. = bukan titik limit. d. { , } ⟶ { , } − , = ∅. = bukan titik limit. e. ⟶ − , = { , }. = adalah titik limit. Jadi, himpunan titik limit dari untuk � 2 adalah ′ 2 = { , }. Dengan demikian, diperoleh titik limit ′ 1 = { , , , } dan ′ 2 = { , }, sehingga ′ 1 ′ 2 . Jadi bila ditentukan suatu topologi � 1 � 2 , akan diperoleh titik limit ′ 1 ′ 2 .

2.2.7 Titik Interior, Titik Eksterior, dan Batas

Universitas Sumatera Utara Definisi 2.2.7.1. Misal adalah himpunan bagian dari ruang topologi . Suatu titik disebut titik interior , yang dinotasikan dengan int atau � , jika ada dalam himpunan buka yang termuat di , atau dapat ditulis: “ titik interior, jika , dimana adalah himpunan buka.” Definisi 2.2.7.2. Misal adalah himpunan bagian dari ruang topologi dan adalah komplemen . Suatu titik disebut titik eksterior , yang dinotasikan dengan ext , jika merupakan titik interior dari , atau dapat ditulis: “ext = int .” Definisi 2.2.7.3. Misal adalah himpunan bagian dari ruang topologi . Batas dari , yang dinotasikan dengan b , adalah himpunan titik-titik yang tidak termasuk titik interior maupun titik eksterior , atau dapat ditulis: “b = int ext = int ext .” Contoh 2.2.7.1 : Misal � = {∅, , 1 , 3,4 , 1,3,4 , {2,3,4,5}} adalah suatu topologi pada = {1, 2, 3, 4, 5}, dan = {2, 3, 4} merupakan himpunan bagian dari . Maka: a. 2 {2,3,4,5} . = 2 bukan titik interior. b. 3 {3,4} . = 3 adalah titik interior. c. 4 {3,4} . = 4 adalah titik interior. Jadi, himpunan titik interior dari adalah int = {3, 4}. Dari himpunan bagian = {2, 3, 4}, diperoleh komplemen yaitu = {1, 5}. Maka: y. 1 {1} . = 1 adalah titik eksterior. z. 5 {2,3,4,5} . = 5 bukan titik eksterior. Jadi, himpunan titik eksterior dari adalah ext = {1}. Universitas Sumatera Utara Dan juga diperoleh batas dari , yang merupakan himpunan titik-titik yang tidak termasuk titik interior maupun titik eksterior , yaitu: b = int ext = 3, 4 1 = 1, 3, 4 = {2, 5}. Teorema 2.2.7.1. Jika diberikan adalah suatu ruang topologi pada dan merupakan himpunan bagian dari . Maka berlaku: i. b int = ∅; ii. b ext = ∅; iii. int ext = ∅. Bukti 2.2.7.1 : Menurut Definisi 2.2.7.3. yang mengatakan bahwa: b = int ext = int ext , maka: i. b int = {int ext } int = {int int } ext = ∅ ext = ∅. ii. b ext = {int ext } ext = int {ext ext } = int ∅ = ∅. Dan karena menurut Definisi 2.2.7.2. yang mengatakan bahwa: ext = int , maka: iii. int ext = int int = int = int ∅ = ∅. Universitas Sumatera Utara Berdasarkan Teorema 2.2.7.1. tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa titik interior, titik eksterior, dan batas dari suatu topologi adalah saling asing atau saling lepas. Dan dari Contoh 2.2.7.1 dapat diperhatikan bahwa: “int ≠ ext ≠ b .” ∎ Sifat 2.2.7.1. Bila ditentukan himpunan bagian , diperoleh titik interior int int . Contoh 2.2.7.2 : Misal � = ∅, , , , , , , adalah suatu topologi pada = { , , , }. Lalu diberikan = { , } dan = { , , } masing-masing merupakan himpunan bagian dari , yang mana . Maka untuk himpunan bagian diperoleh: a. . = bukan titik interior. b. { , } . = bukan titik interior. Jadi, himpunan titik interior dari adalah int = ∅. Sedangkan untuk himpunan bagian diperoleh: x. . = bukan titik interior. y. { , } . = adalah titik interior. z. { , } . = adalah titik interior. Jadi, himpunan titik interior dari adalah int = { , }. Dengan demikian, diperoleh titik interior int = ∅ dan int = { , }, sehingga int int . Jadi, bila ditentukan suatu himpunan bagian , akan diperoleh titik interior int int . Sifat 2.2.7.2. Bila ditentukan topologi � 1 � 2 , diperoleh masing-masing titik interior int int , titik eksterior ext ext , dan batas b b . Universitas Sumatera Utara Contoh 2.2.7.3 : Misal � 1 = { ∅, , , , } dan � 2 = ∅, , , , , , , adalah masing-masing suatu topologi pada = { , , , , }, yang mana � 1 � 2 . Lalu diberikan = { , } merupakan himpunan bagian dari . Maka untuk topologi � 1 diperoleh: i. { , , } . = bukan titik interior. ii. . = bukan titik interior. Jadi, himpunan titik interior dari untuk � 1 adalah int 1 = ∅. Dari himpunan = { , }, diperoleh komplemen adalah = { , , }. Maka: a. { , , } . = bukan titik eksterior. b. { , , } . = bukan titik eksterior. c. . = bukan titik eksterior. Jadi, himpunan titik eksterior dari untuk � 1 adalah ext 1 = ∅. Dan juga diperoleh batas dari untuk � 1 , yang merupakan himpunan titik-titik yang tidak termasuk titik interior maupun titik eksterior untuk � 1 , adalah b 1 = int 1 ext 1 = ∅ ∅ = ∅ = { , , , , }. Sedangkan untuk topologi � 2 diperoleh: i. { } . = adalah titik interior. ii. . = bukan titik interior. Jadi, himpunan titik interior dari untuk � 2 adalah int 2 = { }. Dari himpunan = { , }, diperoleh komplemen adalah = { , , }. Maka: a. { , } . = adalah titik eksterior. b. { , } . = adalah titik eksterior. c. . = bukan titik eksterior. Jadi, himpunan titik eksterior dari untuk � 2 adalah ext 2 = { , }. Universitas Sumatera Utara Dan juga diperoleh batas dari untuk � 2 , yang merupakan himpunan titik-titik yang tidak termasuk titik interior maupun titik eksterior untuk � 2 , adalah b 2 = int 2 ext 2 = { } { , } = { , , } = { , }. Dengan demikian, diperoleh titik interior int 1 = ∅ dan int 2 = { }, sehingga int 1 int 2 . Lalu diperoleh titik eksterior ext 1 = ∅ dan ext 2 = { , }, sehingga ext 1 ext 2 . Dan terakhir diperoleh batas b 1 = { , , , , } dan b 2 = { , }, sehingga b 1 b 2 . Jadi, bila ditentukan suatu topologi � 1 � 2 , akan diperoleh titik interior int 1 int 2 , titik eksterior ext 1 ext 2 , dan batas b 1 b 2 .

2.2.8 Kekontinuan pada Topologi

Definisi 2.2.8.1. Misal , � dan , � adalah suatu ruang topologi. Suatu fungsi dari ke disebut kontinu jika dan hanya jika fungsi invers −1 [ ] dari setiap himpunan bagian buka topologi � di merupakan himpunan bagian buka topologi � di , atau dapat ditulis: “ : → disebut kontinu ↔ untuk � berlaku −1 [ ] �.” Contoh 2.2.8.1 : Misal diberikan = { , , , } dan = { , , , } serta dibentuk � = {∅, , , , , , , } dan � = {∅, , , , , , , , } adalah masing-masing suatu topologi pada dan . Kemudian ditentukan suatu fungsi : → = { , , , , , , , }. Maka invers dari setiap himpunan bagian buka topologi � di adalah: i. −1 ∅ = ∅, ii. −1 = , iii. −1 = ∅, iv. −1 = { }, Universitas Sumatera Utara v. −1 , = { }, vi. −1 , , = { , , }, yang semuanya merupakan himpunan bagian buka topologi � di . Dengan demikian, fungsi disebut kontinu. Contoh 2.2.8.2 : Misal diberikan = {1, 2, 3, 4} dan = { , , , } serta dibentuk � = {∅, , 1 , 1,2 , 1,2,3 } dan � = {∅, , , , , , , , } adalah masing-masing suatu topologi pada dan . Kemudian ditentukan suatu fungsi : → = { 1, , 2, , 3, , 4, }. Maka invers dari setiap himpunan bagian buka topologi � di adalah: a. −1 ∅ = ∅, b. −1 = , c. −1 = {1,2}, d. −1 = ∅, e. −1 , = 1,2 , f. −1 , , = {3,4}. Dari invers di atas, terdapat satu invers himpunan bagian buka topologi � di yang bukan merupakan himpunan bagian buka topologi � di , yaitu: −1 { , , } = {3,4}. Dengan demikian, fungsi tidak kontinu. Universitas Sumatera Utara BAB 3 PEMBAHASAN Tujuan penelitian ini adalah untuk mengkaji apakah konsep-konsep, teorema- teorema, dan sifat-sifat tentang ruang topologi yang diberikan pada Bab 2 dapat diterapkan dalam ruang topologi fuzzy .

2.2 Pengertian Ruang Topologi

F uzzy Definisi 3.1.1. Misal suatu himpunan riel sebarang dan � = { : = , � ⊆ ; � 0,1 , = 1,2, … , }. � dikatakan suatu topologi fuzzy pada jika dan hanya jika � adalah kumpulan himpunan bagian fuzzy [0,1] dari yang memenuhi aksioma-aksioma berikut: vii 0, 1 �, viii ⋂ = min⁡{ } �; = 1,2, … , , ix = max⁡{ } �; = 1,2, … , . Jika dan � digabung, ditulis , �. Pasangan , � disebut sebagai ruang topologi fuzzy dan anggota-anggota di � merupakan suatu himpunan buka fuzzy . Contoh 3.1.1 : Misalkan = {2, 3, 4}, dan himpunan bagian-himpunan bagian fuzzy di dinyatakan dengan fungsi keanggotaan sebagai berikut: � = −1 5 1 ; 2 ; 2 4 ; 4 . Maka: = {0,1, 2, 0.2 , 3, 0.4 , 4, 0.6 , 2, 0.2 , 3, 0.4 , 2, 0.2 , 4, 0.6 3, 0.4 , 4, 0.6 , 2, 0.2 , 3, 0.4 , 4, 0.6 }. Dengan demikian, dapat dibentuk Universitas Sumatera Utara suatu topologi fuzzy di , yaitu � = {0,1, 3, 0.4 , 4, 0.6 , 3, 0.4 , 4, 0.6 }, sebab anggota-anggota � merupakan kumpulan himpunan bagian fuzzy di dan � memenuhi aksioma: iv 0, 1 �; v 0 0 = 0 1 = 0 3, 0.4 = 0 { 4, 0.6 } = 0, 1 1 = 1, 1 3, 0.4 = min 1, { 3, 0.4 } = { 3, 0.4 }, 1 4, 0.6 = min 1, 4, 0.6 = { 4, 0.6 }, 3, 0.4 3, 0.4 = 3, 0.4 , 3, 0.4 4, 0.6 = 0, 4, 0.6 { 4, 0.6 } = {4, 0.6} �; vi 0 0 = 0, 0 1 = 1 1 = 1 3, 0.4 = 1 { 4, 0.6 } = 1, { 3, 0.4 } = max 0, 3, 0.4 = {3, 0.4}, 4, 0.6 = max 0, 4, 0.6 = { 4, 0.6 }, 3, 0.4 3, 0.4 = 3, 0.4 , 3, 0.4 4, 0.6 = 3, 0.4 , 4, 0.6 , 4, 0.6 4, 0.6 = {4, 0.6} �. Bila terdapat suatu topologi fuzzy pada yang anggotanya memuat semua himpunan fuzzy dari , maka topologi tersebut disebut topologi fuzzy diskrit . Topologi fuzzy ini adalah topologi fuzzy terbesar yang dapat dibentuk. Dan bila terdapat suatu topologi fuzzy pada yang anggotanya hanya terdiri dari himpunan kosong 0 dan himpunan 1, maka topologi tersebut disebut topologi fuzzy indiskrit . Topologi fuzzy ini adalah topologi fuzzy terkecil yang dapat dibentuk.

3.2 Himpunan Tertutup