Teorema 3.2.1.
mengatakan bahwa irisan setiap himpunan tertutup
fuzzy
adalah juga himpunan tertutup
fuzzy
. Dengan demikian, adalah himpunan tertutup
fuzzy
. Kemudian, karena =
, maka jelas bahwa adalah himpunan tertutup
fuzzy
. Jadi, teorema telah terbukti. ∎
Contoh 3.3.2
: Jika
� = {0, 1, , 0.3 , , 0.3 , , 0.5 , , 0.3 , , 0.5 , , 0.8 } adalah suatu topologi
fuzzy
pada = { , , }. Maka diperoleh himpunan tertutup
fuzzy
dari adalah
{1, 0, , 0.7 , , 0.7 , , 0.5 , , 0.7 , , 0.5 , , 0.2 }.
Kemudian ambil =
, 0.7 , yang mana suatu himpunan tertutup. Maka,
= 1
, 0.7 , 0.7
, , 0.5
, 0.7 ,
, 0.5 , , 0.2
= , 0.7
= . Selanjutnya ambil
= , 0.2 , yang mana bukanlah suatu himpunan
tertutup. Maka,
=
, 0.7 ,
, 0.5 , , 0.2
= , 0.7
, , 0.5
, , 0.2 ≠
.
3.4 Basis dari Topologi
Fuzzy
Definisi 3.4.1.
Misalkan ,
� adalah suatu ruang topologi
fuzzy
. Dibentuk suatu kelas
ℬ yang merupakan himpunan bagian buka
fuzzy
dari , dinotasikan ℬ �.
Didefinisikan ℬ adalah
basis
dari topologi
fuzzy
� jika dan hanya jika setiap himpunan buka
fuzzy
� adalah gabungan anggota-anggota ℬ. Atau, kelas ℬ � adalah suatu basis dari topologi
fuzzy
� jika dan hanya jika untuk setiap anggota himpunan buka
fuzzy
, ada terdapat ℬ dengan
.
Contoh 3.4.1
: Misal � = {0, 1, , 0.3 }, { , 0.6 , , 0.3 , , 0.6 } adalah
suatu topologi
fuzzy
pada = { , , }. Maka dapat dibentuk suatu basis:
ℬ = {0, 1, , 0.3 }, { , 0.6 }, yang gabungan anggotanya membentuk setiap himpunan buka
fuzzy
�, yaitu:
Universitas Sumatera Utara
i. 0 0 = 0,
ii.
1
=
1 1
= , 0.3 1 = , 0.6 1 = 1,
iii. , 0.3 = { , 0.3 } , 0.3 = { , 0.3 },
iv. , 0.6
= { , 0.6
} , 0.6
= { , 0.6
}, dan v.
, 0.3 } { , 0.6 = , 0.3 , , 0.6 .
Teorema 3.4.1.
Jika ℬ
1
merupakan suatu basis dari topologi
fuzzy
� pada dan ℬ
2
merupakan koleksi dari himpunan terbuka
fuzzy
pada , yang mana ℬ
1
ℬ
2
, maka
ℬ
2
adalah juga merupakan basis bagi topologi
fuzzy
�.
Bukti 3.4.1
: Misalkan adalah himpunan bagian terbuka
fuzzy
dari . Karena ℬ
1
adalah suatu basis dari topologi
fuzzy
� pada , maka merupakan gabungan dari anggota-anggota
ℬ
1
. Ini berarti bahwa =
ℬ
;
= 1,2, … , , yang mana
ℬ ℬ
1
. Tetapi karena
ℬ
1
ℬ
2
, maka berlaku untuk setiap ℬ
ℬ
1
juga merupakan anggota dari
ℬ
2
. Ini berarti bahwa juga merupakan gabungan dari anggota- anggota
ℬ
2
. Dengan demikian, ℬ
2
merupakan basis dari topologi
fuzzy
� pada juga.
∎ Berdasarkan
Teorema 3.4.1.
tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa basis dari suatu topologi
fuzzy
adalah tidak tunggal.
Contoh 3.4.2
: Misalkan diberikan
= { , , }. Dan jika dibentuk suatu basis ℬ
1
= {0, 1,
, 0.3 , , 0.5 , , 0.3 , , 0.5 , , 0.7 }, maka dapat diperoleh �
1
= {0, 1, , 0.3 , , 0.5 , , 0.3 , , 0.5 , , 0.3 , , 0.5 , , 0.7 }
suatu topologi
fuzzy
pada . Dan sekarang jika dibentuk kembali suatu basis yang baru, yaitu
ℬ
2
= {0, 1,
, 0.3 , , 0.5 , , 0.3 , , 0.5 , , 0.3 , , 0.5 , , 0.7 }, maka
Universitas Sumatera Utara
�
2
= {0, 1, , 0.3 , , 0.5 , , 0.3 , , 0.5 , , 0.3 , , 0.5 , , 0.7 }
adalah suatu topologi
fuzzy
pada . Dari sini jelas terlihat bahwa
ℬ
1
ℬ
2
, tetapi �
1
= �
2
. Dengan demikian, ℬ
1
dan ℬ
2
merupakan basis-basis dari topologi
fuzzy
yang sama.
3.5 Subbasis dari Topologi
