Dengan demikian, diperoleh titik limit
fuzzy
′
1
= {1, 2, 3} dan ′
2
= {1}, sehingga
′
1
′
2
. Jadi bila ditentukan suatu topologi
fuzzy
�
1
�
2
, akan diperoleh titik limit
fuzzy
′
1
′
2
.
3.7 Titik Interior
F uzzy
, Titik Eksterior
F uzzy
, dan Batas
F uzzy
Definisi 3.7.1.
Misalkan himpunan
fuzzy
merupakan suatu himpunan bagian dari ruang topologi
fuzzy
, �. Suatu titik
disebut
titik interior fuzzy
, dinotasikan dengan
int atau
�
,
jika titik ada dalam himpunan buka
fuzzy
yang termuat di , atau dapat ditulis: “ titik interior
fuzzy
, jika , dimana himpunan buka
fuzzy
.”
Definisi 3.7.2.
Misal adalah himpunan bagian
fuzzy
dari ruang topologi
fuzzy
, � dan
−
adalah komplemen . Suatu titik disebut
titik eksterior fuzzy
, dinotasikan dengan
ext , jika merupakan titik interior
fuzzy
dari
−
, atau
dapat ditulis:
“ext = int
−
.”
Definisi 3.7.3.
Misal himpunan
fuzzy
adalah himpunan bagian dari ruang topologi
fuzzy
, �.
Batas fuzzy
dari , dinotasikan dengan
b , adalah himpunan titik-titik yang tidak termasuk titik interior
fuzzy
maupun titik eksterior
fuzzy
, atau dapat ditulis:
“b = int ext
−
= int
−
ext
−
.”
Contoh 3.7.1
: Misal � = {0, 1, , 0.2 , , 1 , , 0.2 , , 1 } merupakan
suatu topologi
fuzzy
pada = { , , }. Dan diberikan
= { , 0.2 } himpunan
bagian
fuzzy
dari . Maka:
i.
, 0.2 , 0.2
. =
, 0.2 adalah titik interior
fuzzy
. ii.
, 1 1 .
Universitas Sumatera Utara
= , 0.6 bukan titik interior
fuzzy
. Jadi, himpunan titik interior
fuzzy
dari adalah int = {
, 0.2 }. Dari himpunan bagian
fuzzy
= { , 0.2 , , 0.6 }, diperoleh komplemen
yaitu
−
= { , 0.8 , , 1 , , 0.4 , , 1}. Maka:
a.
, 0.8 1
−
. =
, 0.8 bukan titik eksterior
fuzzy
. b.
, 1 1
−
. =
, 1 bukan titik eksterior
fuzzy
. c.
, 0.4 { , 0.4 }
−
. =
, 0.4 adalah titik eksterior
fuzzy
. d.
, 1 1
−
. =
, 1 bukan titik eksterior
fuzzy
. Jadi, himpunan titik eksterior
fuzzy
dari adalah ext = {
, 0.4 }. Dan diperoleh batas
fuzzy
dari , merupakan himpunan titik-titik yang tidak
termasuk titik interior
fuzzy
atau titik eksterior
fuzzy
, yaitu: b
= int ext
−
= { , 0.2 } { , 0.4 }
−
= , 0.2 , , 0.4
−
= {
, 0.8 , , 1 , , 0.6 , , 1}.
Teorema 3.7.1.
Jika diberikan ,
� adalah suatu ruang topologi
fuzzy
pada dan merupakan himpunan bagian
fuzzy
dari . Maka berlaku: iv.
b int = 0;
v. b
ext = 0; vi.
int ext = 0.
Bukti 3.7.1
: Menurut
Definisi 3.7.3.
yang mengatakan bahwa: b
= int ext
−
= int
−
ext
−
, maka: iv.
b int
= {int
−
ext
−
} int
= {int
−
int } ext
−
Universitas Sumatera Utara
= 0 ext
−
= 0. v.
b ext
= {int
−
ext
−
} ext
= int
−
{ext
−
ext }
= int
−
= 0. Dan karena menurut
Definisi 3.7.2.
yang mengatakan bahwa: ext
= int
−
, maka:
vi. int
ext = int
int
−
= int
−
= int0 = 0.
Berdasarkan
Teorema 3.7.1.
tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa titik interior
fuzzy
, titik eksterior
fuzzy
, dan batas
fuzzy
dari suatu topologi
fuzzy
adalah saling asing atau saling lepas. Dan dari
Contoh 3.7.1
dapat diperhatikan bahwa: “int ≠ ext ≠ b .”
∎
Sifat 3.7.1.
Bila ditentukan himpunan bagian
fuzzy
, diperoleh titik interior
fuzzy
int int .
Contoh 3.7.2
: Misal
� = {0, 1, , 0.2 , , 0.4 , , 0.2 , , 0.4 } merupakan suatu topologi
fuzzy
pada = { , , , }. Dan diberikan
= {
, 0.2 , , 0.6 } dan = { , 0.2 , , 0.4 , , 0.6 } himpunan bagian
fuzzy
dari , yang mana
. Maka dari
Contoh 3.7.1
, untuk himpunan bagian
fuzzy
telah diperoleh bahwa titik interior
fuzzy
dari adalah int = {
, 0.2 }. Sedangkan untuk himpunan bagian
fuzzy
diperoleh:
a.
, 0.2 , 0.2
. =
, 0.2 adalah titik interior
fuzzy
.
Universitas Sumatera Utara
b. , 0.4 { , 0.4 }
. =
, 0.4 adalah titik interior
fuzzy
. b.
, 0.6 1 .
= , 0.6 bukan titik interior
fuzzy
. Jadi, himpunan titik interior
fuzzy
dari adalah int = {
, 0.2 , , 0.4 }. Dengan demikian, diperoleh titik interior
fuzzy
int = { , 0.2 } dan int =
{ , 0.2 , , 0.4 }, sehingga int int . Jadi, bila ditentukan suatu
himpunan bagian , akan diperoleh titik interior
fuzzy
int int .
Sifat 3.7.2.
Bila ditentukan topologi �
1
�
2
, diperoleh masing-masing titik interior
fuzzy
int int , titik eksterior ext
ext , dan batas b
b .
Contoh 3.7.3
: Misal = {1, 2, 3, 4}, serta
�
1
= {0, 1, 2, 0.5 , 3, 0.7 , 4, 0.8 }
dan �
2
= {0, 1, {2, 0.5}, {2, 0.5, 3, 0.7}, 2, 0.5 , 3, 0.7 , 4, 0.8 } adalah
masing-masing suatu topologi
fuzzy
pada , yang mana
�
1
�
2
. Kemudian diberikan
= { 1, 0.3 , 2, 0.5} merupakan himpunan bagian
fuzzy
dari . Maka untuk
�
1
diperoleh: iii.
1, 0.3 1 .
= 1, 0.3 bukan titik interior
fuzzy
. iv.
2, 0.5 1 .
= 2, 0.5 bukan titik interior
fuzzy
. Jadi, himpunan titik interior
fuzzy
dari untuk �
1
adalah int
1
= 0. Dari himpunan bagian
fuzzy
= { 1, 0.3 , 2, 0.5}, diperoleh komplemen
yaitu
−
= { 1, 0.7 , 2, 0.5 , 3, 1 , 4, 1}. Maka:
a.
1, 0.7 1
−
. =
1, 0.7 bukan titik eksterior
fuzzy
. b.
2, 0.5 1
−
.
Universitas Sumatera Utara
= 2, 0.5 bukan titik eksterior
fuzzy
. c.
3, 1 1
−
. =
3, 1 bukan titik eksterior
fuzzy
. d.
4, 1 1
−
. =
4, 1 bukan titik eksterior
fuzzy
. Jadi, himpunan titik eksterior
fuzzy
dari untuk �
1
adalah ext
1
= 0. Dan diperoleh batas
fuzzy
dari untuk �
1
, merupakan himpunan titik-titik yang tidak termasuk titik interior
fuzzy
maupun titik eksterior
fuzzy
, yaitu: b
1
= int
1
ext
1 −
= 0
−
= 0
−
= 1. Sedangkan untuk
�
2
diperoleh: i.
1, 0.3 1 .
= 1, 0.3 bukan titik interior
fuzzy
. ii.
2, 0.5 {2, 0.5} .
= 2, 0.5 adalah titik interior
fuzzy
. Jadi, himpunan titik interior
fuzzy
dari untuk �
2
adalah int
2
= {2, 0.5}. Dari himpunan bagian
fuzzy
= { 1, 0.3 , 2, 0.5}, diperoleh komplemen
yaitu
−
= { 1, 0.7 , 2, 0.5 , 3, 1 , 4, 1}. Maka:
a.
1, 0.7 1
−
. =
1, 0.7 bukan titik eksterior
fuzzy
. b.
2, 0.5 {2, 0.5}
−
. =
2, 0.5 adalah titik eksterior
fuzzy
. c.
3, 1 1
−
. =
3, 1 bukan titik eksterior
fuzzy
. d.
4, 1 1
−
.
Universitas Sumatera Utara
= 4, 1 bukan titik eksterior
fuzzy
. Jadi, himpunan titik eksterior
fuzzy
dari untuk �
2
adalah ext
2
= {2, 0.5}. Dan diperoleh batas
fuzzy
dari untuk �
2
, himpunan titik yang tidak termasuk titik interior
fuzzy
maupun titik eksterior
fuzzy
, yaitu: b
2
= int
2
ext
2 −
= {2, 0.5} {2, 0.5}
−
= 2, 0.5
−
= {
1, 1 , 2, 0.5 , 3, 1 , 4, 1}. Dengan demikian, diperoleh titik interior
fuzzy
int
1
= 0 dan int
2
= {2, 0.5}, sehingga int
1
int
2
. Lalu diperoleh titik eksterior
fuzzy
ext
1
= 0 dan ext
2
= {2, 0.5}, sehingga ext
1
ext
2
. Dan terakhir
diperoleh batas
fuzzy
b
1
= 1 dan
b
2
= { 1, 1 , 2, 0.5 , 3, 1 , 4, 1}, sehingga b
1
b
2
. Jadi, bila ditentukan suatu topologi
fuzzy
�
1
�
2
, akan diperoleh titik interior
fuzzy
int
1
int
2
, titik eksterior
fuzzy
ext
1
ext
2
, dan batas
fuzzy
b
1
b
2
.
3.8 Kekontinuan pada Topologi
