�
2
= {0, 1, , 0.3 , , 0.5 , , 0.3 , , 0.5 , , 0.3 , , 0.5 , , 0.7 }
adalah suatu topologi
fuzzy
pada . Dari sini jelas terlihat bahwa
ℬ
1
ℬ
2
, tetapi �
1
= �
2
. Dengan demikian, ℬ
1
dan ℬ
2
merupakan basis-basis dari topologi
fuzzy
yang sama.
3.5 Subbasis dari Topologi
F uzzy
Definisi 3.5.1.
Misalkan ,
� adalah suatu ruang topologi
fuzzy
. Dibentuk suatu kelas
� yang merupakan himpunan bagian buka
fuzzy
dari , dinotasikan � �.
Didefinisikan � adalah
subbasis
dari topologi
fuzzy
� jika dan hanya jika setiap irisan hingga dari anggota
� membentuk suatu basis dari topologi
fuzzy
�.
Contoh 3.5.1
: Misalkan dibentuk suatu topologi
fuzzy
pada = { , , }, yaitu
� = {0, 1, , 0.4 }, { , 0.6 , , 0.4 , , 0.6 , , 0.4 , , 0.6 , , 0.8 }. Maka dapat dibentuk suatu basis:
ℬ = {0, 1, , 0.4 }, { , 0.6 , , 0.4 , , 0.6 , , 0.8 }, yang gabungan anggota-anggotanya membentuk setiap himpunan buka
fuzzy
�. Dari basis tersebut, maka dapat dibentuk suatu subbasis:
� = {1, , 0.4 }, { , 0.6 , , 0.4 , , 0.6 , , 0.8 }, yang irisan hingga anggota-anggotanya membentuk basis
ℬ, yaitu: a.
1 1 = 1, b.
1 , 0.4 = , 0.4 , 0.4 = { , 0.4 },
c. 1 {
, 0.6 } = { , 0.6 } { , 0.6 } = { , 0.6 }, d.
1 , 0.4 , , 0.6 , , 0.8 = , 0.4 , , 0.6 , , 0.8 ,
e. {
, 0.4 } { , 0.6 } = 0, f.
{ , 0.4 } , 0.4 , , 0.6 , , 0.8 = 0, dan
Universitas Sumatera Utara
g. {
, 0.6 } , 0.4 , , 0.6 , , 0.8 = 0. Dengan demikian,
� merupakan suatu subbasis dari topologi
fuzzy
�.
Teorema 3.5.1.
Jika �
1
merupakan suatu subbasis dari topologi
fuzzy
� pada dan �
2
merupakan koleksi dari himpunan terbuka pada , yang mana �
1
�
2
, maka �
2
adalah juga merupakan subbasis bagi topologi
fuzzy
�.
Bukti 3.5.1
: Misalkan ℬ merupakan basis dari topologi
fuzzy
� pada . Karena �
1
merupakan suatu subbasis dari topologi
fuzzy
�, maka ℬ merupakan irisan hingga dari anggota-anggota
�
1
. Ini berarti bahwa ℬ = ⋂� ; = 1,2, … , , yang mana
� �
1
. Tetapi karena
�
1
�
2
, maka berlaku untuk setiap �
�
1
juga merupakan anggota dari
�
2
. Ini berarti bahwa ℬ juga merupakan irisan hingga dari anggota-
anggota �
2
. Dengan demikian, �
2
merupakan subbasis dari topologi
fuzzy
� pada juga.
∎ Berdasarkan
Teorema 3.5.1.
tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa subbasis dari suatu topologi
fuzzy
� adalah tidak tunggal.
Contoh 3.5.2
: Misalkan diberikan = { , , , }. Jika dibentuk suatu subbasis
�
1
= {1, , 0.3 }, { , 0.6 , { , 0.7 }}, maka dapat diperoleh suatu basis dari
topologi
fuzzy
pada , yaitu ℬ
1
= {1, , 0.3 }, { , 0.6 , 0}.
Sekarang jika �
2
= {1, , 0.3 }, , 0.4 , { , 0.6 , { , 0.7 }}, maka diperoleh
ℬ
2
= {1, , 0.3 }, { , 0.6 , 0} merupakan suatu basis dari topologi
fuzzy
pada .
Oleh karena ℬ
1
= ℬ
2
, maka dapat dibentuk suatu topologi
fuzzy
yang sama pada , yaitu
� = {0, 1, , 0.3 }, { , 0.6 , , 0.3 , , 0.6 }. Dari sini jelas terlihat bahwa
�
1
�
2
dan ℬ
1
= ℬ
2
. Dengan demikian, �
1
dan �
2
merupakan subbasis- subbasis dari topologi
fuzzy
yang sama.
Universitas Sumatera Utara
3.6 Titik Limit
