Kajian Tentang Ruang Topologi Fuzzy

SKRIPSI

ROLAND SEBLYANRY

070803017

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

ROLAND SEBLYANRY 070803017

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2012

PERSETUJUAN

Judul : KAJIAN TENTANG RUANG TOPOLOGI

FUZZY

Kategori : SKRIPSI

Nama : ROLAND SEBLYANRY

Nomor Induk Mahasiswa : 070803017

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, Januari 2012 Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Pangeran Sianipar, MS Dra. Mardiningsih, M.Si NIP. 19470208 1974031 001 NIP. 19630405 1988112 001

Diketahui/ Disetujui oleh:

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., Ph.D, M.Sc NIP. 19620911 198803 1 002

PERNYATAAN

KAJIAN TENTANG RUANG TOPOLOGI FUZZY

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Januari 2012

ROLAND SEBLYANRY 070803017

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah Bapa, Yesus Kristus dan Roh Kudus, atas segala kasih dan kekuatan yang ajaib yang senantiasa menyertai penulis, sehingga penulis dapat mengerjakan dan menyelesaikan skripsi ini.

Dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan membimbing penulis menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:

1. Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si dan Bapak Drs. Pangeran Sianipar, MS selaku dosen pembimbing penulis, yang telah menyediakan waktunya untuk membimbing dan memberikan pengarahan kepada penulis. 2. Ibu Asima Manurung, S.Si, M.Si dan Bapak Drs. Liling

Perangin-angin, M.Si selaku dosen penguji penulis, atas setiap saran dan masukannya.

3. Bapak Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., Ph.D, M.Sc dan Ibu Dra. Mardiningsih M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

4. Dekan, Bapak dan Ibu dosen, semua Staf Administrasi di Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah menyertai penulis selama perkuliahan.

5. Orang tua penulis, H. Hutagalung dan R. br. Hutabarat, yang senantiasa memberikan doa, motivasi dan kasih sayang yang tak terhingga dalam hidup penulis. Adik-adik penulis, Albert, Yosua, Rainhard, Sandy, dan Angel, yang selalu memberikan semangat dan penghiburan. Keluarga besar penulis, terkhusus opung dan uda Kunek alias Sahat Jansen Hutagalung, yang telah memberikan dukungan doa dan dana dalam perkuliahan penulis.

6. Kelompok PA Yosua MATH, bang Rikardo Siregar, Kaleb Silitonga dan Rimbun Siahaan, atas kebersamaan dan pertumbuhan rohaninya. Sahabat doa penulis, Fretty Mayerling Siagian, yang senantiasa memberikan semangat, motivasi, dan kekuatan kasih kepada penulis. Teman-teman pelayanan penulis di PD. Maranatha, dan seluruh teman-teman kuliah, senior dan junior Matematika, terkhusus stambuk 2007, atas kebersamaan dan persahabatannya.

Terima kasih penulis ucapkan atas semua doa dan dukungannya. Kiranya kasih karunia dan kemurahan Tuhan yang menyertai kita semua. Akhir kata, semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

ABSTRAK

Kajian ini bertujuan untuk memperlihatkan bahwa setiap konsep, sifat, teorema, dan operasi yang terdapat di dalam ruang topologi ( ,�), dengan adalah himpunan bilangan riil ℝ, dapat diberlakukan di dalam ruang topologi fuzzy ( ,�), yang mana sekarang merupakan himpunan fuzzy yang nilainya berada dalam selang tertutup [0,1]. Dan di bagian akhir diperlihatkan bahwa dua ruang topologi tersebut memiliki hubungan yang isomorfik.

THE STUDY OF F UZZY TOPOLOGICAL SPACES

ABSTRACT

This study is shown that every concepts, properties, theorems, and operations on topological spaces ( ,�), where is the real numbers sets, can be apllied on fuzzy

topological spaces ( ,�), where now is the fuzzy sets which in closed interval

[0,1]. And at the end is shown that these topological spaces is a isomorfic

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Bab 1 Pendahuluan

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 3

1.4 Tinjauan Pustaka 3

1.5 Tujuan Penelitian 5

1.6 Kontribusi Penelitian 5

1.7 Metode Penelitian 5

Bab 2 Landasan Teori

2.1 Himpunan Fuzzy 6

2.1.1 Pengertian Himpunan Fuzzy 6

2.1.2 Fungsi Keanggotaan 7

2.1.2.1 Fungsi Keanggotaan Segitiga 8

2.1.2.2 Fungsi Keanggotaan Trapesium 8

2.1.2.3 Fungsi Keanggotaan Gauss 9

2.1.2.4 Fungsi Keanggotaan Cauchy 9

2.1.2.5 Fungsi Keanggotaan Sigmoid 9

2.1.2.6 Fungsi Keanggotaan Kiri-Kanan 9

2.1.3 Operasi pada Himpunan Fuzzy 10

2.1.3.1 Penjumlahan 10

2.1.3.2 Pengurangan 11

2.1.3.3 Perkalian 11

2.1.3.4 Pembagian 12

2.1.3.5 Komplemen 13

2.1.3.6 Gabungan 13

2.1.3.7 Irisan 13

2.2 Topologi dan Ruang Topologi 14

2.2.1 Pengertian Topologi dan Ruang Topologi 15

2.2.1.1 Persekitaran 15

2.2.1.2 Pengertian Topologi dan Ruang Topologi 15

2.2.3 Penutup Himpunan 17

2.2.4 Basis dari Topologi 18

2.2.5 Subbasis dari Topologi 20

2.2.6 Titik Limit 21

2.2.7 Titik Interior, Titik Ekstertior, dan Batas 24

2.2.8 Kekontinuan pada Topologi 28

Bab 3 Pembahasan

3.1 Pengertian Ruang Topologi Fuzzy 30

3.2 Himpunan Tertutup Fuzzy 31

3.3 Penutup Himpunan Fuzzy 32

3.4 Basis dari Topologi Fuzzy 33

3.5 Subbasis dari Topologi Fuzzy 35

3.6 Titik Limit Fuzzy 36

3.7 Titik Interior Fuzzy, Titik Ekstertior Fuzzy, dan Batas Fuzzy 40

3.8 Kekontinuan pada Topologi Fuzzy 45

3.9 Hubungan antara Ruang Topologi ( ,�) dan Ruang Topologi Fuzzy

( ,�) 46

Bab 4 Kesimpulan dan Saran

4.1 Kesimpulan 49

4.2 Saran 49

ABSTRAK

Kajian ini bertujuan untuk memperlihatkan bahwa setiap konsep, sifat, teorema, dan operasi yang terdapat di dalam ruang topologi ( ,�), dengan adalah himpunan bilangan riil ℝ, dapat diberlakukan di dalam ruang topologi fuzzy ( ,�), yang mana sekarang merupakan himpunan fuzzy yang nilainya berada dalam selang tertutup [0,1]. Dan di bagian akhir diperlihatkan bahwa dua ruang topologi tersebut memiliki hubungan yang isomorfik.

THE STUDY OF F UZZY TOPOLOGICAL SPACES

ABSTRACT

This study is shown that every concepts, properties, theorems, and operations on topological spaces ( ,�), where is the real numbers sets, can be apllied on fuzzy

topological spaces ( ,�), where now is the fuzzy sets which in closed interval

[0,1]. And at the end is shown that these topological spaces is a isomorfic

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Akhir-akhir ini, konsep tentang logika himpunan fuzzy begitu banyak dipelajari dan dipergunakan. Ini disebabkan karena himpunan fuzzy tidak diekspresikan dalam istilah binary (0 atau 1, hitam atau putih, panas atau dingin), melainkan dinyatakan secara fleksibel antara 0 dan 1, antara hitam dan putih, antara panas dan dingin. Sebagai contoh, gradasi warna di bidang fotografi dan perfilman. Dahulu foto dan film hanya berupa gambar hitam-putih. Namun dengan konsep tentang logika himpunan fuzzy, gradasi warna dapat diciptakan, sehingga kini foto dan film dapat beraneka warna.

Fuzzy secara bahasa dapat diartikan sebagai “kabur” atau “samar-samar”. Himpunan fuzzy adalah himpunan yang keanggotaannya memiliki nilai kekaburan/kesamaran antara salah dan benar. Konsep tentang himpunan fuzzy

pertama kali diperkenalkan oleh Profesor Lotfi A. Zadeh, seorang ilmuwan Amerika Serikat berkebangsaan Iran, dari Universitas California di Barkeley, melalui tulisannya “Fuzzy Sets” pada tahun 1965. L.A. Zadeh mendefinisikan suatu himpunan fuzzy dalam semesta pembicaraan = { ₁, ₂,…, } sebagai fungsi �: →[0,1], yang mana �( ) mempresentasikan derajat keanggotaan

, = 1,2,…, . Artinya, bukan anggota himpunan fuzzy jika � ( ) = 0;

adalah anggota penuh himpunan fuzzy jika � ( ) = 1; dan adalah anggota himpunan fuzzy dengan derajat keanggotaan sebesar � jika � = �, yang mana 0 <� < 1. Dengan kata lain, suatu himpunan fuzzy dapat didefinisikan secara umum sebagai himpunan pasangan berurutan

Sementara itu, kata „topologi‟ berasal dari bahasa Yunani, yaitu „topos‟

yang berarti tempat dan „logos‟ yang berarti ilmu. Dengan demikian, topologi adalah ilmu yang berhubungan dengan tempat/tata ruang. Topologi dapat diartikan sebagai cabang matematika yang bersangkutan dengan tata ruang yang tidak berubah dalam deformasi dwikontinu, yaitu ruang yang dapat ditekuk, dilipat, disusut, direntangkan, dan dipilin, tetapi tidak diperkenankan untuk dipotong, dirobek, ditusuk, atau dilekatkan.

Kajian topologi bermula dari permasalahan geometri oleh Leonard Euler pada tahun 1736 dalam tulisan “Seven Bridges of Königsberg”, yang merupakan awal sejarah berkembangnya teori graf. Konsep topologinya sendiri diperkenalkan oleh Johann Benedict Listing dalam tulisan “Vorstudien zur Topologie” pada tahun 1847 di Jerman. Konsep topologi muncul melalui pengembangan konsep dari geometri dan teori himpunan, seperti ruang, dimensi, bentuk, dan transformasi.

Suatu topologi � pada himpunan sebarang adalah kumpulan dari himpunan bagian-himpunan bagian , yang mana � mengandung himpunan kosong ∅, himpunan itu sendiri, gabungan dari setiap himpunan bagian, dan irisan dari setiap himpunan bagian tersebut. Pasangan ( ,�) ini disebut sebagai

ruang topologi.

Ruang topologi adalah struktur yang diperkenankan untuk memformalkan konsep seperti konvergensi, keterhubungan, dan kontinuitas. Ruang topologi dapat dibentuk pada grup, semigrup, aljabar, dan himpunan lainnya, seperti himpunan

fuzzy. Ruang topologi pada himpunan fuzzy disebut ruang topologi fuzzy.

Berdasarkan uraian di atas, penulis mencoba mempelajari tentang konsep ruang topologi fuzzy beserta sifat-sifat yang ada. Oleh karena itu, penulis memilih judul Tugas Akhir ini: “KAJIAN TENTANG RUANG TOPOLOGI F UZZY”.

1.2 Perumusan Masalah

Permasalahan yang diangkat dalam tulisan ini adalah tentang bagaimana sifat-sifat dan teorema dalam ruang topologi ( ,�), dengan adalah himpunan bilangan riil

ℝ, dapat diberlakukan pada ruang topologi fuzzy ( ,�), yang mana sekarang merupakan himpunan fuzzy yang nilainya berada dalam selang tertutup [0,1].

1.3 Batasan Masalah

Dalam penulisan ini, penulis hanya memakai contoh himpunan fuzzy yang diskrit dengan nilai 1 angka di belakang koma. Dan sifat yang dikaji hanya dibatasi sampai kepada sifat kekontinuan dalam ruang topologi dan ruang topologi fuzzy.

1.4 Tinjauan Pustaka

Zadeh (1965) mengatakan bahwa himpunan fuzzy adalah suatu kumpulan objek yang dinyatakan dengan derajat keanggotaan. Himpunan ini disajikan dengan fungsi karakteristik yang derajat keanggotaannya bernilai antara 0 dan 1.

Carlson (2010) mengatakan bahwa himpunan fuzzy di suatu himpunan didefinisikan sebagai fungsi �: →[0,1]. Disini �( ) mempresentasikan derajat keanggotaan dari di himpunan fuzzy .

Diberikan contoh: “Himpunan fuzzydari bilangan riil yang lebih besar dari 10”

adalah suatu himpunan fuzzy di ℝ yang dapat dituliskan menjadi fungsi kontinu

�: ℝ → [0,1] yang dibentuk sebagai

� = 0 −10 90

1

; 10 ; 10 < < 100

Munir (2007) mengatakan bahwa operasi-operasi pada himpunan fuzzy

didefinisikan sebagai berikut:

(i) Gabungan ( ) diartikan sebagai “ dekat atau dekat

”.

� =� � = max⁡(� , � )

(ii) Irisan ( )diartikan sebagai “ dekat dan dekat ”.

� =� � = min⁡(� , � )

(iii) Komplemen ( )diartikan sebagai “ tidak dekat ”.

� = 1− � ( )

Davis (2005) mengatakan bahwa jika dimisalkan adalah suatu himpunan. Topologi di adalah koleksi � subhimpunan dari yang memenuhi kondisi berikut:

(i) ∅, �.

(ii) Jika � untuk semua , maka ⋂ �. (iii) Jika � untuk semua , maka �.

Pasangan ( ,�) disebut sebagai ruang topologi dan anggota-anggota di � merupakan suatu himpunan buka. Dalam beberapa penulisan dan buku, ruang topologi “( ,�)” biasanya sering ditulis sebagai ruang topologi “ ” saja.

Croom (1989) menambahkan bahwa dengan memakai kata himpunan buka, maka koleksi subhimpunan dari adalah suatu topologi untuk yang memenuhi:

(i) Himpunan dan ∅ adalah himpunan buka.

(ii) Gabungan dari koleksi-koleksi himpunan buka adalah juga suatu himpunan buka.

(iii) Irisan dari koleksi-koleksi hingga himpunan buka adalah juga suatu himpunan buka.

Vilela dan Bautista (2011) dalam jurnalnya mengatakan bahwa suatu

topologi fuzzy pada himpunan tak-kosong adalah kumpulan � dari himpunan

fuzzy di yang memenuhi:

(i) untuk setiap [0,1], himpunan fuzzy � didefinisikan dengan � = ,∀ , ada di dalam �,

(ii) jika , �, maka �, yang mana = min⁡{ , }, dan

(iii) jika � untuk ⊆ , maka �, yang mana

= sup{ } .

Pasangan ( ,�) disebut sebagai suatu ruang topologi fuzzy dan anggota-anggota di � adalah himpunan buka fuzzy.

1.5 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk mengkaji tentang konsep, sifat-sifat, teorema, dan operasi-operasi yang terdapat di dalam ruang topologi ( ,�), apakah dapat diberlakukan di dalam ruang topologi fuzzy ( ,�) atau tidak, serta mencari keterhubungan antara dua ruang topologi tersebut.

1.6 Kontribusi Penelitian

Manfaat dari penulisan ini adalah sebagai berikut:

1. Menambah wawasan penulis tentang himpunan fuzzy, ruang topologi ( ,�), dan ruang topologi fuzzy( ,�).

2. Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan untuk mahasiswa matematika, terlebih bagi mahasiswa yang hendak melakukan penelitian serupa.

1.7 Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah:

1. Mempelajari literatur tentang sifat-sifat yang berlaku dalam himpunan

fuzzy dan ruang topologi dari media buku dan media internet berupa jurnal dan artikel.

2. Menjelaskan tentang konsep, sifat-sifat, teorema, dan operasi-operasi yang terdapat di dalam ruang topologi ( ,�) dan bagaimana bila diaplikasikan ke ruang topologi fuzzy( ,�).

3. Mencari keterhubungan antara ruang topologi ( ,�) dengan ruang topologi fuzzy( ,�), yakni keisomorfisannya.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Himpunan F uzzy

Fuzzy berarti “kabur” atau “samar-samar”. Himpunan fuzzy adalah himpunan yang keanggotaannya memiliki nilai kekaburan/kesamaran antara salah dan benar. Konsep tentang himpunan fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Profesor Lotfi A. Zadeh, seorang ilmuwan Amerika Serikat berkebangsaan Iran, dari Universitas California di Barkeley, melalui tulisannya “Fuzzy Sets” pada tahun 1965.

2.1.1 Pengertian Himpunan F uzzy

Sebelum teori tentang himpunan fuzzy muncul, dikenal sebuah himpunan klasik yang seringkali disebut himpunan tegas (crisp set) yang keanggotaannya memiliki nilai salah atau benar secara tegas. Sebaliknya, anggota himpunan fuzzy memiliki nilai kekaburan antara salah dan benar. Himpunan tegas hanya mengenal dingin atau panas, sedangkan himpunan fuzzy dapat mengenal dingin, sejuk, hangat, dan panas.

Perbedaan antara dua jenis himpunan tersebut adalah himpunan tegas hanya memiliki dua kemungkinan nilai keanggotaan, yaitu 0 atau 1. Artinya, untuk sebarang himpunan tegas , jika sebuah unsur adalah bukan anggota himpunan , maka nilai yang berhubungan dengan adalah 0. Dan jika unsur tersebut merupakan anggota himpunan , nilai yang berhubungan dengan adalah 1.

Sedangkan dalam himpunan fuzzy, keanggotaan suatu unsur dinyatakan dengan derajat keanggotaan (membership values), yang nilainya terletak dalam

interval [0,1] dan ditentukan dengan fungsi keanggotaan � : →[0,1]. Artinya, untuk sebarang himpunan fuzzy , sebuah unsur adalah bukan anggota himpunan jika � = 0, unsur adalah anggota penuh himpunan jika

� = 1, dan unsur tersebut adalah anggota himpunan dengan derajat keanggotaan sebesar � jika � =�, dengan 0 < �< 1.

Dengan demikian dapat dipeoleh suatu definisi untuk himpunan fuzzy, yakni:

Definisi 2.1.1.1. Himpunan fuzzy dalam suatu himpunan sebarang adalah himpunan yang anggota-anggotanya dinyatakan dengan derajat keanggotaan, yang nilainya terletak dalam interval [0,1] dan ditentukan dengan fungsi keanggotaan

� : →[0,1].

2.1.2 Fungsi Keanggotaan

Setiap himpunan fuzzy dapat dinyatakan dengan suatu fungsi keanggotaan. Ada beberapa cara untuk menyatakan himpunan fuzzy dengan fungsi keanggotaannya. Untuk semesta hingga diskrit biasanya dipakai cara daftar, yaitu daftar anggota dengan derajat keanggotaannya yang dibentuk sebagai himpunan pasangan berurutan

= {( 1,� 1 , ( 2,� 2 , … , ( ,� }.

Contoh 2.1.2.1: Misal adalah himpunan fuzzy“bilangan real yang dekat dengan 2”. Himpunan fuzzy dapat disajikan dengan menggunakan fungsi keanggotaan sebagai berikut:

� = −

1 untuk 1 2

3− untuk 2 3

Dengan fungsi keanggotaan ini, diperoleh: � 1 = 0, � 1.5 = 0.5, � 1.7 =

0.7, � 2 = 1, � 2.5 = 0.5, � 2.7 = 0.3, dan � 3 = 0. Maka, dapat

ditulis sebagai himpunan pasangan berurutan:

= { 1, 0 , 1.5, 0.5 , 1.7, 0.7 , 2, 1 , 2.5, 0.5 , 2.7, 0.3 , (3, 0)}.

Kebanyakan himpunan fuzzy berada dalam semesta himpunan semua bilangan riil ℝ dengan fungsi keanggotaan yang dinyatakan dalam bentuk suatu formula matematis. Formula matematis fungsi keanggotaan dalam himpunan fuzzy

tersebut diantaranya adalah fungsi keanggotaan segitiga, fungsi keanggotaan trapesium, fungsi keanggotaan Gauss, fungsi keanggotaan Cauchy, fungsi keanggotaan sigmoid, dan fungsi keanggotaan kiri-kanan.

2.1.2.1 Fungsi Keanggotaan Segitiga

Definisi 2.1.2.1.1. Suatu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy disebut fungsi keanggotaan segitiga jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu , , ℝ dengan < < , dinyatakan dengan ( ; , , ) dengan aturan:

; , , =

−

− untuk

−

− untuk

0 untuk lainnya

Fungsi keanggotaan tersebut dapat juga dinyatakan sebagai berikut:

; , , = ( −

− , −

− , 0).

2.1.2.2 Fungsi Keanggotaan Trapesium

Definisi 2.1.2.2.1. Suatu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy disebut fungsi keanggotaan trapesium jika mempunyai empat buah parameter, yaitu , , ,

ℝ dengan < < < , dinyatakan dengan ( ; , , , ) dengan aturan:

−

− untuk

1 untuk

−

− untuk

0 untuk lainnya

Fungsi keanggotaan tersebut dapat juga dinyatakan sebagai berikut:

; , , , = ( −

− , 1, −

− , 0).

2.1.2.3 Fungsi Keanggotaan Gauss

Definisi 2.1.2.3.1. Suatu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy disebut fungsi keanggotaan Gauss jika mempunyai dua buah parameter, yaitu , ℝ, dinyatakan dengan ( ; , ) sebagai berikut:

; , = −( − )2.

2.1.2.4 Fungsi Keanggotaan Cauchy

Definisi 2.1.2.4.1. Suatu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy disebut fungsi keanggotaan Cauchy jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu , , ℝ, dinyatakan dengan ( ; , , ) sebagai berikut:

; , , = 1

1+ − 2 .

2.1.2.5 Fungsi Keanggotaan Sigmoid

Definisi 2.1.2.5.1. Suatu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy disebut fungsi keanggotaan Sigmoid jika mempunyai dua buah parameter, yaitu , ℝ, dinyatakan dengan ( ; , ) sebagai berikut:

; , = 1

1+ − ( − ) .

2.1.2.6 Fungsi Keanggotaan Kiri-Kanan

Definisi 2.1.2.6.1. Suatu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy disebut fungsi keanggotaan kiri-kanan jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu , , ℝ, dinyatakan dengan _� ( ; , , ) sebagai berikut:

� ; , , = �

−

untuk −

untuk

.

Tentu saja masih banyak fungsi-fungsi keanggotaan lainnya yang dapat dibuat untuk memenuhi keperluan aplikasi-aplikasi tertentu. Yang jelas fungsi keanggotaan memainkan peranan sentral dalam teori himpunan fuzzy yang harus dikontruksikan untuk menyatakan istilah linguistik yang dipergunakan.

2.1.3 Operasi pada Himpunan F uzzy

Terhadap dua buah himpunan fuzzy atau lebih, dapat dilakukan operasi-operasi untuk menghasilkan himpunan fuzzy yang lain. Operasi-operasi tersebut diantaranya adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian,

2.1.3.1 Penjumlahan

Definisi 2.1.3.1.1. Penjumlahan dua buah himpunan fuzzy dan adalah himpunan fuzzy + , yang didefinisikan dengan fungsi keanggotaan

� + = sup + = min{� , � }.

Contoh 2.1.3.1.1: Misalkan dalam semesta = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} diketahui himpunan-himpunan fuzzy

= { 1, 0.4 , 2, 1 , 3, 0.6 , 4, 0.1 }.

= { 2, 0.2 , 3, 0.7 , 4, 1 , 5, 0.6 }.

Maka diperoleh

+ = { 3, 0.2 , 4, 0.4 , 5, 0.7 , 6, 1 , 7, 0.6 , 8, 0.6 , (9, 0.1)}.

Definisi 2.1.3.1.2. Jika himpunan fuzzy dijumlahkan dengan suatu bilangan real

ℝ, maka penjumlahan tersebut dapat didefinisikan dengan fungsi keanggotaan

� + = sup + = min{� , 1} =� ( − ).

Contoh 2.1.3.1.2: Misalkan dalam semesta = {−3,−2,−1, 0, 1, 2} diketahui himpunan fuzzy

= { −3, 0 , −2, 0.3 , −1, 0.5 , 0, 0.7 , (1, 1)}.

Maka diperoleh

2.1.3.2 Pengurangan

Definisi 2.1.3.2.1. Pengurangan dua buah himpunan fuzzy dan adalah himpunan fuzzy − , yang didefinisikan dengan fungsi keanggotaan

� ₋ = sup _{− =} min{� , � }.

Contoh 2.1.3.2.1: Misalkan dalam semesta = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} diketahui himpunan-himpunan fuzzy

= { 6, 0.4 , 7, 1 , 8, 0.6 , 9, 0.1 }.

= { 2, 0.2 , 3, 0.7 , 4, 1 , 5, 0.6 }.

Maka diperoleh

− = { 1, 0.4 , 2, 0.6 , 3, 1 , 4, 0.7 , 5, 0.6 , 6, 0.6 , (7, 0.1)}.

2.1.3.3 Perkalian

Definisi 2.1.3.3.1. Perkalian dua buah himpunan fuzzy dan adalah himpunan

fuzzy ∙ , yang didefinisikan dengan fungsi keanggotaan

� _∙ = sup _{∙ =} min{� , � }.

Contoh 2.1.3.3.1: Misalkan dalam semesta = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} diketahui himpunan-himpunan fuzzy

= { 1, 0.4 , 2, 1 , 3, 0.6 , 4, 0.1 }.

= { 0, 0.2 , 1, 1 , 2, 0.6 }.

Maka diperoleh

Definisi 2.1.3.3.2. Jika himpunan fuzzy dikalikan dengan suatu bilangan real

ℝ, maka perkalian tersebut dapat didefinisikan dengan fungsi keanggotaan

� _∙ = sup _{∙ =} min{� , 1} =� ( / ).

Contoh 2.1.3.3.2: Misal dalam semesta = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} diketahui himpunan fuzzy

= { 0, 0 , 1, 0.3 , 2, 0.5 , 3, 0.7 , (4, 1)}.

Maka diperoleh

∙2 = { 0, 0 , 2, 0.3 , 4, 0.5 , 6, 0.7 , (8, 1)}.

2.1.3.4 Pembagian

Definisi 2.1.3.4.1. Pembagian dua buah himpunan fuzzy dan adalah himpunan

fuzzy / , yang didefinisikan dengan fungsi keanggotaan

� / = sup / = min{� , � }.

Contoh 2.1.3.4.1: Misalkan dalam semesta = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} diketahui himpunan-himpunan fuzzy

= { 0, 0.4 , 4, 1 , 8, 0.6 }.

= { 1, 0.3 , 2, 1 , 4, 0.7 }.

Maka diperoleh

2.1.3.5 Komplemen

Definisi 2.1.3.5.1. Komplemen dari suatu himpunan fuzzy adalah himpunan

fuzzy −, diartikan sebagai “ tidak dekat ”, dengan fungsi keanggotaan

� − = 1− � ( ), untuk setiap .

Contoh 2.1.3.5.1: Misalkan dalam semesta = {−4,−3,−2,−1, 0} diketahui himpunan fuzzy

= { −4, 0 , −3, 0.3 , −2, 0.5 , −1, 0.7 , (0, 1)}. Maka diperoleh

−_{= { −4, 1 , −3, 0.7 , −2, 0.5 , −1, 0.3 , (0, 0)}.}

2.1.3.6 Gabungan

Definisi 2.1.3.6.1. Gabungan dua buah himpunan fuzzy dan adalah himpunan

fuzzy , diartikan sebagai “ dekat atau dekat ”, dengan fungsi keanggotaan

� =� � = max⁡(� , � ), untuk setiap .

Contoh 2.1.3.6.1: Misalkan dalam semesta = {−3,−2,−1, 0, 1, 2} diketahui himpunan-himpunan fuzzy

= { −3, 0.3 , −2, 0.7 , −1, 1 , 0, 0.5 , 1, 0.2 , (2, 0)}.

= { −3, 0 , −2, 0.1 , −1, 0.4 , 0, 0.6 , 1, 0.8 , (2, 1)}.

Maka diperoleh

2.1.3.7 Irisan

Definisi 2.1.3.7.1. Irisan dua buah himpunan fuzzy dan adalah himpunan fuzzy , diartikan sebagai “ dekat dan dekat ”, dengan fungsi keanggotaan

� =� � = min⁡(� , � ), untuk setiap .

Contoh 2.1.3.7.1: Misalkan dalam semesta = {−3,−2,−1, 0, 1, 2} diketahui himpunan-himpunan fuzzy

= { −3, 0.3 , −2, 0.7 , −1, 1 , 0, 0.5 , 1, 0.2 , (2, 0)}.

= { −3, 0 , −2, 0.1 , −1, 0.4 , 0, 0.6 , 1, 0.8 , (2, 1)}.

Maka diperoleh

= { −3, 0 , −2, 0.1 , −1, 0.4 , 0, 0.5 , 1, 0.2 , (2, 0)}.

Dua buah himpunan fuzzy dikatakan beririsan apabila irisan kedua himpunan

fuzzy tersebut tidak sama dengan himpunan kosong. Apabila irisan dua buah himpunan fuzzy sama dengan himpunan kosong, maka kedua himpunan fuzzy

tersebut dikatakan lepas.

2.2 Topologi dan Ruang Topologi

Kata „topologi‟ berasal dari bahasa Yunani, yaitu „topos‟ yang berarti tempat dan

„logos‟ yang berarti ilmu. Dengan demikian, topologi adalah ilmu yang berhubungan dengan tempat/tata ruang. Topologi dapat diartikan sebagai cabang matematika yang bersangkutan dengan tata ruang yang tidak berubah dalam deformasi dwikontinu, yaitu ruang yang dapat ditekuk, dilipat, disusut, direntangkan, dan dipilin, tetapi tidak diperkenankan untuk dipotong, dirobek, ditusuk, atau dilekatkan.

Kajian topologi bermula dari permasalahan geometri oleh Leonard Euler pada tahun 1736 dalam tulisan “Seven Bridges of Königsberg”, yang merupakan awal sejarah berkembangnya teori graf. Konsep topologinya sendiri diperkenalkan oleh Johann Benedict Listing dalam tulisan “Vorstudien zur Topologie” pada tahun 1847 di Jerman. Konsep topologi muncul melalui pengembangan konsep dari geometri dan teori himpunan, seperti ruang, dimensi, bentuk, dan transformasi.

2.2.1 Pengertian Topologi dan Ruang Topologi

2.2.1.1 Persekitaran

Definisi 2.2.1.1.1. Misal adalah himpunan bagian dari suatu himpunan sebarang . adalah persekitaran dari , jika dan hanya jika terdapat suatu himpunan sedemikian sehingga ⊆ .

Teorema 2.2.1.1.1. Suatu himpunan adalah terbuka jika dan hanya jika merupakan persekitaran dari setiap titik yang didalamnya.

Bukti 2.2.1.1.1: Pertama, akan dibuktikan bahwa himpunan adalah terbuka jika merupakan persekitaran dari setiap titik yang didalamnya. Misalkan adalah himpunan terbuka, maka setiap titik menjadi anggota pada himpunan terbuka yang termuat dalam , yang berarti ⊆ . Jadi, adalah persekitaran dari setiap titik yang didalamnya.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa suatu himpunan merupakan persekitaran dari setiap titik yang didalamnya jika adalah terbuka. Misalkan merupakan suatu persekitaran dari setiap titik yang didalamnya. Sehingga untuk setiap , terdapat suatu himpunan terbuka sedemikian sehingga ⊆ . Dari sini diperoleh: = ; ⊆[ ; ] ⊆ . Yang berarti bahwa: =

[ ; ] dan adalah terbuka karena gabungan dari himpunan terbuka adalah himpunan terbuka.

∎

2.2.1.2 Pengertian Topologi dan Ruang Topologi

Definisi 2.2.1.2.1. Misal suatu himpunan sebarang dan ℱ = { : ⊆ ; = 1,2,…, }. � dikatakan suatu topologi pada jika dan hanya jika � adalah kumpulan himpunan bagian dari yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:

(iv) ∅, �,

(v) ⋂ �; = 1,2,…, ,

(vi) �; = 1,2,…, .

Jika dan � digabung, ditulis ( ,�). Pasangan ( ,�) disebut sebagai ruang topologi dan anggota-anggota di � merupakan suatu himpunan buka. Penulisan ( ,�)sering ditulis hanya dengan “ ” saja.

Contoh 2.2.1.2.1: Misal = {1, 2, 3}. Dan himpunan bagian-himpunan bagian dari adalah ℱ= {∅, , 1 , 2 , 3 , 1,2 , 1,3 , 2,3 }. Maka

� = {∅, , 1 , 2 , 1,2 } adalah suatu topologi pada , sebab anggota-anggota � merupakan kumpulan himpunan bagian dari dan � memenuhi aksioma:

(i) ∅, �;

(ii) ∅ ∅=∅, = , 1 2 = ∅,

∅ =∅, 1 = 1 , 1 1,2 = {1},

∅ 1 =∅, 2 = {2}, {2} 2 = {2},

∅ 2 =∅, 1,2 = {1,2}, {2} 1,2 = {2},

∅ 1,2 = ∅, 1 1 = 1 , 1,2 1,2 =

{1,2} �;

(iii) ∅ ∅=∅, = , {1} {2} = 1,2 ,

∅ = , {1} = , {1} {1,2} = 1,2 ,

∅ 1 = {1}, {2} = , {2} {2} = 2 ,

∅ 1,2 = 1,2 , {1} {1} = {1}, 1,2 1,2 =

{1,2} �;

Contoh 2.2.1.2.2: Misalkan = { , , } dan diberikan �= {∅, , , { }} adalah himpunan bagian dari 2 . Maka � bukanlah suatu topologi pada , sebab

= { , } �.

Bila terdapat suatu topologi pada yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari atau sama dengan 2 , maka topologi tersebut disebut

topologi diskrit. Topologi ini adalah topologi terbesar yang dapat dibentuk.

Dan bila terdapat suatu topologi pada yang anggotanya hanya terdiri dari himpunan kosong ∅ dan himpunan itu sendiri, maka topologi tersebut disebut

topologi indiskrit. Topologi ini adalah topologi terkecil yang dapat dibentuk.

2.2.2 Himpunan Tertutup

Definisi 2.2.2.1. Misalkan adalah suatu ruang topologi. Suatu himpunan bagian dari disebut himpunan tertutup jika dan hanya jika komplemen dari merupakan himpunan buka. Komplemen dari ditulis .

Contoh 2.2.2.1: Misalkan = {1, 2, 3, 4} dan � = {∅, , {1}, {3}, 1,3 } adalah suatu topologi pada . Maka himpunan tertutup dari adalah

{ ,∅, 2,3,4 , 1,2,4 , 2,4 } yang merupakan komplemen dari setiap himpunan

bagian buka pada topologi .

Teorema 2.2.2.1. Diberikan adalah suatu ruang topologi. Irisan sebarang dari setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup. Selanjutnya, gabungan sebarang dari setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup.

Bukti 2.2.2.1: Misal { ; = 1,2,…, } adalah koleksi himpunan ⊆ , yang mana adalah himpunan tertutup. Diperoleh adalah himpunan terbuka, maka

�. Karena � terbuka, maka ⋂ adalah tertutup, sebab = (⋂ ) . Selanjutnya, jika tertutup untuk = 1,2,…, , maka � terbuka. Karena ⋂ � terbuka, maka adalah tertutup, sebab ⋂ = ( ) .

∎

Contoh 2.2.2.2: Misal = { , , , , } dan

� = {∅, , { }, { , }, , , , { , , , }} adalah suatu topologi pada . Maka

diperoleh himpunan tertutup dari adalah { ,∅, , , , , , , , , , { }}. Dapat diperlihatkan bahwa irisan sebarang dari setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup, misalnya , , , , , = { , }. Dan selanjutnya, gabungan sebarang dari setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup, misalnya , = { , , }.

2.2.3 Penutup Himpunan

Definisi 2.2.3.1. Misalkan adalah suatu himpunan bagian dari ruang topologi .

Penutup himpunan , dinotasikan dengan , adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat .

Contoh 2.2.3.1: Misalkan = {1, 2, 3, 4} dan �= {∅, , 1 , 3 , 1,3 , {1,2,3}}. Diperoleh himpunan tertutup dari adalah { ,∅, 2,3,4 , 1,2,4 , 2,4 , {4}}. Maka:

a.) 1= 1,2,4 = {1,2,4}.

b.) 2= 2,3,4 1,2,4 2,4 = {2,4}.

c.) 2,4 = 2,3,4 1,2,4 2,4 = {2,4}.

d.) 1,2,4 = 1,2,4 = {1,2,4}.

Teorema 2.2.3.1. Misalkan adalah suatu himpunan bagian dari ruang topologi . Himpunan adalah tertutup jika dan hanya jika = .

Bukti 2.2.3.1: Pertama, akan dibuktikan bahwa jika adalah tertutup, maka = . Karena adalah himpunan tertutup, maka himpunan tertutup terkecil yang memuat adalah itu sendiri. Dengan demikian, = .

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa jika = , maka adalah tertutup. Menurut

Definisi 2.2.3.1., adalah irisan dari semua himpunan tertutup. Dan Teorema 2.2.2.1. mengatakan bahwa irisan setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup. Dengan demikian, adalah himpunan tertutup. Kemudian, karena =

, maka jelas bahwa adalah himpunan tertutup. Jadi, teorema telah terbukti.

∎

Contoh 2.2.3.2: Misalkan = { , , } dan � = {∅, , , , { , }}. Diperoleh himpunan tertutup dari adalah { ,∅, , , , , }. Kemudian ambil

= { }, yang mana suatu himpunan tertutup. Maka, = , ,

= = . Selanjutnya ambil = { }, yang mana bukanlah suatu himpunan tertutup. Maka, = , = , ≠ .

2.2.4 Basis dari Topologi

Definisi 2.2.4.1. Misal adalah suatu ruang topologi. Dibentuk suatu kelas ℬ yang merupakan himpunan bagian buka dari , dinotasikan ℬ �. Didefinisikan

ℬ adalah basis dari topologi � jika dan hanya jika setiap himpunan buka � adalah gabungan anggota-anggota ℬ. Atau, kelas ℬ � adalah suatu basis dari topologi � jika dan hanya jika untuk setiap anggota himpunan buka , ada terdapat ℬ dengan .

Contoh 2.2.4.1: Misalkan = { , , } dan � = {∅, , , , , , , } adalah suatu topologi pada . Maka dapat dibentuk suatu basis:

ℬ = {∅, , , , },

yang gabungan anggota-anggotanya membentuk setiap himpunan buka �, yaitu:

i.) ∅ ∅= ∅,

ii.) ∅ = = { }, iii.)∅ = = { }, iv.) = { , },

v.) ∅ , = , , = , = { , }, dan vi.) , = , , = .

Teorema 2.2.4.1. Jika ℬ₁ merupakan suatu basis dari topologi � pada dan ℬ₂ merupakan koleksi dari himpunan terbuka pada , yang mana ℬ₁ ℬ₂, maka ℬ₂ adalah juga merupakan basis bagi topologi �.

Bukti 2.2.4.1: Misalkan adalah himpunan bagian terbuka dari . Karena ℬ1 adalah suatu basis dari topologi � pada , maka merupakan gabungan dari anggota-anggota ℬ₁. Ini berarti bahwa = ℬ ; = 1,2,…, , yang mana

ℬ ℬ1.

Tetapi karena ℬ₁ ℬ₂, maka berlaku untuk setiap ℬ ℬ₁ juga merupakan anggota dari ℬ₂. Ini berarti bahwa juga merupakan gabungan dari anggota-anggota ℬ₂. Dengan demikian, ℬ₂ merupakan basis dari topologi � pada juga.

∎

Berdasarkan Teorema 2.2.4.1. tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa basis dari suatu topologi adalah tidak tunggal.

Contoh 2.2.4.2:

Misalkan diberikan = { , , , , }. Jika dibentuk suatu basis ℬ₁ =

{∅, , , , , , , , , , , , , }, maka diperoleh topologi pada ,

yaitu�₁{∅, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , }. Sekarang jika ℬ₂ = {∅, , , , , , , , , , , , , , , , , },

maka diperoleh

�2 = ∅, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

Dari sini jelas terlihat bahwa ℬ₁ ℬ₂, tetapi �₁ =�2. Dengan demikian, ℬ1 dan

ℬ2 merupakan basis-basis dari topologi yang sama.

2.2.5 Subbasis dari Topologi

Definisi 2.2.5.1. Misal adalah suatu ruang topologi. Dibentuk suatu kelas � yang merupakan himpunan bagian buka dari , dinotasikan � �. Didefinisikan

� adalah subbasis dari topologi � jika dan hanya jika setiap irisan hingga dari anggota � membentuk suatu basis dari topologi �.

Contoh 2.2.5.1: Misalkan = { , , } dan � = {∅, , , , , , , } adalah suatu topologi pada . Maka dapat dibentuk suatu basis:

ℬ = {∅, , , , },

yang gabungan anggota-anggotanya membentuk setiap himpunan buka �. Dari basis tersebut, maka dapat dibentuk suatu subbasis:

� = { , , , , , , },

yang irisan hingga anggota-anggotanya membentuk basis ℬ, yaitu: a.) = , =∅,

b.) , , = ,

c.) , = , , = { }, dan d.) , , , = , .

Dengan demikian, � merupakan suatu subbasis dari topologi �.

Teorema 2.2.5.1. Jika �₁ merupakan suatu subbasis dari topologi � pada dan �₂ merupakan koleksi dari himpunan terbuka pada , yang mana �₁ �₂, maka �₂ adalah juga merupakan subbasis bagi topologi �.

Bukti 2.2.5.1: Misalkan ℬ merupakan basis dari topologi � pada . Karena �₁ merupakan suatu subbasis dari topologi �, maka ℬ merupakan irisan hingga dari anggota-anggota �₁. Ini berarti bahwa ℬ =⋂� ; = 1,2,…, , yang mana �

�1.

Tetapi karena �₁ �₂, maka berlaku untuk setiap � �₁ juga merupakan anggota dari �₂. Ini berarti bahwa ℬ juga merupakan irisan hingga dari anggota-anggota �₂. Dengan demikian, �₂ merupakan subbasis dari topologi � pada juga.

∎

Berdasarkan Teorema 2.2.5.1. tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa subbasis dari suatu topologi adalah tidak tunggal.

Contoh 2.2.5.2: Misalkan diberikan = { , , , , }. Jika dibentuk suatu subbasis �1 = { , , , , , , , , , , , , }, maka dapat diperoleh

suatu basis dari topologi pada , yaitu

ℬ1 = { , , , , , , , , , , , , ,∅, { }}.

Sekarang jika �2 = { , , , , , , , , , , , , , }, maka diperoleh

ℬ2 = { , , , , , , , , , , , , , ,∅} merupakan suatu basis dari

topologi pada .

Oleh karena ℬ1 =ℬ2, maka dapat dibentuk suatu topologi yang sama pada , yaitu � = { , , , , , , , , , , , , , ,∅, , , , , { , , }}. Dari sini jelas terlihat bahwa �₁ �₂ dan ℬ₁ =ℬ2. Dengan demikian, �1 dan �2 merupakan subbasis-subbasis dari topologi yang sama.

2.2.6 Titik Limit

Definisi 2.2.6.1. Misalkan adalah sebuah ruang topologi. Suatu titik

hanya jika setiap himpunan buka yang memuat titik , juga memuat suatu titik pada yang berbeda dengan titik tersebut. Atau juga dapat ditulis:

“ titik limit, jika , buka, sedemikian ( − ) ≠ ∅.”

Contoh 2.2.6.1: Misalkan = {1, 2, 3, 4, 5} dan � = {∅, , 1,2 , 3,4 , {1,2,3,4}} adalah suatu topologi pada . Diberikan = {1,2,3} merupakan himpunan bagian dari . Maka:

i.) 1 {1,2}⟶ 1,2 − 1 1,2,3 = {2}. => 1 adalah titik

limit.

ii.) 2 {1,2}⟶ 1,2 − 2 1,2,3 = {1}. => 2 adalah titik

limit.

iii.)3 3,4 ⟶ 3,4 − 3 1,2,3 =∅. => 3 bukan titik limit.

iv.)4 {3,4}⟶ 3,4 − 4 1,2,3 = {3}. => 4 adalah titik

limit.

v.) 5 ⟶ − 5 1,2,3 = {1,2,3}. => 5 adalah titik limit.

Jadi, himpunan titik limit dari adalah ′= {1, 2, 4, 5}.

Sifat 2.2.6.1. Bila ditentukan himpunan bagian , diperoleh titik limit

′ ′.

Contoh 2.2.6.2: Misal � = ∅, , , , , , , adalah suatu topologi pada

= { , , , }. Lalu diberikan = { , } dan = { , , } masing-masing

merupakan himpunan bagian dari , yang mana . Maka untuk himpunan bagian diperoleh:

a.) { }⟶ − , = ∅. => bukan titik limit. b.) ⟶ − , = { }. => adalah titik limit.

c.) , ⟶ , − , = ∅.=> bukan titik limit.

d.) { , } ⟶ { , }− , = ∅.=> bukan titik

limit.

Jadi, himpunan titik limit dari adalah ′= { }. Sedangkan untuk himpunan bagian diperoleh:

w.) { }⟶ − , , =∅.

=> bukan titik limit. x.) ⟶ − , , = { , }.

=> adalah titik limit. y.) , ⟶ , − , , =∅.

=> bukan titik limit.

z.) { , } ⟶ { , }− , , = { }.

=> adalah titik limit. Jadi, himpunan titik limit dari adalah ′= { , }.

Dengan demikian, diperoleh titik limit ′= { } dan ′= { , }, sehingga ′

′. Jadi, bila ditentukan suatu himpunan bagian , akan diperoleh titik limit

′ ′.

Sifat 2.2.6.2. Bila ditentukan suatu topologi �₁ �₂, diperoleh titik limit ′₁

′2.

Contoh 2.2.6.3: Misal �₁ = {∅, , , , } dan �₂ = ∅, , , , , , , adalah masing-masing suatu topologi pada = { , , , , }, yang mana �₁ �₂. Lalu diberikan = { , } merupakan suatu himpunan bagian dari .

Maka untuk topologi �₁ diperoleh:

i.) { , , }⟶ , , − , =∅.

ii.) ⟶ − , = { }.

=> adalah titik limit. iii.) , , ⟶ , , − , = { }.

=> adalah titik limit.

iv.) { , , }⟶ { , , }− , = { }.

=> adalah titik limit. v.) ⟶ − , = { , }.

=> adalah titik limit. Jadi, himpunan titik limit dari untuk �₁ adalah ′₁ = { , , , }.

Sedangkan untuk topologi �2 diperoleh:

a.) { }⟶ − , = ∅.

=> bukan titik limit. b.) ⟶ − , = { }.

=> adalah titik limit. c.) , ⟶ , − , = ∅.

=> bukan titik limit.

d.) { , } ⟶ { , }− , = ∅.

=> bukan titik limit. e.) ⟶ − , = { , }.

=> adalah titik limit. Jadi, himpunan titik limit dari untuk �₂ adalah ′₂ = { , }.

Dengan demikian, diperoleh titik limit ′1 = { , , , } dan ′2 = { , }, sehingga ′₁ ′₂. Jadi bila ditentukan suatu topologi �₁ �₂, akan diperoleh titik limit ′₁ ′₂.

Definisi 2.2.7.1. Misal adalah himpunan bagian dari ruang topologi . Suatu titik disebut titik interior , yang dinotasikan dengan int( ) atau �, jika ada dalam himpunan buka yang termuat di , atau dapat ditulis:

“ titik interior, jika , dimana adalah himpunan buka.”

Definisi 2.2.7.2. Misal adalah himpunan bagian dari ruang topologi dan adalah komplemen . Suatu titik disebut titik eksterior , yang dinotasikan dengan ext( ), jika merupakan titik interior dari , atau dapat ditulis:

“ext = int .”

Definisi 2.2.7.3. Misal adalah himpunan bagian dari ruang topologi . Batas

dari , yang dinotasikan dengan b( ), adalah himpunan titik-titik yang tidak termasuk titik interior maupun titik eksterior , atau dapat ditulis:

“b = (int( ) ext ) = (int( )) (ext( )) .”

Contoh 2.2.7.1: Misal �= {∅, , 1 , 3,4 , 1,3,4 , {2,3,4,5}} adalah suatu topologi pada = {1, 2, 3, 4, 5}, dan = {2, 3, 4} merupakan himpunan bagian dari . Maka:

a.) 2 {2,3,4,5} . => 2 bukan titik interior.

b.) 3 {3,4} . => 3 adalah titik interior.

c.) 4 {3,4} . => 4 adalah titik interior.

Jadi, himpunan titik interior dari adalah int( ) = {3, 4}.

Dari himpunan bagian = {2, 3, 4}, diperoleh komplemen yaitu = {1, 5}. Maka:

y.) 1 {1} . => 1 adalah titik eksterior.

z.) 5 {2,3,4,5} . => 5 bukan titik eksterior.

Dan juga diperoleh batas dari , yang merupakan himpunan titik-titik yang tidak termasuk titik interior maupun titik eksterior , yaitu: b = (int( )

ext ) = ( 3, 4 1 ) = ( 1, 3, 4 ) = {2, 5}.

Teorema 2.2.7.1. Jika diberikan adalah suatu ruang topologi pada dan merupakan himpunan bagian dari . Maka berlaku:

i. b int =∅; ii. b ext =∅; iii.int ext = ∅.

Bukti 2.2.7.1: Menurut Definisi 2.2.7.3. yang mengatakan bahwa: b =

(int( ) ext ) = (int( )) (ext( )) , maka:

i. b int = {(int( )) (ext ) } int

= {(int( )) int } (ext( ))

=∅ (ext( ))

=∅.

ii. b ext = {(int( )) (ext ) } ext

= (int( )) {(ext ) ext }

= (int( )) ∅

=∅.

Dan karena menurut Definisi 2.2.7.2. yang mengatakan bahwa: ext = int , maka:

iii.int ext = int int

= int

= int(∅)

Berdasarkan Teorema 2.2.7.1. tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa titik interior, titik eksterior, dan batas dari suatu topologi adalah saling asing atau saling lepas. Dan dari Contoh 2.2.7.1 dapat diperhatikan bahwa:

“int( )≠ext ≠b .”

∎

Sifat 2.2.7.1. Bila ditentukan himpunan bagian , diperoleh titik interior

int( ) int( ).

Contoh 2.2.7.2: Misal � = ∅, , , , , , , adalah suatu topologi pada

= { , , , }. Lalu diberikan = { , } dan = { , , } masing-masing

merupakan himpunan bagian dari , yang mana . Maka untuk himpunan bagian diperoleh:

a.) . => bukan titik interior.

b.) { , } . => bukan titik interior.

Jadi, himpunan titik interior dari adalah int( ) =∅. Sedangkan untuk himpunan bagian diperoleh:

x.) . => bukan titik interior.

y.) { , } . => adalah titik interior.

z.) { , } . => adalah titik interior.

Jadi, himpunan titik interior dari adalah int( ) = { , }.

Dengan demikian, diperoleh titik interior int( ) =∅ dan int( ) = { , }, sehingga int( ) int( ). Jadi, bila ditentukan suatu himpunan bagian , akan diperoleh titik interior int( ) int( ).

Sifat 2.2.7.2. Bila ditentukan topologi �₁ �₂, diperoleh masing-masing titik interior int( ) int( ), titik eksterior ext( ) ext( ), dan batas b( ) b( ).

Contoh 2.2.7.3: Misal �₁ = {∅, , , , } dan �₂ = ∅, , , , , , , adalah masing-masing suatu topologi pada = { , , , , }, yang mana �₁ �₂. Lalu diberikan = { , } merupakan himpunan bagian dari .

Maka untuk topologi �₁ diperoleh:

i.) { , , } . => bukan titik interior.

ii.) . => bukan titik interior. Jadi, himpunan titik interior dari untuk �₁ adalah int( )₁ =∅.

Dari himpunan = { , }, diperoleh komplemen adalah = { , , }. Maka:

a.) { , , } . => bukan titik eksterior.

b.) { , , } . => bukan titik eksterior.

c.) . => bukan titik eksterior. Jadi, himpunan titik eksterior dari untuk �₁ adalah ext( )1 = ∅.

Dan juga diperoleh batas dari untuk �₁, yang merupakan himpunan titik-titik yang tidak termasuk titik interior maupun titik eksterior untuk �1, adalah

b ₁ = (int ₁ ext ₁) = (∅ ∅) = (∅) = { , , , , }.

Sedangkan untuk topologi �₂ diperoleh:

i.) { } . => adalah titik interior. ii.) . => bukan titik interior. Jadi, himpunan titik interior dari untuk �₂ adalah int( )2 = { }.

Dari himpunan = { , }, diperoleh komplemen adalah = { , , }. Maka:

a.) { , } . => adalah titik eksterior.

b.) { , } . => adalah titik eksterior.

c.) . => bukan titik eksterior. Jadi, himpunan titik eksterior dari untuk �₂ adalah ext( )2 = { , }.

Dan juga diperoleh batas dari untuk �₂, yang merupakan himpunan titik-titik yang tidak termasuk titik interior maupun titik eksterior untuk �₂, adalah

b 2 = (int 2 ext 2) = ({ } { , }) = ({ , , }) = { , }.

Dengan demikian, diperoleh titik interior int( )₁ = ∅ dan int( )₂ = { }, sehingga int( )1 int( )2. Lalu diperoleh titik eksterior ext( )1 = ∅ dan

ext( )2 = { , }, sehingga ext( )1 ext( )2. Dan terakhir diperoleh batas

b 1 = { , , , , } dan b 2 = { , }, sehingga b 1 b 2. Jadi, bila

ditentukan suatu topologi �1 �2, akan diperoleh titik interior int( )1 int( )2, titik eksterior ext( )1 ext( )2, dan batas b 1 b 2.

2.2.8 Kekontinuan pada Topologi

Definisi 2.2.8.1. Misal ( ,�) dan ( ,� ) adalah suatu ruang topologi. Suatu fungsi

dari ke disebut kontinu jika dan hanya jika fungsi invers −1[ ] dari setiap himpunan bagian buka topologi � di merupakan himpunan bagian buka topologi � di , atau dapat ditulis:

“ : → disebut kontinu ↔ untuk � berlaku −1[ ] �.” Contoh 2.2.8.1: Misal diberikan = { , , , } dan = { , , , } serta dibentuk �= {∅, , , , , , , } dan � = {∅, , , , , , , , } adalah masing-masing suatu topologi pada dan . Kemudian ditentukan suatu fungsi

: → = { , , , , , , , }.

Maka invers dari setiap himpunan bagian buka topologi � di adalah: i.) −1 ∅ =∅,

ii.) −1 = , iii.) −1 =∅,

v.) −1 , = { },

vi.) −1 , , = { , , },

yang semuanya merupakan himpunan bagian buka topologi � di . Dengan demikian, fungsi disebut kontinu.

Contoh 2.2.8.2: Misal diberikan = {1, 2, 3, 4} dan = { , , , } serta dibentuk

� = {∅, , 1 , 1,2 , 1,2,3 } dan � = {∅, , , , , , , , } adalah

masing-masing suatu topologi pada dan . Kemudian ditentukan suatu fungsi

: → = { 1, , 2, , 3, , 4, }.

Maka invers dari setiap himpunan bagian buka topologi � di adalah: a.) −1 ∅ =∅,

b.) −1 = ,

c.) −1 = {1,2},

d.) −1 =∅, e.) −1 _{, = 1,2,}

f.) −1 , , = {3,4}.

Dari invers di atas, terdapat satu invers himpunan bagian buka topologi � di yang bukan merupakan himpunan bagian buka topologi � di , yaitu:

BAB 3

PEMBAHASAN

Tujuan penelitian ini adalah untuk mengkaji apakah konsep-konsep, teorema-teorema, dan sifat-sifat tentang ruang topologi yang diberikan pada Bab 2 dapat diterapkan dalam ruang topologi fuzzy.

2.2 Pengertian Ruang Topologi F uzzy

Definisi 3.1.1. Misal suatu himpunan riel sebarang dan �= { : =

,� ⊆ ; � 0,1, = 1,2,…, }. � dikatakan suatu topologifuzzy

pada jika dan hanya jika � adalah kumpulan himpunan bagian fuzzy[0,1] dari yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:

(vii) 0, 1 �,

(viii)⋂ = min⁡{ } �; = 1,2,…, ,

(ix) = max⁡{ } �; = 1,2,…, .

Jika dan � digabung, ditulis ( ,�). Pasangan ( ,�) disebut sebagai ruang topologi fuzzy dan anggota-anggota di � merupakan suatu himpunan buka fuzzy.

Contoh 3.1.1: Misalkan = {2, 3, 4}, dan himpunan bagian-himpunan bagian

fuzzy di dinyatakan dengan fungsi keanggotaan sebagai berikut:

� = 0 −1 5 1

; < 2

; 2 4

; > 4 .

Maka:

= {0,1, 2, 0.2 , 3, 0.4 , 4, 0.6 , 2, 0.2 , 3, 0.4 , 2, 0.2 , 4, 0.6

suatu topologi fuzzy di , yaitu � = {0,1, 3, 0.4 , 4, 0.6 , 3, 0.4 , 4, 0.6 }, sebab anggota-anggota � merupakan kumpulan himpunan bagian fuzzy di dan � memenuhi aksioma:

(iv)0, 1 �;

(v) 0 0 = 0 1 = 0 3, 0.4 = 0 { 4, 0.6 } = 0, 1 1 =

1,

1 3, 0.4 = min 1, { 3, 0.4 } = { 3, 0.4 },

1 4, 0.6 = min 1, 4, 0.6 = { 4, 0.6 },

3, 0.4 3, 0.4 = 3, 0.4 ,

3, 0.4 4, 0.6 = 0,

4, 0.6 { 4, 0.6 } = {(4, 0.6)} �;

(vi)0 0 = 0, 0 1 = 1 1 = 1 3, 0.4 = 1 { 4, 0.6 } =

1,

0 { 3, 0.4 } = max 0, 3, 0.4 = {(3, 0.4)},

0 4, 0.6 = max 0, 4, 0.6 = { 4, 0.6 },

3, 0.4 3, 0.4 = 3, 0.4 ,

3, 0.4 4, 0.6 = 3, 0.4 , 4, 0.6 ,

4, 0.6 4, 0.6 = {(4, 0.6)} �.

Bila terdapat suatu topologi fuzzy pada yang anggotanya memuat semua himpunan fuzzy dari , maka topologi tersebut disebut topologi fuzzy diskrit. Topologi fuzzy ini adalah topologi fuzzy terbesar yang dapat dibentuk.

Dan bila terdapat suatu topologi fuzzy pada yang anggotanya hanya terdiri dari himpunan kosong 0 dan himpunan 1, maka topologi tersebut disebut

topologi fuzzy indiskrit. Topologi fuzzy ini adalah topologi fuzzy terkecil yang dapat dibentuk.

Definisi 3.2.1. Misal ( ,�) adalah sebuah ruang topologi fuzzy. Suatu fuzzy himpunan bagian dari disebut himpunan tertutup fuzzy jika dan hanya jika −, komplemen dari himpunan fuzzy , merupakan himpunan buka fuzzy.

Contoh 3.2.1: Misal �= {0, 1, , 0.3 , , 0.5 , , 0.6 , , 0.9 } adalah suatu topologi fuzzy pada = { , , }. Maka himpunan tertutup fuzzy dari adalah

{1, 0, , 0.7 , , 0.5 , , 0.4 , , 0.1 } yang merupakan komplemen

himpunan bagian-himpunan bagian buka fuzzy dari topologi fuzzy .

Teorema 3.2.1. Diberikan ( ,�) suatu ruang topologi fuzzy. Irisan sebarang dari setiap himpunan tertutup fuzzy adalah juga himpunan tertutup fuzzy. Selanjutnya, gabungan sebarang dari setiap himpunan tertutup fuzzy adalah juga himpunan tertutup fuzzy.

Bukti 3.2.1: Misal { ; = 1,2,…, } adalah koleksi himpunan fuzzy ⊆ , yang mana adalah himpunan tertutup fuzzy. Diperoleh − adalah himpunan terbuka fuzzy, maka − �. Karena − � terbuka fuzzy, maka ⋂ − adalah

tertutup fuzzy, sebab −= (⋂ )−.

Selanjutnya, jika tertutup fuzzy untuk = 1,2,3,…, , maka − � terbuka

fuzzy. Karena ⋂ − � terbuka fuzzy, maka tertutup fuzzy, sebab ⋂ −=

( )−.

∎

Contoh 3.2.2:

Jika �= {0, 1, , 0.3 , , 0.3 , , 0.5 , , 0.3 , , 0.5 , ( , 0.8) } adalah suatu topologi fuzzy pada = { , , }. Maka diperoleh himpunan tertutup fuzzy

dari adalah {1, 0, , 0.7 , , 0.7 , , 0.5 , , 0.7 , , 0.5 , ( , 0.2) }. Dapat diperlihatkan bahwa irisan sebarang dari setiap himpunan tertutup fuzzy

misalnya , 0.7 , 0.7 , , 0.5 , ( , 0.2) = , 0.7 . Dan selanjutnya, gabungan sebarang dari setiap himpunan tertutup fuzzy adalah juga himpunan tertutup fuzzy, misalnya , 0.7 , 0.7 , , 0.5 = , 0.7 , , 0.5 .

3.3 Penutup Himpunan F uzzy

Definisi 3.3.1. Misalkan adalah suatu himpunan bagian fuzzy dari ruang topologi fuzzy( ,�). Penutup himpunan fuzzy didefinisikan sebagai irisan dari semua himpunan tertutup fuzzy , yang memuat . Penutup himpunan fuzzy

dinotasikan . Contoh 3.3.1:

Misal = {3, 4, 5} dan �= {0, 1, 3, 0.4 , 4, 0.6 , 3, 0.7 , 4, 0.9 } adalah suatu topologi fuzzy pada . Diperoleh himpunan tertutup fuzzy dari adalah {1, 0, 3, 0.6 , 4, 0.4 , 3, 0.3 , 4, 0.1 }. Maka:

a.) 3= 1 3, 0.6 , 4, 0.4 3, 0.3 , 4, 0.1 =

3, 0.3 , 4, 0.1 .

b.) 4= 1 3, 0.6 , 4, 0.4 3, 0.3 , 4, 0.1 =

3, 0.3 , 4, 0.1 . c.) 5= 1.

Teorema 3.3.1. Misalkan adalah suatu himpunan bagian fuzzy dari ruang topologi fuzzy ( ,�). Himpunan adalah tertutup fuzzy jika dan hanya jika

= .

Bukti 3.3.1: Pertama akan dibuktikan bahwa jika adalah tertutup fuzzy, maka = . Karena adalah himpunan tertutup fuzzy, maka himpunan tertutup fuzzy

terkecil yang memuat adalah itu sendiri. Dengan demikian, = .

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa jika = , maka adalah tertutup fuzzy. Menurut Definisi 3.3.1., adalah irisan dari semua himpunan tertutup fuzzy. Dan

Teorema 3.2.1. mengatakan bahwa irisan setiap himpunan tertutup fuzzy adalah juga himpunan tertutup fuzzy. Dengan demikian, adalah himpunan tertutup

fuzzy. Kemudian, karena = , maka jelas bahwa adalah himpunan tertutup

fuzzy. Jadi, teorema telah terbukti.

∎

Contoh 3.3.2:

Jika �= {0, 1, , 0.3 , , 0.3 , , 0.5 , , 0.3 , , 0.5 , ( , 0.8) } adalah suatu topologi fuzzy pada = { , , }. Maka diperoleh himpunan tertutup fuzzy

dari adalah {1, 0, , 0.7 , , 0.7 , , 0.5 , , 0.7 , , 0.5 , ( , 0.2) }. Kemudian ambil = , 0.7 , yang mana suatu himpunan tertutup. Maka,

= 1 , 0.7 , 0.7 , , 0.5 , 0.7 , , 0.5 , ( , 0.2) = , 0.7 =

. Selanjutnya ambil = , 0.2 , yang mana bukanlah suatu himpunan tertutup. Maka, = , 0.7 , , 0.5 , ( , 0.2) = , 0.7 , , 0.5 , ( , 0.2) ≠

.

3.4 Basis dari Topologi Fuzzy

Definisi 3.4.1. Misalkan ( ,�) adalah suatu ruang topologi fuzzy. Dibentuk suatu kelas ℬ yang merupakan himpunan bagian buka fuzzy dari , dinotasikan ℬ �. Didefinisikan ℬ adalah basis dari topologi fuzzy � jika dan hanya jika setiap himpunan buka fuzzy � adalah gabungan anggota-anggota ℬ. Atau, kelas

ℬ � adalah suatu basis dari topologi fuzzy� jika dan hanya jika untuk setiap anggota himpunan buka fuzzy , ada terdapat ℬ dengan .

Contoh 3.4.1: Misal �= {0, 1, , 0.3 }, {( , 0.6) , , 0.3 , , 0.6 } adalah suatu topologi fuzzy pada = { , , }. Maka dapat dibentuk suatu basis:

ℬ = {0, 1, , 0.3 }, {( , 0.6) },

i.) 0 0 = 0,

ii.) 0 1= 1 1 = , 0.3 1 = ( , 0.6) 1 = 1,

iii.)0 , 0.3 = { , 0.3 } , 0.3 = { , 0.3 },

iv.)0 ( , 0.6) = { , 0.6 } ( , 0.6) = { , 0.6 }, dan

v.) , 0.3 } {( , 0.6) = , 0.3 , ( , 0.6) .

Teorema 3.4.1. Jika ℬ₁ merupakan suatu basis dari topologi fuzzy � pada dan

ℬ2 merupakan koleksi dari himpunan terbuka fuzzy pada , yang mana ℬ1 ℬ2, maka ℬ₂ adalah juga merupakan basis bagi topologi fuzzy�.

Bukti 3.4.1: Misalkan adalah himpunan bagian terbuka fuzzy dari . Karena ℬ₁ adalah suatu basis dari topologi fuzzy� pada , maka merupakan gabungan dari anggota-anggota ℬ1. Ini berarti bahwa = ℬ ; = 1,2,…, , yang mana

ℬ ℬ1.

Tetapi karena ℬ₁ ℬ₂, maka berlaku untuk setiap ℬ ℬ₁ juga merupakan anggota dari ℬ₂. Ini berarti bahwa juga merupakan gabungan dari anggota-anggota ℬ₂. Dengan demikian, ℬ₂ merupakan basis dari topologi fuzzy� pada juga.

∎

Berdasarkan Teorema 3.4.1. tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa basis dari suatu topologi fuzzy adalah tidak tunggal.

Contoh 3.4.2:

Misalkan diberikan = { , , }. Dan jika dibentuk suatu basis ℬ₁ =

{0, 1, , 0.3 , , 0.5 , , 0.3 , , 0.5 , , 0.7 }, maka dapat diperoleh

�1 = {0, 1, , 0.3 , , 0.5 , , 0.3 , , 0.5 , , 0.3 , , 0.5 , , 0.7 }

suatu topologi fuzzy pada .

Dan sekarang jika dibentuk kembali suatu basis yang baru, yaitu ℬ₂ =

�2 = {0, 1, , 0.3 , , 0.5 , , 0.3 , , 0.5 , , 0.3 , , 0.5 , , 0.7 } adalah suatu topologi fuzzy pada .

Dari sini jelas terlihat bahwa ℬ₁ ℬ₂, tetapi �₁ = �₂. Dengan demikian, ℬ₁ dan

ℬ2 merupakan basis-basis dari topologi fuzzy yang sama.

3.5 Subbasis dari Topologi F uzzy

Definisi 3.5.1. Misalkan ( ,�) adalah suatu ruang topologi fuzzy. Dibentuk suatu kelas � yang merupakan himpunan bagian buka fuzzy dari , dinotasikan � �. Didefinisikan � adalah subbasis dari topologi fuzzy � jika dan hanya jika setiap irisan hingga dari anggota � membentuk suatu basis dari topologi fuzzy�.

Contoh 3.5.1: Misalkan dibentuk suatu topologi fuzzy pada = { , , }, yaitu

�= {0, 1, , 0.4 }, {( , 0.6) , , 0.4 , , 0.6 , , 0.4 , , 0.6 , ( , 0.8) }.

Maka dapat dibentuk suatu basis:

ℬ = {0, 1, , 0.4 }, {( , 0.6) , , 0.4 , , 0.6 , ( , 0.8) },

yang gabungan anggota-anggotanya membentuk setiap himpunan buka fuzzy

�.

Dari basis tersebut, maka dapat dibentuk suatu subbasis:

� = {1, , 0.4 }, {( , 0.6) , , 0.4 , , 0.6 , ( , 0.8) },

yang irisan hingga anggota-anggotanya membentuk basis ℬ, yaitu:

a.) 1 1 = 1,

b.) 1 , 0.4 = , 0.4 , 0.4 = { , 0.4 },

c.) 1 { , 0.6 } = { , 0.6 } { , 0.6 } = { , 0.6 },

d.) 1 , 0.4 , , 0.6 , ( , 0.8) = , 0.4 , , 0.6 , ( , 0.8) ,

e.) { , 0.4 } { , 0.6 } = 0,

g.) { , 0.6 } , 0.4 , , 0.6 , ( , 0.8) = 0. Dengan demikian, � merupakan suatu subbasis dari topologi fuzzy�.

Teorema 3.5.1. Jika �₁ merupakan suatu subbasis dari topologi fuzzy� pada dan

�2 merupakan koleksi dari himpunan terbuka pada , yang mana �1 �2, maka

�2 adalah juga merupakan subbasis bagi topologi fuzzy�.

Bukti 3.5.1: Misalkan ℬ merupakan basis dari topologi fuzzy� pada . Karena �₁ merupakan suatu subbasis dari topologi fuzzy�, maka ℬ merupakan irisan hingga dari anggota-anggota �₁. Ini berarti bahwa ℬ =⋂� ; = 1,2,…, , yang mana

� �1.

Tetapi karena �₁ �₂, maka berlaku untuk setiap � �₁ juga merupakan anggota dari �₂. Ini berarti bahwa ℬ juga merupakan irisan hingga dari anggota-anggota �₂. Dengan demikian, �₂ merupakan subbasis dari topologi fuzzy� pada

juga.

∎

Berdasarkan Teorema 3.5.1. tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa subbasis dari suatu topologi fuzzy� adalah tidak tunggal.

Contoh 3.5.2: Misalkan diberikan = { , , , }. Jika dibentuk suatu subbasis

�1 = {1, , 0.3 }, {( , 0.6) , { , 0.7 }}, maka dapat diperoleh suatu basis dari

topologi fuzzy pada , yaitu ℬ₁ = {1, , 0.3 }, {( , 0.6) , 0}.

Sekarang jika �₂ = {1, , 0.3 }, , 0.4 , {( , 0.6) , { , 0.7 }}, maka diperoleh

ℬ2 = {1, , 0.3 }, {( , 0.6) , 0} merupakan suatu basis dari topologi fuzzy pada

.

Oleh karena ℬ1 = ℬ2, maka dapat dibentuk suatu topologi fuzzy yang sama pada , yaitu �= {0, 1, , 0.3 }, {( , 0.6) , , 0.3 , ( , 0.6) }. Dari sini jelas terlihat bahwa �₁ �₂ dan ℬ₁ = ℬ₂. Dengan demikian, �₁ dan �₂ merupakan subbasis-subbasis dari topologi fuzzy yang sama.

3.6 Titik Limit F uzzy

Definisi 3.6.1. Misal ( ,�) adalah suatu ruang topologi fuzzy dan adalah suatu himpunan fuzzy pada ( ,�). Suatu titik disebut titik limit fuzzy dari , jika dan hanya jika setiap himpunan buka yang memuat beserta fungsi keanggotaannya, memuat suatu titik dan fungsi keanggotaan pada himpunan fuzzy

yang berbeda dengan . Dapat ditulis:

“ titik limit fuzzy, jika , buka, sedemikian �( − ) �( )≠0.” Himpunan titik-titik limit fuzzy dinotasikan dengan ′, yaitu himpunan turunan fuzzy dari .

Contoh 3.6.1: Misal �= {0, 1, 7, 0.4 , 8, 0.5 , 7, 0.4 , 8, 0.7 } topologi

fuzzy dalam = {7, 8}, dan = { 7, 0.2 , (8, 0.5)} himpunan bagian fuzzy dari . Maka:

i.) 7 7, 0.4 , 8, 0.5

⟶{ 7, 0.4 , 8, 0.5 − 7 } 7, 0.2 , 8, 0.5

= 7, 0.5 7, 0.2 , 8, 0.5 = { 7, 0.2 }.

=> 7 adalah titik limit fuzzy.

ii.) 8 { 7, 0.4 , (8, 0.5)}

⟶{ 7, 0.4 , 8, 0.5 − 8 } 7, 0.2 , 8, 0.5

= 0 7, 0.2 , 8, 0.5 = 0.

=> 8 bukan titik limit fuzzy. Jadi, himpunan titik limit fuzzy dari adalah ′= {7}.

Sifat 3.6.1. Bila ditentukan suatu himpunan bagian fuzzy , diperoleh titik limit fuzzy ′ ′.

Misal � = {0, 1, 2, 0.3 , 3, 0.6 , 2, 0.4 , 3, 0.8 } topologi fuzzy dalam

= {1, 2, 3}. Lalu diberikan = { 2, 0.4 } dan = { 1, 0.1 , (2, 0.4)}

masing-masing merupakan himpunan bagian fuzzy dari , yang mana . Maka untuk himpunan bagian fuzzy diperoleh:

a.) 1 1 = { 1, 1 , 2, 1 , 3, 1 }

⟶{ 1, 1 , 2, 1 , 3, 1 }− 1 } { 2, 0.4 }

={ 1, 1 , 2, 1 } { 2, 0.4 } = { 2, 0.4 }.

=> 1 adalah titik limit fuzzy.

b.) 2 2, 0.3 , 3, 0.6

⟶ 2, 0.3 , 3, 0.6 − 2 } { 2, 0.4 }

= { 1, 0.6 } { 2, 0.4 } = 0.

=> 2 bukan titik limit fuzzy.

c.) 3 2, 0.3 , 3, 0.6

⟶ 2, 0.3 , 3, 0.6 − 3 } { 2, 0.4 }

= 0 { 2, 0.4 } = 0.

=> 3 bukan titik limit fuzzy. Jadi, himpunan titik limit fuzzy dari adalah ′= {1}.

Sedangkan untuk himpunan bagian fuzzy diperoleh: i.) 1 1 = { 1, 1 , 2, 1 , 3, 1 }

⟶{ 1, 1 , 2, 1 , 3, 1 }− 1 } { 1, 0.1 , (2, 0.4)}

={ 1, 1 , 2, 1 } { 1, 0.1 , (2, 0.4)} = { 1, 0.1 , (2, 0.4)}.

=> 1 adalah titik limit fuzzy.

ii.) 2 2, 0.3 , 3, 0.6

⟶ 2, 0.3 , 3, 0.6 − 2 } { 1, 0.1 , (2, 0.4)}

= { 1, 0.6 } { 1, 0.1 , (2, 0.4)} = { 1, 0.1 }.

=> 2 adalah titik limit fuzzy. iii.)3 2, 0.3 , 3, 0.6

⟶ 2, 0.3 , 3, 0.6 − 3 } { 1, 0.1 , (2, 0.4)}

= 0 { 1, 0.1 , (2, 0.4)} = 0.

=> 3 bukan titik limit fuzzy. Jadi, himpunan titik limit fuzzy dari adalah ′= {1, 2}.

Dengan demikian, diperoleh titik limit fuzzy ′= {1} dan ′= {1,2}, sehingga

′ ′. Jadi, bila ditentukan suatu himpunan bagian fuzzy , akan diperoleh titik limit fuzzy ′ ′.

Sifat 3.6.2. Bila ditentukan suatu topologi fuzzy�₁ �₂, diperoleh titik limit fuzzy

′1 ′2. Contoh 3.6.3:

Misal = {1, 2, 3, 4}, serta �₁ = {0, 1, 2, 0.5 , 3, 0.7 , (4, 0.8) } dan �₂ =

{0, 1, {(2, 0.5)}, {(2, 0.5), (3, 0.7)}, 2, 0.5 , 3, 0.7 , (4, 0.8) } adalah

masing-masing suatu topologi fuzzy pada , yang mana �₁ �₂. Kemudian diberikan

= { 1, 0.3 , (2, 0.5)} merupakan suatu himpunan bagian fuzzy dari .

Maka untuk topologi �₁ diperoleh:

a.) 1 1 = { 1, 1 , 2, 1 , 3, 1 , 4, 1 }

⟶{{ 1, 1 , 2, 1 , 3, 1 , 4, 1 }− 1 } { 1, 0.3 , (2, 0.5)} = 1, 1 , 2, 1 , 3, 1 1, 0.3 , 2, 0.5 =

{ 1, 0.3 , (2, 0.5)}.

=> 1 adalah titik limit fuzzy.

b.) 2 2, 0.5 , 3, 0.7 , (4, 0.8)

⟶{{ 2, 0.5 , 3, 0.7 , (4, 0.8)}− 2 } { 1, 0.3 , (2, 0.5)}

= 1, 0.7 , (2, 0.8) 1, 0.3 , 2, 0.5 =

{ 1, 0.3 , (2, 0.5)}.

=> 2 adalah titik limit fuzzy.

c.) 3 2, 0.5 , 3, 0.7 , (4, 0.8)

= { 1, 0.8 } { 1, 0.3 , (2, 0.5)} = { 1, 0.3 }.

=> 3 adalah titik limit fuzzy.

d.) 4 2, 0.5 , 3, 0.7 , (4, 0.8)

⟶{ 2, 0.5 , 3, 0.7 , (4, 0.8) − 4 } { 1, 0.3 , (2, 0.5)}

= 0 { 1, 0.3 , (2, 0.5)} = 0.

=> 4 bukan titik limit fuzzy. Jadi, himpunan titik limit fuzzy dari untuk �₁ adalah ′₁ = {1, 2, 3}.

Sedangkan untuk topologi �₂ diperoleh:

i.) 1 1 ={ 1, 1 , 2, 1 , 3, 1 , 4, 1 }

⟶{{ 1, 1 , 2, 1 , 3, 1 , 4, 1 }− 1 } { 1, 0.3 , (2, 0.5)} = 1, 1 , 2, 1 , 3, 1 1, 0.3 , 2, 0.5 =

{ 1, 0.3 , (2, 0.5)}.

=> 1 adalah titik limit fuzzy.

ii.) 2 {(2, 0.5)}

⟶{{(2, 0.5)}− 2 } { 1, 0.3 , (2, 0.5)}

= 0 1, 0.3 , 2, 0.5 = 0.

=> 2 bukan titik limit fuzzy. iii.)3 {(2, 0.5), (3, 0.7)}

⟶{ (2, 0.5), (3, 0.7) − 3 } { 1, 0.3 , (2, 0.5)}

= 0 { 1, 0.3 , (2, 0.5)} = 0.

=> 3 bukan titik limit fuzzy.

iv.)4 2, 0.5 , 3, 0.7 , (4, 0.8)

⟶{ 2, 0.5 , 3, 0.7 , (4, 0.8) − 4 } { 1, 0.3 , (2, 0.5)}

= 0 { 1, 0.3 , (2, 0.5)} = 0.

=> 4 bukan titik limit fuzzy. Jadi, himpunan titik limit fuzzy dari untuk �₂ adalah ′₂= {1}.

Dengan demikian, diperoleh titik limit fuzzy ′1 = {1, 2, 3} dan ′2 = {1}, sehingga ′₁ ′₂. Jadi bila ditentukan suatu topologi fuzzy �1 �2, akan diperoleh titik limit fuzzy ′₁ ′₂.

3.7 Titik Interior F uzzy, Titik Eksterior F uzzy, dan Batas F uzzy

Definisi 3.7.1. Misalkan himpunan fuzzy merupakan suatu himpunan bagian dari ruang topologi fuzzy ( ,�). Suatu titik disebut titik interior fuzzy , dinotasikan dengan int( ) atau �, jika titik ada dalam himpunan buka fuzzy yang termuat di , atau dapat ditulis:

“ titik interior fuzzy, jika , dimana himpunan buka fuzzy.” Definisi 3.7.2. Misal adalah himpunan bagian fuzzy dari ruang topologi fuzzy ( ,�) dan − adalah komplemen . Suatu titik disebut titik eksterior fuzzy , dinotasikan dengan ext( ), jika merupakan titik interior fuzzy dari −, atau dapat ditulis:

“ext = int − .”

Definisi 3.7.3. Misal himpunan fuzzy adalah himpunan bagian dari ruang topologi fuzzy ( ,�). Batas fuzzy dari , dinotasikan dengan b( ), adalah himpunan titik-titik yang tidak termasuk titik interior fuzzy maupun titik eksterior

fuzzy , atau dapat ditulis:

“b = (int( ) ext )−= (int( ))− (ext( ))−.”

Contoh 3.7.1: Misal �= {0, 1, , 0.2 , , 1 , , 0.2 , , 1 } merupakan suatu topologi fuzzy pada = { , , }. Dan diberikan = { , 0.2 } himpunan bagian fuzzy dari . Maka:

i.) , 0.2 , 0.2 .

=> , 0.2 adalah titik interior fuzzy. ii.) , 1 1 .

=> , 0.6 bukan titik interior fuzzy. Jadi, himpunan titik interior fuzzy dari adalah int( ) = { , 0.2 }.

Dari himpunan bagian fuzzy = { , 0.2 , , 0.6 }, diperoleh komplemen yaitu −= { , 0.8 , , 1 , , 0.4 , ( , 1)}. Maka:

a.) , 0.8 1 −.

=> , 0.8 bukan titik eksterior fuzzy. b.) , 1 1 −.

=> , 1 bukan titik eksterior fuzzy.

c.) , 0.4 { , 0.4 } −.

=> , 0.4 adalah titik eksterior fuzzy. d.) , 1 1 −.

=> , 1 bukan titik eksterior fuzzy. Jadi, himpunan titik eksterior fuzzy dari adalah ext( ) = { , 0.4 }.

Dan diperoleh batas fuzzy dari , merupakan himpunan titik-titik yang tidak termasuk titik interior fuzzy atau titik eksterior fuzzy , yaitu: b = (int( )

ext )−= ({ , 0.2 } { , 0.4 })−= ( , 0.2 , , 0.4 )−=

{ , 0.8 , , 1 , , 0.6 , ( , 1)}.

Teorema 3.7.1. Jika diberikan ( ,�) adalah suatu ruang topologi fuzzy pada dan merupakan himpunan bagian fuzzy dari . Maka berlaku:

iv. b int = 0; v. b ext = 0; vi. int ext = 0.

Bukti 3.7.1: Menurut Definisi 3.7.3. yang mengatakan bahwa: b = (int( )

ext )−= (int( ))− (ext( ))−, maka:

iv. b int = {(int( ))− (ext )−} int

= 0 (ext( ))− = 0.

v. b ext = {(int( ))− (ext )−} ext

= (int( ))− {(ext )− ext }

= (int( ))− 0

= 0.

Dan karena menurut Definisi 3.7.2. yang mengatakan bahwa: ext = int − , maka:

vi. int ext = int int −

= int −

= int(0) = 0.

Berdasarkan Teorema 3.7.1. tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa titik interior fuzzy, titik eksterior fuzzy, dan batas fuzzy dari suatu topologi fuzzy adalah saling asing atau saling lepas. Dan dari Contoh 3.7.1 dapat diperhatikan bahwa:

“int( )≠ext ≠b .”

∎

Sifat 3.7.1. Bila ditentukan himpunan bagian fuzzy , diperoleh titik interior

fuzzyint( ) int( ).

Contoh 3.7.2: Misal �= {0, 1, , 0.2 , , 0.4 , , 0.2 , , 0.4 } merupakan suatu topologi fuzzy pada = { , , , }. Dan diberikan =

{ , 0.2 , , 0.6 } dan = { , 0.2 , , 0.4 , , 0.6 } himpunan bagian fuzzy dari

, yang mana . Maka dari Contoh 3.7.1, untuk himpunan bagian fuzzy telah diperoleh bahwa titik interior fuzzy dari adalah int( ) = { , 0.2 }.

Sedangkan untuk himpunan bagian fuzzy diperoleh:

a.) , 0.2 , 0.2 .

b.) , 0.4 { , 0.4 } .

=> , 0.4 adalah titik interior fuzzy.

b.) , 0.6 1 .

=> , 0.6 bukan titik interior fuzzy. Jadi, himpunan titik interior fuzzy dari adalah int( ) = { , 0.2 , , 0.4 }. Dengan demikian, diperoleh titik interior fuzzyint( ) = { , 0.2 } dan int( ) =

{ , 0.2 , , 0.4 }, sehingga int( ) int( ). Jadi, bila ditentukan suatu

himpunan bagian , akan diperoleh titik interior fuzzyint( ) int( ).

Sifat 3.7.2. Bila ditentukan topologi �₁ �₂, diperoleh masing-masing titik interior fuzzy int( ) int( ), titik eksterior ext( ) ext( ), dan batas

b( ) b( ).

Contoh 3.7.3: Misal = {1, 2, 3, 4}, serta �₁ = {0, 1, 2, 0.5 , 3, 0.7 , (4, 0.8) }

dan �2 = {0, 1, {(2, 0.5)}, {(2, 0.5), (3, 0.7)}, 2, 0.5 , 3, 0.7 , (4, 0.8) } adalah

masing-masing suatu topologi fuzzy pada , yang mana �₁ �₂. Kemudian diberikan = { 1, 0.3 , (2, 0.5)} merupakan himpunan bagian fuzzy dari . Maka untuk �1 diperoleh:

iii.) 1, 0.3 1 .

=> 1, 0.3 bukan titik interior fuzzy.

iv.)(2, 0.5) 1 .

=> (2, 0.5) bukan titik interior fuzzy. Jadi, himpunan titik interior fuzzy dari untuk �₁ adalah int( )₁ = 0.

Dari himpunan bagian fuzzy = { 1, 0.3 , (2, 0.5)}, diperoleh komplemen yaitu −= { 1, 0.7 , 2, 0.5 , 3, 1 , (4, 1)}. Maka:

a.) 1, 0.7 1 −.

=> 1, 0.7 bukan titik eksterior fuzzy.

=> (2, 0.5) bukan titik eksterior fuzzy. c.) 3, 1 1 −.

=> 3, 1 bukan titik eksterior fuzzy. d.) 4, 1 1 −.

=> 4, 1 bukan titik eksterior fuzzy. Jadi, himpunan titik eksterior fuzzy dari untuk �₁ adalah ext( )₁ = 0.

Dan diperoleh batas fuzzy dari untuk �₁, merupakan himpunan titik-titik yang tidak termasuk titik interior fuzzy maupun titik eksterior fuzzy , yaitu: b( )1 =

(int( )1 ext( )1)−= (0 0)−= (0)−= 1.

Sedangkan untuk �2 diperoleh:

i.) 1, 0.3 1 . => 1, 0.3 bukan titik interior

fuzzy.

ii.) 2, 0.5 {(2, 0.5)} . => (2, 0.5) adalah titik interior

fuzzy.

Jadi, himpunan titik interior fuzzy dari untuk �2 adalah int( )2 = {(2, 0.5)}. Dari himpunan bagian fuzzy = { 1, 0.3 , (2, 0.5)}, diperoleh komplemen yaitu −= { 1, 0.7 , 2, 0.5 , 3, 1 , (4, 1)}. Maka:

a.) 1, 0.7 1 −.

=> 1, 0.7 bukan titik eksterior

fuzzy.

b.) 2, 0.5 {(2, 0.5)} −.

=> (2, 0.5) adalah titik eksterior

fuzzy.

c.) 3, 1 1 −.

=> 3, 1 bukan titik eksterior

fuzzy.

=> 4, 1 bukan titik eksterior

fuzzy.

Jadi, himpunan titik eksterior fuzzy dari untuk �₂ adalah ext( )2 = {(2, 0.5)}. Dan diperoleh batas fuzzy dari untuk �₂, himpunan titik yang tidak termasuk titik interior fuzzy maupun titik eksterior fuzzy , yaitu: b( )2 = (int( )2

ext( )2)−= ({(2, 0.5)} {(2, 0.5)})−= ( (2, 0.5) )−=

{ 1, 1 , 2, 0.5 , 3, 1 , (4, 1)}.

Dengan demikian, diperoleh titik interior fuzzy int( )1 = 0 dan int( )2 =

{(2, 0.5)}, sehingga int( )1 int( )2. Lalu diperoleh titik eksterior fuzzy

ext( )1 = 0 dan ext( )2 = {(2, 0.5)}, sehingga ext( )1 ext( )2. Dan

terakhir diperoleh batas fuzzy b 1 = 1 dan

b 2 = { 1, 1 , 2, 0.5 , 3, 1 , (4, 1)}, sehingga b 1 b 2. Jadi, bila

ditentukan suatu topologi fuzzy �₁ �₂, akan diperoleh titik interior fuzzy

int( )1 int( )2, titik eksterior fuzzy ext( )1 ext( )2, dan batas fuzzy

b 1 b 2.

3.8 Kekontinuan pada Topologi F uzzy

Definisi 3.8.1. Misal ( ,�) dan ( ,� ) adalah suatu ruang topologi fuzzy. Suatu

fungsi dari ke disebut kontinu jika dan hanya jika fungsi invers −1[ ] dari setiap himpunan bagian buka topologi fuzzy � di merupakan himpunan bagian buka topologi fuzzy� di , atau dapat ditulis:

“ : → disebut kontinu ↔ untuk � berlaku −1[ ] �.” Contoh 3.8.1: Misalkan diberikan = { , , } dan = { , , } serta dibentuk

�= {0, 1, ( , 0.3) , ( , 0.6) , , 0.3 , ( , 0.6) , , 0.3 , , 0.6 , ( , 0.9) }

juga � = {0, 1, ( , 0.2) , , 0.2 , ( , 0.5) , , 0.2 , , 0.5 , ( , 0.8) } adalah masing-masing suatu topologi fuzzy pada dan .

Ditentukan suatu fungsi

: → = { , 0.3 , ( , 0.2) , , 0.6 , ( , 0.5) , , 0.9 , ( , 0.8) }.

Maka invers dari setiap himpunan bagian buka topologi fuzzy� di adalah:

a.) −1 0 = {0},

b.) −1{1} = {1},

c.) −1 ( , 0.2) = ( , 0.3) ,

d.) −1 , 0.2 , ( , 0.5) = , 0.3 , ( , 0.6) ,

e.) −1 , 0.2 , , 0.5 , ( , 0.8) = , 0.3 , , 0.6 , ( , 0.9) ,

yang semuanya merupakan himpunan bagian buka topologi fuzzy� di . Dengan demikian, fungsi disebut kontinu.

Contoh 3.8.2:

Misalkan diberikan = { , , } dan = { , , } serta dibentuk �=

{0, 1, ( , 0.2) , , 0.2 , ( , 0.7) } dan � = {0, 1, ( , 0.3) , , 0.3 , ( , 0.8) }

adalah masing-masing suatu topologi fuzzy pada dan . Ditentukan suatu fungsi

: → = { , 0.2 , ( , 0.3) , , 0.5 , ( , 0.8) , , 0.7 , ( , 0.8) }.

Maka invers dari setiap himpunan bagian buka topologi fuzzy� di adalah:

i.) −1 0 = {0},

ii.) −1_{{1} = {1},}

iii.) −1 ( , 0.3) = ( , 0.2) ,

iv.) −1 , 0.3 , ( , 0.8) = , 0.3 , , 0.5 , ( , 0.7) .

Dari invers di atas, terdapat satu invers himpunan bagian buka topologi fuzzy� di yang bukan merupakan himpunan bagian buka topologi fuzzy � di , yaitu:

3.9 Hubungan antara Ruang Topologi �,� dan Ruang Topologi F uzzy

(�,�)

Hubungan antara ruang topologi ,� dan ruang topologi fuzzy ( ,�) yang diperlihatkan adalah hubungan isomorfik antara dua ruang topologi tersebut. Dengan cara demikian, maka nantinya diketahui bahwa ternyata ruang topologi

,� dan ruang topologi fuzzy( ,�) memiliki struktur yang sama. Definisi 3.9.1.

Misalkan suatu ruang topologi ,� dan ruang topologi fuzzy ,� dengan = , , ,… dan � = ∅, , , ,…, , , , ,…, , , ,… serta �= {0, 1, ,� , ,� ,…, ,� , ,� ,

,� , ,� ,… , ,� , ,� , ,� ,…}. Kemudian ditentukan suatu fungsi

: ,� →( ,�) = { ∅, 0 , , 1 , , ,� ,

, ,� ,… , , , ,� , ,� ,

, , ,� , ,� ,… , , , , ,� , ,� , ,� ,…} Fungsi dikatakan isomorfisma jika fungsi merupakan homomorfisma dan bijektif.

(i) Fungsi dikatakan homomorfisma jika berlaku sifat:

{ } = { } ({ }), untuk setiap , { } ,� . Oleh karena dalam ruang topologi maupun ruang topologi fuzzy berlaku dua operasi yang sama, yaitu operasi irisan dan gabungan, maka fungsi homomorfismanya adalah:

= ,� { ,� } = ({ }).

ii. { } = { ,� } = ,� { ,� } = ({ }).

Jadi, fungsi adalah suatu homomorfisma.

(ii)Fungsi dikatakan bijektif jika fungsi injektif dan surjektif. Fungsi : ,� →( ,�) dikatakan injektif jika dan hanya jika { } = ({ }), maka berlaku { } = { }, untuk setiap , { } ,� .

{ }) = ({ } → ,� = ,� .

Oleh karena dalam konsep himpunan diketahui bahwa bila , = { , } jika dan hanya jika = dan = , maka ,� = ,� mengakibatkan = { } dan � = � . Dengan demikian, diperoleh:

{ }) = ({ } → ,� = ,� → = { }. Jadi, fungsi adalah injektif.

Dan fungsi : ,� →( ,�) dikatakan surjektif jika dan hanya jika untuk setiap { ,� } ,� , terdapat { } ,� , sedemikian sehingga { ,� } = ({ }). Dan dari fungsi yang ditentukan, jelas bahwa setiap anggota ( ,�) memiliki pasangan di setiap anggota ,� . Jadi, surjektif.

Oleh karena fungsi adalah injektif dan surjektif, maka adalah bijektif.

ruang topologi ,� dan ruang topologi fuzzy ( ,�) memiliki struktur yang sama.

∎ Contoh 3.9.1:

Misal diberikan = { , , } serta dibentuk � = {∅, , , , , } adalah suatu topologi pada . Kemudian juga dibentuk suatu topologi fuzzy pada , yaitu �= {0, 1, , 0.2 , , 0.5 , , 0.2 , , 0.5 }.

Ditentukan suatu fungsi

: ,� → ( ,�) = { ∅, 0 , , 1 , , , 0.2 , , , 0.5 , , , , 0.2 , , 0.5 }

Akan ditunjukkan bahwa fungsi adalah suatu homomorfisma, misal { } = ∅ = 0, maka = , 0.2 , 0.5 = 0. Dan

{ } = { , } = , 0.2 , , 0.5 , maka =

, 0.2 , 0.5 = , 0.2 , , 0.5 .

Juga jelas bahwa fungsi adalah fungsi injektif, karena setiap anggota ruang topologi ,� ditempatkan tepat satu ke anggota ruang topologi fuzzy ( ,�). Juga jelas bahwa fungsi adalah fungsi surjektif, karena setiap anggota ruang topologi fuzzy ( ,�) memiliki pasangan terhadap setiap anggota ruang topologi

,� . Dengan demikian, fungsi adalah fungsi bijektif.

Dengan demikian, oleh karena fungsi merupakan suatu homomorfismadan juga bijektif, maka fungsi dikatakan isomorfisma.

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

1.8 Kesimpulan

Dari studi literatur ini dapat disimpulkan bahwa setiap konsep, sifat-sifat, teorema, dan operasi-operasi yang terdapat dan berlaku di dalam ruang topologi ,� , ternyata juga dapat diberlakukan dalam ruang topologi fuzzy( ,�). Dan

hubungan yang diperoleh antara dua ruang topologi tersebut adalah bahwa ruang topologi ,� isomorfik dengan ruang topologi fuzzy( ,�).

4.2 Saran

Kajian ini dapat diperluas lagi dengan memakai contoh himpunan fuzzy yang kontinu dan juga menggunakan konsep, sifat-sifat, dan teorema yang lainnya, yang tidak dibatasi hanya sampai ke sifat kekontinuan dalam ruang topologi saja. Sebab ruang topologi itu sendiri mencakup banyak hal selain kekontinuan, seperti misalnya kekompakan dan keterhitungan.

Kajian ini dapat diperluas lagi dengan menambah satu atau dua ruang topologi lagi yang lain, misalnya ruang topologi dalam himpunan kompleks. Sehingga konsep, sifat-sifat, teorema, dan operasi-operasi yang dicakup lebih banyak lagi.

DAFTAR PUSTAKA

Carlson, Steve. 2010. Fuzzy Sets and Fuzzy Topologies: Early Ideas and Obstacles. New York: Rose-Hulman Institue of Technology.

Chon, Inheung. 2000. Properties of Fuzzy Topological Groups and Semigroups. Kangweon-Kyungki Math. Journal 8(2): hal. 103–110.

Croom, Fred H. 1989. Principles of Topology. Florida: Saunders College Publishing.

Davis, Sheldon W. 2005. Topology. New York: McGraw-Hill Companies.

Dib, K. A. 1999. The Fuzzy Topological Spaces on A Fuzzy Space. Fuzzy Sets and Systems 108: hal. 103–110.

Jeon, Jaeseok. 1982. Some Properties of Fuzzy Topological Spaces. Bull. Korean Math. Soc. 19(1).

Kartono dan Nurwiyati, F. W. 1995. Pengantar Topologi. Yogyakarta: Penerbit Andi Offset Yogyakarta.

Michálek, Jiří. 1975. Fuzzy Topologies. Kybernetika 11(5): hal. 345–354.

Munir, Rinaldi. 2007. Matematika Diskrit (Edisi Ketiga). Bandung: Penerbit Informatika Bandung.

Setiawan, Adi. 2011. Aljabar Abstrak (Teori Grup dan Teori Ring). Diktat kuliah Aljabar Abstrak Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Salatiga.

Sims, Benjamin T. 1976. Fundamentals of Topology. London: Collier Macmillan Publishers.

Shi, Wenzhong. dan Liu, Kimfung. 2007. A Fuzzy Topology for Computing The Interior, Boundary, and Exterior of Spatial Objects Quantitatively in GIS. Computers & Geosciences 33: hal. 898–915.

Suryadi, H. S. Topologi. Jakarta: Penerbit STI&K Jakarta.

Vilela, Jocelyn P. dan Bautista, Luzviminda R. 2011. On Fuzzy Topology on KS-semigroups. International Mathematical Forum 6(39): hal. 1921-1932.

Warren, R. H. 1978. Neighborhoods, Bases and Continuity in Fuzzy Topology Spaces. Rocky Mountain Journal of Mathematics 8(3).

Yosida, Kôsaku. 1980. Functional Analysis (Sixth Edition). New York: Springer-Verlag Berlin Heidelberg.

Zadeh, L.A. 1965. Fuzzy Sets. Information and Control 8: hal. 338-353.

http://www.doc.ic.ac.uk/~nd/surprise_96/journal/vol4/sbaa/report.fuzzysets.html. Diakses tanggal 30 Juni, 2011.

http://www.myreaders.info/html/soft_computing.html. Diakses tanggal 30 Juni, 2011.

http://en.wikipedia.org/wiki/Fuzzy_set. Diakses tanggal 30 Juni, 2011.

http://id.wikipedia.org/wiki/Logika_fuzzy. Diakses tanggal 30 Juni, 2011.

http://en.wikipedia.org/wiki/Topology. Diakses tanggal 30 Juni, 2011.