Bukti 2.2.5.1
: Misalkan ℬ merupakan basis dari topologi � pada . Karena �
1
merupakan suatu subbasis dari topologi �, maka ℬ merupakan irisan hingga dari
anggota-anggota �
1
. Ini berarti bahwa ℬ = ⋂� ; = 1,2, … , , yang mana �
�
1
. Tetapi karena
�
1
�
2
, maka berlaku untuk setiap �
�
1
juga merupakan anggota dari
�
2
. Ini berarti bahwa ℬ juga merupakan irisan hingga dari anggota-
anggota �
2
. Dengan demikian, �
2
merupakan subbasis dari topologi � pada
juga. ∎
Berdasarkan
Teorema 2.2.5.1.
tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa subbasis dari suatu topologi adalah tidak tunggal.
Contoh 2.2.5.2
: Misalkan diberikan = { , , , , }. Jika dibentuk suatu
subbasis �
1
= { , , , , , , , , , , , , }, maka dapat diperoleh
suatu basis
dari topologi
pada ,
yaitu ℬ
1
= { , , , , , , , , , , , , , ∅, { }}.
Sekarang jika �
2
= { , , , , , , , , , , , , , }, maka diperoleh
ℬ
2
= { , , , , , , , , , , , , , , ∅} merupakan suatu basis dari
topologi pada . Oleh karena
ℬ
1
= ℬ
2
, maka dapat dibentuk suatu topologi yang sama pada , yaitu
� = { , , , , , , , , , , , , , , ∅, , , , , { , , }}. Dari sini jelas terlihat bahwa
�
1
�
2
dan ℬ
1
= ℬ
2
. Dengan demikian, �
1
dan �
2
merupakan subbasis-subbasis dari topologi yang sama.
2.2.6 Titik Limit
Definisi 2.2.6.1.
Misalkan adalah sebuah ruang topologi. Suatu titik
disebut
titik limit
dari himpunan bagian pada , dinotasikan dengan ′, jika dan
Universitas Sumatera Utara
hanya jika setiap himpunan buka yang memuat titik , juga memuat suatu titik pada yang berbeda dengan titik tersebut. Atau juga dapat ditulis:
“ titik limit, jika , buka, sedemikian
− ≠ ∅.”
Contoh 2.2.6.1
: Misalkan = {1, 2, 3, 4, 5} dan
� = {∅, , 1,2 , 3,4 , {1,2,3,4}} adalah suatu topologi pada . Diberikan
= {1,2,3} merupakan himpunan bagian dari . Maka:
i. 1 {1,2} ⟶ 1,2 − 1 1,2,3 = {2}. = 1 adalah titik
limit. ii.
2 {1,2} ⟶ 1,2 − 2 1,2,3 = {1}. = 2 adalah titik limit.
iii. 3
3,4 ⟶ 3,4 − 3 1,2,3 = ∅. = 3 bukan titik limit.
iv. 4 {3,4} ⟶ 3,4 − 4 1,2,3 = {3}. = 4 adalah titik
limit. v.
5 ⟶ − 5 1,2,3 = {1,2,3}. = 5 adalah titik
limit. Jadi, himpunan titik limit dari adalah
′ = {1, 2, 4, 5}.
Sifat 2.2.6.1.
Bila ditentukan himpunan bagian , diperoleh titik limit
′ ′.
Contoh 2.2.6.2
: Misal � = ∅, , , , , , , adalah suatu topologi pada
= { , , , }. Lalu diberikan = { , } dan
= { , , } masing-masing merupakan himpunan bagian dari , yang mana
. Maka untuk himpunan bagian diperoleh:
a. { }
⟶ − , = ∅. = bukan titik limit. b.
⟶ − , = { }. = adalah titik limit.
Universitas Sumatera Utara
c. , ⟶ , − , = ∅.= bukan titik
limit. d.
{ , } ⟶ { , } − , = ∅.= bukan titik
limit. Jadi, himpunan titik limit dari adalah
′ = { }. Sedangkan untuk himpunan bagian diperoleh:
w. { }
⟶ − , , = ∅. = bukan titik limit.
x. ⟶ − , , = { , }.
= adalah titik limit. y.
, ⟶ , − , , = ∅. = bukan titik limit.
z. { , }
⟶ { , } − , , = { }. = adalah titik limit.
Jadi, himpunan titik limit dari adalah ′ = { , }.
Dengan demikian, diperoleh titik limit ′ = { } dan ′ = { , }, sehingga ′
′. Jadi, bila ditentukan suatu himpunan bagian , akan diperoleh titik limit
′ ′.
Sifat 2.2.6.2.
Bila ditentukan suatu topologi �
1
�
2
, diperoleh titik limit ′
1
′
2
.
Contoh 2.2.6.3
: Misal �
1
= { ∅, , , , } dan �
2
= ∅, , , , , , ,
adalah masing-masing suatu topologi pada = { , , , , }, yang mana
�
1
�
2
. Lalu diberikan
= { , } merupakan suatu himpunan bagian dari . Maka untuk topologi
�
1
diperoleh: i.
{ , , } ⟶ , , − , = ∅.
= bukan titik limit.
Universitas Sumatera Utara
ii. ⟶ − , = { }.
= adalah titik limit. iii.
, , ⟶ , , − , = { }. = adalah titik limit.
iv. { , , }
⟶ { , , } − , = { }. = adalah titik limit.
v. ⟶ − , = { , }.
= adalah titik limit. Jadi, himpunan titik limit dari untuk
�
1
adalah ′
1
= { , , , }. Sedangkan untuk topologi
�
2
diperoleh: a.
{ } ⟶ − , = ∅.
= bukan titik limit. b.
⟶ − , = { }. = adalah titik limit.
c. , ⟶ , − , = ∅.
= bukan titik limit. d.
{ , } ⟶ { , } − , = ∅.
= bukan titik limit. e.
⟶ − , = { , }. = adalah titik limit.
Jadi, himpunan titik limit dari untuk �
2
adalah ′
2
= { , }. Dengan demikian, diperoleh titik limit
′
1
= { , , , } dan ′
2
= { , }, sehingga
′
1
′
2
. Jadi bila ditentukan suatu topologi �
1
�
2
, akan diperoleh titik limit
′
1
′
2
.
2.2.7 Titik Interior, Titik Eksterior, dan Batas
