ii. ⟶ − , = { }.
= adalah titik limit. iii.
, , ⟶ , , − , = { }. = adalah titik limit.
iv. { , , }
⟶ { , , } − , = { }. = adalah titik limit.
v. ⟶ − , = { , }.
= adalah titik limit. Jadi, himpunan titik limit dari untuk
�
1
adalah ′
1
= { , , , }. Sedangkan untuk topologi
�
2
diperoleh: a.
{ } ⟶ − , = ∅.
= bukan titik limit. b.
⟶ − , = { }. = adalah titik limit.
c. , ⟶ , − , = ∅.
= bukan titik limit. d.
{ , } ⟶ { , } − , = ∅.
= bukan titik limit. e.
⟶ − , = { , }. = adalah titik limit.
Jadi, himpunan titik limit dari untuk �
2
adalah ′
2
= { , }. Dengan demikian, diperoleh titik limit
′
1
= { , , , } dan ′
2
= { , }, sehingga
′
1
′
2
. Jadi bila ditentukan suatu topologi �
1
�
2
, akan diperoleh titik limit
′
1
′
2
.
2.2.7 Titik Interior, Titik Eksterior, dan Batas
Universitas Sumatera Utara
Definisi 2.2.7.1.
Misal adalah himpunan bagian dari ruang topologi . Suatu titik
disebut
titik interior
, yang dinotasikan dengan int atau
�
,
jika ada dalam himpunan buka yang termuat di , atau dapat ditulis:
“ titik interior, jika , dimana
adalah himpunan buka.”
Definisi 2.2.7.2.
Misal adalah himpunan bagian dari ruang topologi dan adalah komplemen . Suatu titik disebut
titik eksterior
, yang dinotasikan dengan
ext , jika merupakan titik interior dari
, atau dapat ditulis:
“ext = int .”
Definisi 2.2.7.3.
Misal adalah himpunan bagian dari ruang topologi .
Batas
dari , yang dinotasikan dengan b , adalah himpunan titik-titik yang tidak
termasuk titik interior maupun titik eksterior , atau dapat ditulis:
“b = int ext = int ext
.”
Contoh 2.2.7.1
: Misal � = {∅, , 1 , 3,4 , 1,3,4 , {2,3,4,5}} adalah suatu
topologi pada = {1, 2, 3, 4, 5}, dan
= {2, 3, 4} merupakan himpunan bagian dari . Maka:
a. 2 {2,3,4,5}
. =
2 bukan titik interior. b.
3 {3,4} .
= 3 adalah titik interior.
c. 4 {3,4}
. =
4 adalah titik interior. Jadi, himpunan titik interior dari adalah
int = {3, 4}. Dari himpunan bagian
= {2, 3, 4}, diperoleh komplemen yaitu = {1, 5}.
Maka: y.
1 {1} .
= 1 adalah titik eksterior.
z. 5 {2,3,4,5}
. =
5 bukan titik eksterior. Jadi, himpunan titik eksterior dari adalah
ext = {1}.
Universitas Sumatera Utara
Dan juga diperoleh batas dari , yang merupakan himpunan titik-titik yang tidak termasuk titik interior maupun titik eksterior
, yaitu: b
= int ext
= 3, 4 1 = 1, 3, 4 = {2, 5}.
Teorema 2.2.7.1.
Jika diberikan adalah suatu ruang topologi pada dan
merupakan himpunan bagian dari . Maka berlaku: i.
b int = ∅;
ii. b
ext = ∅; iii.
int ext = ∅.
Bukti 2.2.7.1
: Menurut
Definisi 2.2.7.3.
yang mengatakan bahwa: b
= int
ext = int
ext , maka: i.
b int
= {int ext
} int = {int
int } ext
= ∅ ext
= ∅.
ii. b
ext = {int
ext } ext
= int {ext
ext }
= int ∅
= ∅.
Dan karena menurut
Definisi 2.2.7.2.
yang mengatakan bahwa: ext
= int , maka:
iii. int
ext = int
int = int
= int ∅
= ∅.
Universitas Sumatera Utara
Berdasarkan
Teorema 2.2.7.1.
tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa titik interior, titik eksterior, dan batas dari suatu topologi adalah saling asing atau
saling lepas. Dan dari
Contoh 2.2.7.1
dapat diperhatikan bahwa: “int ≠ ext ≠ b .”
∎
Sifat 2.2.7.1.
Bila ditentukan himpunan bagian , diperoleh titik interior
int int .
Contoh 2.2.7.2
: Misal � = ∅, , , , , , , adalah suatu topologi pada
= { , , , }. Lalu diberikan = { , } dan
= { , , } masing-masing merupakan himpunan bagian dari , yang mana
. Maka untuk himpunan bagian diperoleh:
a. .
= bukan titik interior. b.
{ , } .
= bukan titik interior. Jadi, himpunan titik interior dari adalah
int = ∅.
Sedangkan untuk himpunan bagian diperoleh: x.
. = bukan titik interior.
y. { , }
. = adalah titik interior.
z. { , }
. = adalah titik interior.
Jadi, himpunan titik interior dari adalah int = { , }.
Dengan demikian, diperoleh titik interior int =
∅ dan int = { , }, sehingga
int int . Jadi, bila ditentukan suatu himpunan bagian
, akan diperoleh titik interior
int int .
Sifat 2.2.7.2.
Bila ditentukan topologi �
1
�
2
, diperoleh masing-masing titik interior
int int , titik eksterior ext
ext , dan batas b b .
Universitas Sumatera Utara
Contoh 2.2.7.3
: Misal �
1
= { ∅, , , , } dan �
2
= ∅, , , , , , ,
adalah masing-masing suatu topologi pada = { , , , , }, yang mana
�
1
�
2
. Lalu diberikan
= { , } merupakan himpunan bagian dari . Maka untuk topologi
�
1
diperoleh: i.
{ , , } .
= bukan titik interior. ii.
. = bukan titik interior.
Jadi, himpunan titik interior dari untuk �
1
adalah int
1
= ∅.
Dari himpunan = { , }, diperoleh komplemen adalah
= { , , }. Maka: a.
{ , , } .
= bukan titik eksterior. b.
{ , , } .
= bukan titik eksterior. c.
. = bukan titik eksterior.
Jadi, himpunan titik eksterior dari untuk �
1
adalah ext
1
= ∅.
Dan juga diperoleh batas dari untuk �
1
, yang merupakan himpunan titik-titik yang tidak termasuk titik interior maupun titik eksterior
untuk �
1
, adalah b
1
= int
1
ext
1
= ∅ ∅ = ∅ = { , , , , }.
Sedangkan untuk topologi �
2
diperoleh: i.
{ } .
= adalah titik interior. ii.
. = bukan titik interior.
Jadi, himpunan titik interior dari untuk �
2
adalah int
2
= { }. Dari himpunan
= { , }, diperoleh komplemen adalah = { , , }. Maka:
a. { , }
. = adalah titik eksterior.
b. { , }
. = adalah titik eksterior.
c. .
= bukan titik eksterior. Jadi, himpunan titik eksterior dari untuk
�
2
adalah ext
2
= { , }.
Universitas Sumatera Utara
Dan juga diperoleh batas dari untuk �
2
, yang merupakan himpunan titik-titik yang tidak termasuk titik interior maupun titik eksterior
untuk �
2
, adalah b
2
= int
2
ext
2
= { } { , } = { , , } = { , }.
Dengan demikian, diperoleh titik interior int
1
= ∅ dan int
2
= { }, sehingga
int
1
int
2
. Lalu diperoleh titik eksterior ext
1
= ∅ dan
ext
2
= { , }, sehingga ext
1
ext
2
. Dan terakhir diperoleh batas b
1
= { , , , , } dan b
2
= { , }, sehingga b
1
b
2
. Jadi, bila ditentukan suatu topologi
�
1
�
2
, akan diperoleh titik interior int
1
int
2
, titik eksterior
ext
1
ext
2
, dan batas b
1
b
2
.
2.2.8 Kekontinuan pada Topologi
