Universitas Sumatera Utara
Konstanta integrasi Am,Bm,Cm dan Dm dapat ditentukan dari kondisi tepi diempat pelat tepi pelat.Penyelesaian Levy ini bisa disederhanakan dengan memanfaatkan
sifat simetris.Jika kondisi tepi pelat simetris terhadap sumbu X, permukaan lendutan harus merupakan fungsi genap dari y:
w+y = w-y dengan demikian,koefisien Cm dan Dm harus diambil sama dengan nol,sehingga
diperoleh bentuk sederhana dari persamaan 2.19 : Y
m
y = A
m
cosh + B
m
sinh 2.20
Jadi pada kasus tepi yang sama di y =
±
b2,penyelesaian diferensial pelat dengan metode levy dapat dinyatakan sebagai :
wx,y = ∑
∾
sin
+ ∑
cosh sinh
sin
∾
2.21
2.3 Persamaan Diferensial Pelat Dalam Sistem Koordinat Cartesius
Pelat adalah suatu solid 3 dimensi yang mempunyai tebal arah h arah Z lebih kecil dibandingkan dengan dimensi lainnya yaitu : panjang L
x
arah X dan lebar L
y
arah Y .Pelat dibagi kedalam beberapa ketebalan pelat yaitu pelat tebal dimana ketebalannya sepersepuluh 110 dari bentang dan pelat tipis dengan
ketebalan seperempat puluh 140 dari bentang . Teori pelat dengan lendutan kecil yang sering kali disebut teori Kirchhoff dan Love berlaku pada pelat tipis Lh 20
yang didasrkan pada anggapan berikut : a Bahan pelat bersifat elastis,homogeny dan isotropis
b Pelat pada mulanya datar c Tebal pelat relative kecil dibandingkan dengan dimensi lainnya.Dimensi lateral
terkecil pada pelat paling sedikit sepuluh kali lebih besar daripada ketebalan d Lendutan sangat kecil dibandingkan dengan tebal pelat.Lendutan maksimum
sebesar sepersepuluh sampai seperlima tebal pelat dianggap sebagai batasan untuk teori lendutan yang kecil.Batasan ini juga dapat dinyatakan dalam panjang
pelat misalnya, lendutan maksimum lebih kecil dari satu perlima puluh panjang bentang yang kecil
Universitas Sumatera Utara
e Kemiringan bidang pusat yang melendut jauh lebih kecil dari satu f Perubahan bentuk pelat bersifat sedemikian rupa sehingga garis lurus,yang
semula tegak lurus pusat pelat, tetap berupa garis lurus dan tetap tegak lurus bidang perubahan bentuk akibat gaya geser transversal akan diabaikan .
g Lendutan pelat diakibatkan oleh perpindahan titik – titk bidang pusat yang tegak lurus bidang awalnya.
h Besarnya tegangan yang tegak lurus bidang pusat sangat kecil sehingga bisa diabaikan.
Untuk pelat segiempat, pemakaian sistem koordinat cartesius merupakan cara yang paling mudah.Gaya luar dan dalam serta komponen lendutan u,v, dan w
dianggap positif bila searah dengan arah positif sumbu koordinat X,Y, dan Z.Dalam praktek pada bidang teknik, momen positif menimbulkan tarikan pada serat yang
terletak dibagaian bawah struktur. Tinjaulah suatu kotak kecil yang dipotong dari sebuah pelat pada Gambar
2.2a.Kemudian kita berikan gaya dalam dan momen positif pada bidang – bidang dekat.
Agar elemen tersebut seimbang, gaya dalam dan momen negative harus bekerja pada bidang jauhnya.
sumber : Teori dan analisis pelat,R. Szilard
Gambar 2.2 Gaya dalam dan luar pada elemen bidang pusat
Universitas Sumatera Utara
Dengan menganggap pelat hanya memikul beban lateral ada tiga persamaan keseimbangan dasar berikut yang dapat digunakan :
∑Mx = 0, ∑My = 0, dan ∑Pz = 0 2.22 Perilaku pelat dalam banyak hal analog dengan perilaku jaringan balok silang
dua dimensi.Jadi beban luar Pz dipikul oleh gaya geser tranversal Qx dan Qy serta oleh momen lentur Mx dan My .Perbedaan yang jelas dengan aksi jaringan balok
silang dua dimensi ialah adanya momen punter Mxy dan Myx.Dalam teori pelat, umumnya gaya dalam dan momen dinyatakan per satuan panjang bidang pusat.Untuk
membedakan gaya dalam ini dengan resultan yang disebutkan diatas, notasi q
x
,q
y
,m
x
,m
y
,m
xy
, dan m
yx
akan digunakan disini. Sebagai contoh, samakanlah jumlah momen semua gaya dalam terhadap
sumbu Y dengan nol gambar 2.2 b, sehingga diperoleh : m
x
+ dx dy - m
x
dy + m
yx
+ dy dx - m
yx
dx - m
yx
dx 2.23 – q
x
+ dy - q
x
dy = 0 Setelah disederhanakan, kita abaikan suku yang mengandung besaran
½ q
x
x dx
2
dy
,karena merupakan suku beorde tinggi yang sangat kecil.Dengan
demikian,persamaan 2.23 menjadi : dx dy +
dy dx - q
x
dx dy = 0 2.24 Dan, setelah dibagi dengan dx dy, kita peroleh :
+ = q
x
2.25 Dengan cara yang sama, penjumlahan momen – momen terhadap X menghasilkan :
+ = q
y
2.26 Penjumlahan semua gaya dalam arah Z menghasilkan persamaan keseimbangan
ketiga : dy +
dy + p
z
dx dy = 0 2.27
Universitas Sumatera Utara
Yang setelah dibagi oleh dx dy menjadi : +
= - p
z
2.28 Dengan memasukkan persamaan 2.25 dan 2.26 ke persamaan 2.28 dan
memperhatikan bahwa m
xy
dan m
yx
,kita peroleh : + 2
+ = -p
z
x,y 2.29 Anggapan bahwa bahan bersifat elastis memungkinkan pemakaian hukum
Hooke dua dimensi, σ
x
= E
x
+ v σ
y
2.30a dan σ
y
= E
y
+ v σ
x
2.30b Yang menghubungkan tegangan dan regangan pada suatu elemen pelat.Substitusi
persamaan 2.30a kepersamaan 2.30b menghasilkan : σ
x
=
x
+ v
y
2.31 dengan cara yang sama, kita peroleh
σ
x
=
y
+ v
x
2.32 Momen punter m
xy
dan m
yx
menimbulkan tegangan geser sebidang τ
xy
dan τ
yx
gambar 2.4 ,yang berhubungan dengan tegangan geser γ melalui persamaan
yang sejenis dengan hokum hooke persamaannya : τ
xy
= Gγ
xy
= = τ
yx
Universitas Sumatera Utara
sumber : Teori dan analisis pelat,R. Szilard Sekarang marilah kita tentukan distorsi sudut γ
xy
= γ’ + γ” dengan membandingkan segiempat ABCD gambar 2.5 ,yang terletak pada suatu jarak
konstan z dari bidang pusat, dengan keadaannya setelah berubah bentuk A’B’C’D’ pada permukaan pelat yang melendut.Dari kedua segitiga kecil dalam gambar 2.6
terlihat bahwa: γ’ = dan γ” = 2.33
sumber : Teori dan analisis pelat,R. Szilard tetapi dari gambar 2.4,
u = z = -z 2.34
Dengan cara yang sama,
Gambar 2.3 Tegangan pada suatu elemen pelat
Gambar 2.4 Penampang sebelum dan setelah berubah bentuk
Universitas Sumatera Utara
v = z = -z 2.35
sehingga, γ
xy
=
γ’ + γ” = -2z 2.36
Perubahan kelengkungan pada bidang pusat yang melendut didefinisikan sebagai : K
x
= - K
y
= - dan X = -
Dimana X menyatakan pemilinan pelat. Komponen tegangan
σ
x
dan σ
y
gambar 2.4 menimbulkan momen lentur pada elemen pelat .Jadi, dengan mengintegrasikan komponen tegangan normal,kita
peroleh momen lentur yang bekerja pada elemen pelat : m
x
= ∫
dan m
y
= ∫
2.37 Demikian pula, momen puntir akibat tegangan geser τ = τ
xy
= τ
yx
dihitung dari : m
xy
= ∫
dan m
yx
= ∫
2.38 namun τ
xy
= τ
yx
sehingga m
xy
= m
yx
Tegangan normal σ
x
dan σ
y
bisa dinyatakan dalam lendutan lateral w.Jadi, kita dapat tuliskan :
σ
x
= - + v
dan σ
y
= - + v
2.39 Integrasi persamaan 2.37 , setelah substitusi persamaan diatas untuk
σ
x
dan σ
y
, menghasilkan :
m
x
= -
+ =
−
+ =
+
m
y
= - D + v
= +
2.40 dimana
Universitas Sumatera Utara
D = 2.41
2.4 Pengertian Flat Slab
