Universitas Sumatera Utara
Teori pelat yang lebih eksak yang memperhitungkan deformasi akibat gaya geser tranversal diperkenalkan oleh Reissner.Dirusia, penelitian yang dilakukan
Volmir dan Panov terutama ditujukan untuk memecahkan masalah non
linier,sementara Oniashvill dan Gontkevitsh menyelidiki getaran bebas dan getaran gaya pelat.
2.2 Teori Lendutan
Untuk lendutan yang kecil w ≤ 0,2 h , akan tetapi, bila besarnya lendutan
melampaui batas tertentu w ≥ 0,30 h , lendutan lateral akan disertai oleh rentangan
bidang pusat jika tepi – tepi pelat dikekang terhadap gerakan sebidang.Gaya – gaya membrane akibat rintangan ini akan memperbesar daya pikul beban lateral .Sebagai
contoh, jika pelat diizinkan melendut lebih besar daripada ketebalannya, daya pikul bebannya akan jauh lebih tinggi.Bila besar lendutannya maksimal mencapai tebal
pelat w = h , aksi membrane akan sebanding dengan aksi lentur . Di atas nilai ini w
maks
h , aksi membrane akan lebih dominan.Oleh karena itu, teori pelat yang
memperhitungkan pengaruh lendutan yang besar harus digunakan pada kasus seperti ini.
Walaupun teori pelat dengan lendutan besar menganggap lendutan pelat sama dengan atau lebih besar daripada ketebalan pelat, lendutan ini harus tetap kecil
relative kecil dibandingkan dimensi pelat lainnya.Walaupun sekarang pengaruh lentur dan rentangan harus ditinjau secara berbarengan, persamaan diferensial pelat
yang menyatakan keseimbangan gaya luar dan dalam yang bekerja pada suatu elemen pelat yang sangat kecil, juga berlaku bagi teori lendutan pelat besar.Akan
tetapi, pada kasus ini ada gaya sebidang n
x
ϕ , n
y
ϕ dan n
xy
ϕ yang timbul akibat lendutan yang besar. Karena mengandung dua besaran yang tidak diketahui
w, ϕ, kita memerlukan persamaan tambahan yang menghubungkan fungsi lendutan
dan tegangan. Hubungan ini bias diperoleh dari persamaan kompatibilitas yang menyatakan suku – suku tak linier dalam persamaan perpindahan – tegangan bagi
lendutan besar gambar 2.2 .Jadi dapat dituliskan :
y
= + = +
= n
x
– vn
y
2.1
y
= + = +
= n
x
– vn
y
Universitas Sumatera Utara
γ = γ + γ = + +
= n
xy
Jika komponen perpindahan dieliminir diferensiasi secara berurutan dan gaya – gaya membrane diganti oleh :
n
x
= h n
y
= h dan n
xy
= -h 2.2
dimana
,
menyatakan fungsi tegangan jenis,maka kita peroleh persamaan kompatibilitas :
Δ
4
= E -
2.3 Dengan memakai persamaan 2.3, persamaan diferensial untuk teori lendutan besar
dapat dituliskan secara ringkas sebagai berikut : Δ
4
w x,y = £ w,
+
Δ
4
x,y = - ½ £ w,w Dimana operator diferensial £ untuk w dan
adalah : £ ,w =
+ - 2
2.4 dan £ ,w diperoleh dengan mengganti
dalam persamaan 2.4 dengan w. Pada tahun 1820, Navier mengemukakan makalah pada French Academy of
Sciences mengenai penyelesaian pelat segiempat bertumpuan sederhana yang mengalami lentur dengan deret trigonometris ganda.Penyelesaian Navier kadang –
kadang disebut penyelesaian persamaan diferensial yang dipaksakan karena cara ini mentransformasi “ secara paksa” persamaan deferensiasi pelat menjadi persamaan
aljabar, sehingga sangat mempermudah operasi matematis yang diperlukan. Penyelesaian Navier hanya berlaku bagi kondisi tepi pelat segiempat berikut :
w
x = 0 , x = a
= 0 m
x x = 0, x = a
= 0 2.5 w
y = 0,y = b
= 0 m
y y = 0, y = b
= 0
Universitas Sumatera Utara
yang menyatakan kondisi tepi bertumpuan sederhana diseluruh sisinya. Langkah – langkah penyelesaian persamaan diferensial yang memikul beban
transversal menurut metode Navier adalah sebagai berikut : 1. Lendutan dinyatakan dengan deret sinus ganda,
w x,y = ∑
∑
∾ ∾
sin sin
2.6 yang memenuhi semua kondisi tepi yang disebutkan diatas.Dalam persamaan
2.6 koefisien ekspansi W
mn
merupakan besaran yang belum diketahui. 2. Beban lateral p
z
juga diekspansi ke deret sinus ganda ; P
z
x,y = ∑
∑
∾ ∾
sin sin
m,n = 1,2,3,… 2.7 Koefisien P
mn
dalam ekspansi Fourier ganda bagi beban ini ditentukan dari persamaan :
F
mn
= ∫ ∫
, sin
sin
3. Dengan mensubstitusikan persamaan 2.6 dan 2.7 kedalam persamaan diferensial pelat,kita peroleh persamaan aljabar yang selanjutnya digunakan
untuk menghitung besaran W
mn
. Jadi, untuk nilai m dan n tertentu, menjadi :
W
mn
+ +
sin
sin
= 1D P
mn
sin sin
2.8 Sehingga,
W
mn
=
[ ]
2.9 Penjumlahan semua suku menhasilkan penyelesaian analitis untuk lendutan
pelat.Dengan demikian,kita dapat tuliskan Wx,y =
∑ ∑
[ ]
∾ ∾
sin sin
2.10
Universitas Sumatera Utara
Dengan mensubtitusikan persamaan wx,y ini ke persamaan momen dalam dan gaya geser, kita dapat menentukan gaya dalam, dan karenanya keadaan tegangan
,disetiap titik pelat pada pelat.Misalnya untuk momen pelat,kita peroleh : M
x
=
2
D ∑
∑
+
∾ ∾
sin si n
My =
2
D ∑
∑
+
∾ ∾
sin sin
2.11 Mxy = -
2
D 1- v ∑
∑
∾ ∾
cos cos
Dengan memanfaatkan dalil superposisi, kita dapat memperluas pemakaian Navier pada pelat segiempat yang memiliki kondisi tepi yang tidak bertumpuan
sederhana.Pendekatan dalam kasus seperti ini serupa dengan penyelesaian masalah balok, yakni pengaruh gaya atau momen tepi dijumlahkan dengan penyelesaian pelat
bertumpuan sederhana dimana w
p
= penyelesaian pelat homogen dan w
h
= penyelesaian khusus dari persamaan
; wx,y = w
p
+ ∑w
h
Untuk memperoleh penyelesaian khusus dengan metode levy, dua tepi pelat yang berseberangan harus bertumpuan sederhana dan pelat harus dianggap dengan
panjang tak berhingga dalam arah lainnya.Dalam pembahasan selanjutnya, kita anggap tepi di x = 0 dan x = a bertumpuan sederhana dan pusat sistem koordinat
pelat diambil di x = 0 dan y = b2 .Selain itu, metode ini mengharuskan beban lateral memiliki distribusi yang sama pada semua penampang yang sejajar dengan
sumbu X.
sumber : Teori dan analisis pelat,R. Szilard
Gambar 2.1 Letak sistem koordinat untuk metode levy
Universitas Sumatera Utara
Dari anggapan bahwa b - ∾, persamaan diferensial pelat menjadi
=
2.12 Oleh karena wx nerupakan fungsi dari hanya satu variable, persamaan 2.12
menyerupai persamaan diferensial balok :
∗
=
2.13 Dengan membandingkan persamaan 2.12 dan 2.13,kita dapatkan hubungan
sederhana berikut w = w
1 – v
2
2.14 persamaan 2.12 dapat diselesaikan dengan metode Navier,jadi kita penyelesaian
yang berbentuk sebagai berikut w
p
x = ∑
∾
sin
2.15 Dengan menyatakan w
H
dengan deret trigonometris tunggal,kita peroleh w
h
x,y = ∑
∾
sin
2.16 persamaan ini memenuhi kondisi tepi tumpuan sederhana dalam arah X, karena di x
= 0 , dan x = a,
w
H
= 0 dan = 0 2.17
atau nilai m tertentu,
Ym y – 2 Y”m y +
y = 0 2.18
Persamaan 2.18 merupakan persamaan diferensial homogeny,linear berorde empat dengan koefisien momen konstan.Nadai mendapatkan persamaan penyelesaian
persamaan 2.18 dalam bentuk fungsi hiperbolik berikut : Ym y = A
m
cosh + B
m
sinh + C
m
+
D
m
cosh 2.19
Universitas Sumatera Utara
Konstanta integrasi Am,Bm,Cm dan Dm dapat ditentukan dari kondisi tepi diempat pelat tepi pelat.Penyelesaian Levy ini bisa disederhanakan dengan memanfaatkan
sifat simetris.Jika kondisi tepi pelat simetris terhadap sumbu X, permukaan lendutan harus merupakan fungsi genap dari y:
w+y = w-y dengan demikian,koefisien Cm dan Dm harus diambil sama dengan nol,sehingga
diperoleh bentuk sederhana dari persamaan 2.19 : Y
m
y = A
m
cosh + B
m
sinh 2.20
Jadi pada kasus tepi yang sama di y =
±
b2,penyelesaian diferensial pelat dengan metode levy dapat dinyatakan sebagai :
wx,y = ∑
∾
sin
+ ∑
cosh sinh
sin
∾
2.21
2.3 Persamaan Diferensial Pelat Dalam Sistem Koordinat Cartesius
