Materi penelitian pada materi pokok dimensi tiga antara lain: jarak dalam ruang dimensi tiga, yang terdiri dari:
1 Jarak antara dua buah titik; 2 Jarak titik ke garis;
3 Jarak titik ke bidang; 4 Jarak antara dua garis sejajar;
5 Jarak antara garis dan bidang yang sejajar; 6 Jarak antara dua bidang yang sejajar;
7 Jarak antara dua garis yang bersilangan.
Adapun materi yang akan disampaikan adalah sebagai berikut.
2.1.6.1 Hal Kesejajaran
2.1.6.1.1 Garis-garis yang Sejajar Aksioma: Melalui sebuah titik yang tidak terletak pada sebuah garis hanya dapat
dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis itu. Teorema:
1 Jika garis sejajar dengan garis dan garis sejajar dengan garis m, maka garis sejajar dengan garis .
Gambar 2.1 Garis-garis yang saling sejajar
2 Jika garis sejajar dengan garis dan memotong garis g, garis sejajar garis dan juga memotong garis g, maka garis-garis
, dan g terletak pada sebuah bidang.
3 Jika garis sejajar dengan garis dan garis menembus bidang α, maka garis
juga menembus bidang α.
2.1.6.1.2 Garis Sejajar dengan Bidang Sebuah garis dikatakan sejajar bidang jika garis tersebut sejajar dengan salah satu
garis pada bidang tersebut.
Teorema:
1 Jika garis sejajar dengan garis , terletak pada bidang U maka
∥ U. Gambar 2.2 Garis sejajar garis dan pada bidang
T
Gambar 2.3 Garis sejajar menembus pada bidang
Gambar 2.4 Garis sejajar dengan bidang
2 Dipunyai dua bidang U, V dan satu garis . Jika ∥ U dan ∥ V maka
∥ U, V , dimana U, V adalah garis potong bidang U dan V.
2.1.6.1.3 Bidang Sejajar Bidang
Teorema:
1 Dipunyai dua buah bidang U dan V, garis , , dan .
Jika berpotongan dengan di U, berpotongan dengan di V, ∥ dan ∥
maka U
∥ V.
2 Dipunyai bidang U, V, dan W. Jika U
∥ V, W memotong U dan V maka W, U ∥ W, V.
Gambar 2.5 Garis sejajar dengan garis potong dua bidang
a b
p q
U
V
Gambar 2.6 Dua bidang yang saling sejajar
W, V W, U
Gambar 2.7 Garis potong dua bidang yang saling sejajar
2.1.6.2 Hal Ketegaklurusan
Definisi:
Jika garis tegak lurus dengan bidang U maka tegak lurus dengan semua garis pada bidang U.
a
r
2
r
5
V r
1
r
3
r
4
Teorema:
1 Misal m garis dan U bidang. Garis
dikatakan tegsk lurus bidang U apabila ⊥ , ⊥ dengan , di
U, berpotongan dengan di U.
m
p q
U
2 Akibat dari teorema 1 Untuk membuktikan dua buah garis yang saling tegak lurus cukup dibuktikan
bahwa garis pertama tegak lurus dengan bidang yang memuat garis kedua. Misalkan dan suatu garis. Akan dibuktikan bahwa
⊥ . Cara 1:
1. Tentukan bidang yang memuat , misal bidang U. 2. Buktikan
⊥ U. Gambar 2.8 Garis tegak lurus semua garis pada bidang
Gambar 2.9 Garis tegak lurus bidang
3. Akibatnya, tegak lurus dengan semua garis pada bidang U, termasuk .
a b
U
Cara 2: 1. Tentukan bidang yang memuat , misal bidang W.
2. Buktikan ⊥ W.
3. Akibatnya, tegak lurus dengan semua garis pada bidang W, termasuk .
a b
W
3 Misalkan sebuah garis, U sebuah bidang. Jika
⊥ U, maka semua bidang yang melalui akan tegak lurus U.
U p
U
1
U
2
U
3
Gambar 2.10 Semua bidang yang melalui garis akan tegak lurus bidang U
2.1.6.3 Proyeksi pada Bangun Ruang
