67
BAB I I Persamaan dan Pertidaksamaan
Jawab:
Dari persamaan diperoleh a = 1, b = 2, dan c = -3. a. x
1
+ x
2
= 2
1 2
a b
− −
−
= =
c.
2 1
2 2
1 2
2 2
1
x x
2 x
x x
x
− +
= +
= -2
2
– 2-3 = 10 b.
2 1
x x
⋅
= 3
1 3
a c
− −
= =
d.
2 2
1 2
2 1
x x
x x
+
= x
x x
x
2 1
2 1
+
= -3-2 = 6
Contoh 24
Salah satu akar x
2
+ 3 x + k = 0 adalah dua kali akar yang lain. Hitunglah nilai k.
Jawab:
Dari persamaan diperoleh a = 1, b = 3, dan c = k. Jika akar-akar tersebut x
1
dan x
2
, maka x
1
= 2 x
2
salah satu akarnya dua kali akar yang lain. Dengan rumus, maka jumlah akar-akarnya adalah
x
1
+ x
2
= 3
1 3
a b
− −
−
= =
2x
2
+ x
2
= -3 3x
2
= -3 x
2
= -1 sehingga x
1
= 2 x
2
= 1
2
− ⋅
= -2 Dengan rumus, hasil kali akar-akarnya adalah
2 1
x x
⋅
= k
1 k
a c
= =
-2.-1 = k k = 2
Contoh 25
Hitunglah nilai k agar persamaan 2x
2
+ k x + k = 0 mempunyai akar-akar berikut. a. Berkebalikan
b. Berlawanan
Jawab:
a. Dari persamaan a = 2, b = k, dan c = k. Misalkan akar-akarnya adalah x
1
dan x
2
, maka akar-akar berkebalikan
2 1
x 1
x
=
atau x
1
x
2
= 1 x
1
x
2
= 1
2 k
a c
= =
1 2
k
= ⇔
k = 2 b. Akar-akar berlawanan x
1
= - x
2
x
1
+ x
2
= a
b
−
-x
2
+ x
2
= a
b
−
= 2
k
−
= 2
k
−
⇔
k = 0
D. Rangkuman Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
1. Persamaan kuadrat adalah persamaan di mana pangkat tertinggi dari variabel peubah adalah dua. Bentuk umumnya adalah
ax
2
+ bx + c = 0
, a
≠
0 dengan a, b, c
∈
R
Di unduh dari : Bukupaket.com
68
Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
2. Cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu sebagai berikut.
a. Faktorisasi dengan menggunakan sifat, jika q
p
×
= 0 maka p = 0 atau q = 0 b. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna dengan cara sebagai berikut.
Pastikan koefisien dari x
2
adalah 1, bila tidak bagilah dengan bilangan sedemikian sehingga koefisiennya adalah 1.
Tambahkan ruas kiri dan kanan dengan setengah koefisien dari x kemudian kuadratkan.
Buatlah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat, sedangkan ruas kanan kita manipulasi sehingga menjadi bentuk yang lebih sederhana.
c. Rumus Kuadrat, yaitu
2a 4ac
b b
x
2 1.2
− ±
− =
3. Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dari variabel peubah adalah dua. Langkah-langkah menentukan HP nya adalah
sebagai berikut.
•
Nyatakan pertidaksamaan dalam bentuk persamaan kuadrat dan cari akarnya.
•
Buatlah garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut dan tentukan tanda positif atau negatif pada masing-masing interval dengan cara menguji tanda
pada masing-masing interval tersebut.
•
HP diperoleh dari interval yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. 4. Diskriminan dari fungsi kuadrat adalah D dengan D = b
2
– 4ac. 5. Beberapa kemungkinan jenis-jenis akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.
a. Jika D 0 tetapi bukan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang berbeda.
b. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang sama atau sering disebut mempunyai akar kembar.
c. Jika D 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar riil akar imajiner.
d. Jika D merupakan kuadrat murni, maka persamaan kuadrat mempunyai akar rasional yang berlainan.
6. Jika x
1
dan x
2
akar-akar persamaan kuadrat, maka berlaku rumus berikut.
a c
x x
dan a
b x
x
2 1
2 1
= ⋅
− =
+
1. Selidikilah sifat-sifat akar persamaan kuadrat berikut ini. a. x
2
– 2x + 1 = 0 d. 2x
2
– 2x = 0 b. x
2
+ 4x + 3 = 0 e. x
2
– 10 = 0 c. x
2
+ x + 1 = 0 f. 3x
2
– 2x + 10 = 0 2. Dengan menggunakan pada soal nomor 1, tentukanlah hasil jumlah dan hasil kali
akar-akarnya.
Di unduh dari : Bukupaket.com
69
BAB I I Persamaan dan Pertidaksamaan
3. Jika x
1
dan x
2
adalah akar-akar persamaan x
2
+ 4x + 3 = 0, tentukanlah a. x
1
+ x
2
d.
1 2
2 2
2 1
x x
x x
+
b. x
1
. x
2
e.
2 1
1 2
x x
x x
+
c.
2 2
2 1
x x
+
f.
2 1
x 1
x 1
+
Untuk persamaan pada soal nomor 4 – 6, tentukanlah a. x
1
+ x
2
d.
1 2
2 2
2 1
x x
x x
+
b. x
1
. x
2
e. x
1
– x
2 2
c.
2 2
2 1
x x
+
f.
2 1
1 2
x x
x x
+
4. x
2
+ 2x + 1 = 0 5. x
2
– x = 0 6. x
2
– 2 = 0
E. Penerapan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
