I nvers Matriks Determinan dan I nvers Matriks

98 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi M 12 = 3 4 1 1 − = 1 3 ⋅ – ⋅ 4 -1 = 7 M 31 = 1 4 5 − = ⋅ 0 -1 – 4 5 ⋅ = -20 M 13 = 2 4 4 1 − = ⋅ 1 -2 – ⋅ 4 4 = -18 M 32 = 1 1 5 2 − − = - ⋅ 2 -1 – 1 5 ⋅ = -3 M 21 = 3 2 5 − = ⋅ 0 3 – -2 5 ⋅ = 10 M 33 = 4 1 2 − = -2 4 ⋅ – 1 0 ⋅ = -8 M 22 = 3 4 5 2 − = -2 3 ⋅ – 4 5 ⋅ = -26 Kofaktor dari minor-minor tersebut adalah C 11 = -1 1+1 M 11 = 1 10 ⋅ = 10 C 23 = -1 2+3 M 23 = -1 ⋅ 4 = -4 C 12 = -1 1+2 M 12 = -1 7 ⋅ = -7 C 31 = -1 3+1 M 31 = 1 ⋅ -20 = -20 C 13 = -1 1+3 M 13 = 1 ⋅ -18 = -18 C 32 = -1 3+2 M 32 = -1 ⋅ -3 = 3 C 21 = -1 2+1 M 21 = -1 10 ⋅ = -10 C 33 = -1 3+3 M 33 = 1 ⋅ -8 = -8 C 22 = -1 2+2 M 22 = 1 ⋅ -26 = -26 Matriks kofaktornya adalah ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 8 3 2 4 26 10 18 7 10 C C C C C C C C C 33 32 31 23 22 21 13 12 11 Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari matriks kofaktor, sehingga ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − = 8 4 8 1 3 26 7 2 1 10 8 3 2 4 26 1 18 7 10 A Adj T

4. I nvers Matriks

Jika A dan B adalah matriks persegi yang berordo sama, sedemikian sehingga hasil kali AB = BA = I , dengan I matriks identitas maka B adalah invers dari A dan sebaliknya, yaitu B = A -1 atau A = B -1 . Contoh 30 Dari ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = 5 3 7 4 P dan ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = 4 3 7 5 Q , tunjukkan bahwa kedua matriks saling invers. Jawab: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − + − − + − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = ⋅ 1 1 20 21 15 15 28 28 21 20 4 3 7 5 5 3 7 4 Q P dan ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − + − − + − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = ⋅ 1 1 20 21 12 12 35 35 21 20 5 3 7 4 4 3 7 5 P Q Karena PQ = QP = I , maka P = Q –1 dan Q = P –1 . Jika A adalah matriks persegi, maka invers dari matriks A adalah: A adj A det 1 A 1 = − Di unduh dari : Bukupaket.com 99 BAB I I I Matriks Contoh 31 Tentukan invers dari ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = d c b a A Jawab: Determinan A detA adalah det A = bc ad d c b a − = Minor dari A adalah M 11 = | d | = d M 21 = | b | = b M 12 = | c | = c M 22 = | a | = a Kofaktor dari A adalah C 11 = -1 1+ 1 M 11 = d C 21 = -1 2+ 1 M 21 = -b C 12 = -1 1+ 2 M 12 = -c C 22 = -1 2+ 2 M 22 = a Matriks kofaktor ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − a b c d sedangkan matriks adjoin adj A = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − − − a c b d a b c d T I nvers matriks A adalah ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = = − a c b d bc ad 1 A adj A det 1 A 1 Contoh 32 Dengan menggunakan hasil terakhir pada contoh 31 di atas, tentukan invers dari: a. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = 4 2 7 4 A b. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 3 2 4 1 4 1 5 2 A Jawab: a. DetA = -4 4 ⋅ – -2 7 ⋅ = -16 + 14 = -2 sehingga: ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − − = = − 2 1 2 1 3 2 4 2 7 4 2 1 A Adjoin . A det 1 1 A b. DetA = -2 3 4 ⋅ ⋅ + 4 1 ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ 1 5 -2 – 5 4 4 ⋅ ⋅ + -2 ⋅ -1 ⋅ -2 + 1 3 ⋅ ⋅ = -24 – 0 – 10 – 80 – 4 + 0 = -34 – 76 = -110 A Adjoin A det 1 1 A ⋅ = − dari Contoh 29 diperoleh Adj A 110 1 1 A − = − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − 8 4 8 1 3 26 7 2 1 10 Di unduh dari : Bukupaket.com 100 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi Catatan • Matriks yang mempunyai invers adalah matriks yang nilai determinannya ≠ 0, matriks seperti ini disebut matriks nonsingular , sedangkan matriks yang harga determinannya = 0 disebut matriks singular . • I nvers suatu matriks jika ada dan tunggal, maka berlaku sifat ƒ A –1 –1 = A ƒ A x B –1 = B –1 x A –1 Contoh 33 Manakah yang termasuk matriks singular dan matriks nonsingular a. A = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 6 3 4 2 b. B = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 5 4 2 10 Jawab: a. det A = ⋅ 2 6 – ⋅ 3 4 = 12 – 12 = 0, karena determinannya 0 maka disebut matriks singular b. det B = ⋅ 4 -5 – -2 ⋅ -10 = -20 – 20 = -40, karena determinannya tidak 0 maka disebut matriks nonsingular Contoh 34 Diketahui matriks A = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 7 3 5 2 dan B = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 16 5 3 1 , tentukan matriks dari: a. AB –1 b. B –1 A ⋅ –1 Jawab: a. AB = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 7 3 5 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 16 5 3 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + 112 9 35 3 80 6 25 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 121 38 86 27 AB –1 = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − − 27 38 86 121 27 38 86 121 86 x 38 121 x 27 1 b. A –1 = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − − 2 3 5 7 2 3 5 7 5 x 3 7 x 2 1 B –1 = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − − 1 5 3 16 1 5 3 16 5 x 3 16 x 1 1 B –1 .A –1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − 1 5 3 16 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − 2 3 5 7 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + + − − 2 25 3 35 6 80 9 112 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − 27 38 86 121 Ternyata, dari jawaban a dan b pada contoh soal di atas, diperoleh kesimpulan A x B –1 = B –1 x A –1 Di unduh dari : Bukupaket.com 101 BAB I I I Matriks 1. Hitunglah determinan matriks berikut. a. 2 3 2 1 − c. 2 4 3 − e. 6 7 1 5 − b. 6 2 9 3 − − d. 5 , 2 5 2 4 − − f. 3 1 4 − 2. Tentukan determinan dari matriks ordo 3 di bawah ini. a. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 1 3 4 1 2 1 1 c. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 2 4 5 1 2 1 e. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 1 1 5 1 1 2 2 b. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 1 2 2 6 1 4 2 2 d. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 4 3 2 1 4 2 2 1 2 f. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 2 4 4 2 1 3 2 1 3. Tentukan nilai x dari persamaan di bawah ini. a. 4 x 2 3 = c. x 7 4 5 3 x 2 = − − e. x 3 4 1 x 2 4 2 x 1 − = + − − b. 5 1 1 2 2 x x 2 = − d. 2 x 1 1 1 2 x x 2 + = f. 5 x 2 5 4 1 1 2 2 x 1 x + = − − 4. Tunjukkan bahwa matriks-matriks di bawah ini saling invers. a. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 3 2 5 3 dan 3 2 5 3 c. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 4 1 3 1 dan 1 1 3 4 b. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 3 4 7 9 dan 9 4 7 3 d. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − − − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 6 5 5 4 dan 4 5 5 6 5. Carilah minor, matriks kofaktor, adjoin, dan invers dari matriks-matriks di bawah ini. a. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 2 4 3 b. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 6 4 3 1 c. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 6 7 4 5 6. Carilah minor, kofaktor, adjoin, dan invers dari matriks-matriks pada soal nomor 2. 7. Diketahui ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = 1 1 2 1 Q dan 2 1 3 2 P , tentukan a. P –1 e. ⋅ P Q –1 b. Q –1 f. ⋅ Q P –1 c. P –1 Q –1 g. Apakah ⋅ P Q –1 = Q –1 P –1 d. Q –1 P –1 h. Apakah ⋅ Q P –1 = P –1 Q –1 Di unduh dari : Bukupaket.com 102 Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi 8. Manakah yang termasuk matriks singular dan nonsingular a. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 5 3 3 2 c. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 6 2 3 3 b. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − 2 1 2 1 d. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − x cos 5 , 2 x sin 2 2

5. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier