98
Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
M
12
=
3 4
1 1
−
= 1 3
⋅
–
⋅
4 -1 = 7 M
31
=
1 4
5
−
=
⋅
0 -1 – 4 5
⋅
= -20 M
13
=
2 4
4 1
−
=
⋅
1 -2 –
⋅
4 4 = -18 M
32
=
1 1
5 2
− −
= -
⋅
2 -1 – 1 5
⋅
= -3 M
21
=
3 2
5
−
=
⋅
0 3 – -2 5
⋅
= 10 M
33
=
4 1
2
−
= -2 4
⋅
– 1 0
⋅
= -8 M
22
=
3 4
5 2
−
= -2 3
⋅
– 4 5
⋅
= -26 Kofaktor dari minor-minor tersebut adalah
C
11
= -1
1+1
M
11
= 1 10
⋅
= 10 C
23
= -1
2+3
M
23
= -1
⋅
4 = -4 C
12
= -1
1+2
M
12
= -1 7
⋅
= -7 C
31
= -1
3+1
M
31
= 1
⋅
-20 = -20 C
13
= -1
1+3
M
13
= 1
⋅
-18 = -18 C
32
= -1
3+2
M
32
= -1
⋅
-3 = 3 C
21
= -1
2+1
M
21
= -1 10
⋅
= -10 C
33
= -1
3+3
M
33
= 1
⋅
-8 = -8 C
22
= -1
2+2
M
22
= 1
⋅
-26 = -26 Matriks kofaktornya adalah
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− −
− −
− =
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
8 3
2 4
26 10
18 7
10 C
C C
C C
C C
C C
33 32
31 23
22 21
13 12
11
Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari matriks kofaktor, sehingga
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− −
− −
− =
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− −
− −
− =
8 4
8 1
3 26
7 2
1 10
8 3
2 4
26 1
18 7
10 A
Adj
T
4. I nvers Matriks
Jika A dan B adalah matriks persegi yang berordo sama, sedemikian sehingga hasil kali AB = BA = I , dengan I matriks identitas maka B adalah invers dari A dan
sebaliknya, yaitu B = A
-1
atau A = B
-1
.
Contoh 30
Dari
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
=
5 3
7 4
P dan
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
=
4 3
7 5
Q , tunjukkan bahwa kedua matriks saling invers.
Jawab: ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− +
− −
+ −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
− ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
− =
⋅
1 1
20 21
15 15
28 28
21 20
4 3
7 5
5 3
7 4
Q P
dan
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
+ −
− +
− =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⋅
1 1
20 21
12 12
35 35
21 20
5 3
7 4
4 3
7 5
P Q
Karena PQ = QP = I , maka P = Q
–1
dan Q = P
–1
. Jika A adalah matriks persegi, maka invers dari matriks A adalah:
A adj
A det
1 A
1
=
−
Di unduh dari : Bukupaket.com
99
BAB I I I Matriks
Contoh 31
Tentukan invers dari
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
=
d c
b a
A
Jawab:
Determinan A detA adalah det A = bc
ad d
c b
a
− =
Minor dari A adalah M
11
= | d | = d M
21
= | b | = b M
12
= | c | = c M
22
= | a | = a Kofaktor dari A adalah
C
11
= -1
1+ 1
M
11
= d C
21
= -1
2+ 1
M
21
= -b C
12
= -1
1+ 2
M
12
= -c C
22
= -1
2+ 2
M
22
= a Matriks kofaktor
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
a b
c d
sedangkan matriks adjoin adj A =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛
− −
− −
a c
b d
a b
c d
T
I nvers matriks A adalah
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− −
− =
=
−
a c
b d
bc ad
1 A
adj A
det 1
A
1
Contoh 32
Dengan menggunakan hasil terakhir pada contoh 31 di atas, tentukan invers dari: a.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
=
4 2
7 4
A b.
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− =
3 2
4 1
4 1
5 2
A
Jawab:
a. DetA = -4 4
⋅
– -2 7
⋅
= -16 + 14 = -2 sehingga:
⎟⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
− −
= =
−
2 1
2 1
3 2
4 2
7 4
2 1
A Adjoin
. A
det 1
1
A
b. DetA = -2 3
4
⋅ ⋅
+ 4
1
⋅ −
⋅
+
⋅ ⋅
1 5
-2 – 5
4 4
⋅ ⋅
+ -2
⋅
-1
⋅
-2 + 1
3
⋅ ⋅
= -24 – 0 – 10 – 80 – 4 + 0 = -34 – 76 = -110 A
Adjoin A
det 1
1
A ⋅
=
−
dari
Contoh 29
diperoleh Adj A
110 1
1
A −
=
−
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− −
− −
−
8 4
8 1
3 26
7 2
1 10
Di unduh dari : Bukupaket.com
100
Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Catatan
•
Matriks yang mempunyai invers adalah matriks yang nilai determinannya
≠
0, matriks seperti ini disebut
matriks nonsingular
, sedangkan matriks yang harga determinannya = 0 disebut
matriks singular . •
I nvers suatu matriks jika ada dan tunggal, maka berlaku sifat
A
–1 –1
= A
A x B
–1
= B
–1
x A
–1
Contoh 33
Manakah yang termasuk matriks singular dan matriks nonsingular a. A =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
6 3
4 2
b. B =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
−
− −
5 4
2 10
Jawab:
a. det A =
⋅
2 6 –
⋅
3 4 = 12 – 12 = 0, karena determinannya 0 maka disebut matriks singular
b. det B =
⋅
4 -5 – -2
⋅
-10 = -20 – 20 = -40, karena determinannya tidak 0 maka disebut matriks nonsingular
Contoh 34
Diketahui matriks A =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
7 3
5 2
dan B =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
16 5
3 1
, tentukan matriks dari: a. AB
–1
b. B
–1
A
⋅
–1
Jawab:
a. AB =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
7 3
5 2
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
16 5
3 1
=
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ +
+ +
112 9
35 3
80 6
25 2
=
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
121 38
86 27
AB
–1
=
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
− −
27 38
86 121
27 38
86 121
86 x
38 121
x 27
1
b. A
–1
=
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
− −
2 3
5 7
2 3
5 7
5 x
3 7
x 2
1 B
–1
=
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
− −
1 5
3 16
1 5
3 16
5 x
3 16
x 1
1 B
–1
.A
–1
=
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− −
1 5
3 16
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− −
2 3
5 7
=
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− −
+ +
− −
2 25
3 35
6 80
9 112
=
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− −
27 38
86 121
Ternyata, dari jawaban a dan b pada contoh soal di atas, diperoleh kesimpulan A x B
–1
= B
–1
x A
–1
Di unduh dari : Bukupaket.com
101
BAB I I I Matriks
1. Hitunglah determinan matriks berikut.
a. 2
3 2
1
−
c. 2
4 3
−
e. 6
7 1
5
−
b. 6
2 9
3
− −
d. 5
, 2
5 2
4
− −
f. 3
1 4
−
2. Tentukan determinan dari matriks ordo 3 di bawah ini. a.
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
−
1 3
4 1
2 1
1 c.
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
−
2 4
5 1
2 1
e.
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
1 1
5 1
1 2
2
b.
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
−
1 2
2 6
1 4
2 2
d.
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
−
4 3
2 1
4 2
2 1
2 f.
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
−
2 4
4 2
1 3
2 1
3. Tentukan nilai x dari persamaan di bawah ini. a.
4 x
2 3
=
c. x
7 4
5 3
x 2
= −
−
e. x
3 4
1 x
2 4
2 x
1
− =
+ −
−
b. 5
1 1
2 2
x x
2
= −
d. 2
x 1
1 1
2 x
x
2
+ =
f. 5
x 2
5 4
1 1
2 2
x 1
x
+ =
− −
4. Tunjukkan bahwa matriks-matriks di bawah ini saling invers. a.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
3 2
5 3
dan 3
2 5
3 c.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
4 1
3 1
dan 1
1 3
4 b.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
3 4
7 9
dan 9
4 7
3 d.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
− −
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
6 5
5 4
dan 4
5 5
6 5. Carilah minor, matriks kofaktor, adjoin, dan invers dari matriks-matriks di bawah ini.
a.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
−
2 4
3 b.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
6 4
3 1
c.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
6 7
4 5
6. Carilah minor, kofaktor, adjoin, dan invers dari matriks-matriks pada soal nomor 2.
7. Diketahui
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
=
1 1
2 1
Q dan
2 1
3 2
P , tentukan
a. P
–1
e.
⋅
P Q
–1
b. Q
–1
f.
⋅
Q P
–1
c. P
–1
Q
–1
g. Apakah
⋅
P Q
–1
= Q
–1
P
–1
d. Q
–1
P
–1
h. Apakah
⋅
Q P
–1
= P
–1
Q
–1
Di unduh dari : Bukupaket.com
102
Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
8. Manakah yang termasuk matriks singular dan nonsingular a.
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
−
5 3
3 2
c.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
6 2
3 3
b.
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− −
2 1
2 1
d.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
−
x cos
5 ,
2 x
sin
2 2
5. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier