105
BAB I I I Matriks
Dari persamaan P =
⋅
B A
–1
, diperoleh banyaknya kolom matriks B tidak sama dengan banyaknya baris matriks A
–1
. Dengan demikian
⋅
B A
–1
tidak dapat diselesaikan. Oleh karena itu, tidak ada matriks P dari persamaan matriks di atas.
Contoh 39
Harga 3 baju dan 2 kaos adalah Rp280.000,00. Sedangkan harga 1 baju dan 3 kaos yang sama adalah Rp210.000,00. Tentukan harga 6 baju dan 5 kaos.
Jawab:
Persoalan di atas diterjemahkan dalam bentuk model matematika dengan memisalkan harga tiap baju x dan harga tiap kaos y, sehingga diperoleh sistem persamaan sebagai
berikut. 3x + 2y = 280.000
x + 3y = 210.000
Sistem persamaan
⎩ ⎨
⎧ =
+ =
+
000 .
210 y
3 x
000 .
280 y
2 x
3 jika dibuat dalam bentuk matriks menjadi
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛
000 .
210 000
. 280
y x
3 1
2 3
perkalian matriks tersebut berbentuk
⋅
A X = C dengan
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
=
000 .
210 000
. 280
C dan
y x
X 3
1 2
3 A
3 1
2 3
7 1
3 1
2 3
2 1
3 3
1 A
1
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
− ⋅
− ⋅
=
−
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
+ −
+ =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛
000 .
50 000
. 60
000 .
350 000
. 420
7 1
000 .
210 x
3 000
. 280
x 1
210.000 x
-2 280.000
x 3
7 1
210.000 280.000
3 1
2 3
7 1
y x
Harga 6 baju dan 5 kaos = 000
. 50
x 5
000 .
60 x
6 000
. 50
000 .
60 5
6
+ =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
= 550.000 Jadi, harga 6 baju dan 5 kaos adalah Rp550.000,00.
F. Rangkuman Determinan dan I nvers Matriks
1. Jika
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
=
d c
b a
A maka detA =
bc ad
d c
b a
− =
2. Jika
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
=
33 32
31 23
22 21
13 12
11
a a
a a
a a
a a
a A
, maka
Di unduh dari : Bukupaket.com
106
Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
– – –
32 31
22 21
12 11
33 32
31 23
22 21
13 12
11
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a A
det
=
+ + + = a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
– a
31
a
22
a
13
– a
32
a
23
a
11
– a
33
a
21
a
12
3.
Jika A adalah sebuah matriks persegi, maka minor dinyatakan oleh M
ij
dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang tinggal setelah baris ke-i dan
kolom ke-j dicoret dari A. Sedangkan C
ij
= -1
i+ j
M
ij
dinamakan kofaktor. Transpose matriks kofaktor A disebut adjoin dari A dan dinyatakan dengan Adj A.
4. Jika A dan B adalah matriks persegi yang berordo sama sedemikian sehingga hasil kali A
A B
B
⋅ =
⋅
= I , dengan I matriks identitas maka B adalah invers dari A dan sebaliknya, yaitu B = A
–1
atau A = B
–1
. 5. Jika A adalah matriks persegi, maka invers dari matriks A adalah
A adj
A det
1 A
1
=
−
6. Matriks yang mempunyai invers adalah matriks yang nilai determinannya
≠
0, matriks seperti ini disebut
matriks nonsingular
, sedangkan matriks yang harga determinannya = 0 disebut
matriks singular .
7. Pada invers matriks berlaku
•
A
–1 –1
= A
•
A x B
–1
= B
–1
x A
–1
•
Jika A B
⋅
= I , maka B = A
– 1
•
Jika
⋅
A X = B maka X = A
– 1
B
⋅ •
Jika X A
⋅
= B maka X = B
1
A
−
⋅
8. Jika AX = C adalah sistem persamaan linear yang terdiri atas n persamaan linear dan n variabel yang tidak diketahui sehingga det A
≠
0, maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian yang unik tunggal. Penyelesaian tersebut adalah
A det
A det
x ,.
A det
A det
x ,
A det
A det
x
n n
2 2
1 1
= =
=
dimana A
j
adalah matriks yang didapat dengan cara mengganti entri-entri di dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri di dalam matriks C.
Tentukan himpunan penyelesaian dengan menggunakan invers 1. 3x + 8y = -7
4. y = 8 – 2x x – 4y = 11
5x – 3y = 31
Di unduh dari : Bukupaket.com
107
BAB I I I Matriks
2. x – 2y = -12 5x + 4y = 10
5. y = -3x – 11 y = 0,5x + 3
3. 4x + y = -19 -2x + y = 11
Gunakan kaidah Cramer untuk mendapatkan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.
6. x – 4y = 8
9. x – 3y + z = 10 2x + y = -2
2x – y = 4 4x – 3z = -5
7. 3x + y = 8 2x + 2y = 4 10 . x + y – z = -1
x – y + z = 4 8.
x + 3y = -11 x – y – z = 1 2x – 6y = 14
11. Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut. a.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⋅
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛−
1 7
X 3
4 1
2 d.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
⋅
7 4
2 3
1 1
5 6
X b.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− =
⋅ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
−
1 6
5 4
X 2
3 1
2 e.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⋅
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
5 3
2 4
1 X
2 3
1 2
c. 24
3 2
1 6
X
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
⋅
f.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⋅
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
1 3
1 2
1 X
19 1
37 2
12. Carilah x dan y dari persamaan berikut ini. a.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
+ −
− ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛−
7 25
1 y
2 x
2 5
4 3
b.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ +
− −
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
10 20
2 y
4 x
2 2
1 3
4 13. Seorang pedagang menjual dua jenis komoditas campuran. Komoditas jenis
pertama merupakan campuran dari 10 kg kualitas A dan 30 kg kualitas B, sedangkan komoditas jenis kedua merupakan campuran dari 20 kg kualitas A dan
50 kg kualitas B. Harga komoditas jenis pertama Rp100.000,00 dan jenis kedua Rp170.000,00.
a. Bentuklah matriks dari pernyataan tersebut. b. Selesaikanlah perkalian matriks untuk mendapatkan harga masing-masing
kualitas per kilogram. 14. Lima meja dan delapan kursi berharga 115, sedangkan tiga meja dan lima kursi
berharga 70. Tentukan harga 6 meja dan 10 kursi.
Di unduh dari : Bukupaket.com
108
Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
A. Soal Pilihan Ganda
