87
BAB I I I Matriks
e.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ +
−
8 x
5 4
y 4
1 x
2 f.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− +
+ −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
− +
+
30 3
x y
2 x
3 30
5 y
2 y
z 6
3 x
2 6. Tentukanlah nilai x, y, z, a, dan b dari persamaan matriks di bawah ini.
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
3 z
2 2
8 6
x 5
1 y
4
= ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
−
3 b
2 8
2 z
2 a
3 5
x y
2
7. Jika A = B
T
dimana
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
=
1 1
1 1
1 A
dan
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
− +
=
1 w
2 y
3 z
y x
1 y
x B
Tentukanlah w, x, y, dan z.
C. Operasi pada Matriks
Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat
¾
menyelesaikan penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dengan matriks dan perkalian matriks dengan matriks;
¾
menyelesaikan kesamaan matriks menggunakan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks.
1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau digunakan operasi pengurangan bila ordo baris x kolom kedua matriks tersebut sama. Hasil jumlah atau selisih didapat
dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut.
Contoh 16
Diketahui:
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
− =
1 6
1 2
4 5
A ,
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
− =
3 4
6 5
5 2
B dan
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
=
8 2
1 C
A + B =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
+ −
+ +
− −
+ −
+ −
+
4 10
5 7
9 3
3 1
4 6
6 1
5 2
5 4
2 5
A – B =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
− =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
− −
− −
− −
− −
−
4 2
7 3
1 7
3 1
4 6
6 1
5 2
5 4
2 5
A + C tidak dapat dijumlahkan, karena ordo kedua matriks tersebut tidak sama. Untuk setiap matriks A, B dan C yang berordo sama, berlaku sifat-sifat operasi
penjumlahan dan pengurangan matriks sebagai berikut: a. A + B + C = A + B + C sifat asosiatif,
b. A + B = B + A sifat komutatif, c.
AB + C = AB + AC sifat distributif,
Di unduh dari : Bukupaket.com
88
Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
d. AB – C = AB – AC, e. A + 0 = 0 + A = A,
f. terdapat matriks X sedemikian sehingga A + X = B.
2. Perkalian Matriks a. Perkalian Matriks dengan Skalar k
Misalkan k sebuah skalar dan A sebuah matriks, maka kA adalah sebuah matriks yang didapat dengan cara mengalikan setiap elemen entri matriks A dengan skalar k.
Contoh 17
Diketahui
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
=
6 4
2 A
maka 4A =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
⋅ ⋅
⋅ −
⋅
24 16
8 6
4 4
4 4
2 4
-2A =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− ⋅
− ⋅
− ⋅
− −
⋅ −
12 8
4 6
2 2
4 2
2 2
4A + 3A =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
− +
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
− +
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
42 28
14 18
12 6
24 16
8 6
4 2
3 6
4 2
4
Contoh 18
Tentukan a, b, dan c jika diketahui
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− =
1 3
2 P
,
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
=
4 b
2 c
a Q
, dan
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
=
8 3
1 2
R sehingga berlaku P – 2Q = R.
Jawab:
P – 2Q = R
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
−
1 3
2 – 2
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
4 b
2 c
a =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
8 3
1 2
-2
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
4 b
2 c
a =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
8 3
1 2
–
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
−
1 3
2 =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
8 2
4
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
4 b
2 c
a =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
−
8 2
4 2
1 =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
−
4 1
2 dari persamaan matriks tersebut didapat
a = 0 b = 1
c – 2 = 2
⇔
c = 4
Contoh 19
Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut ini. a. 4X –
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
6 2
2 1
=
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
2 2
14 7
b
. ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛
1 5
2 +
2 1 X = 2
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
4 1
3
Di unduh dari : Bukupaket.com
89
BAB I I I Matriks
Jawab:
a. 4X –
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
6 2
2 1
=
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
2 2
14 7
4X =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
2 2
14 7
+
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
6 2
2 1
4X =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
−
8 12
8 X =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
−
2 3
2 8
12 8
4 1
b.
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
1 5
2 +
2 1 X = 2
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
4 1
3
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
1 5
2 +
2 1 X =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
8 2
6
2 1 X =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
8 2
6
– ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛
1 5
2
2 1 X =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
−
7 5
4
X =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
−
14 10
8
Untuk setiap skalar k
1
dan k
2
, dan untuk setiap matriks A dan B yang berordo sama dan AB terdefinisi, berlaku sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar sebagai berikut:
a. k
1
+ k
2
A = k
1
A + k
2
A b. k
1
– k
2
A = k
1
A – k
2
A c.
k
1
k
2
A = k
1
k
2
A d. k
1
A B = k
1
A B e. k
1
A + B = k
1
A + k
1
B f.
k
1
A – B = k
1
A – k
1
B
b. Perkalian Matriks dengan Matriks
