95
BAB I I I Matriks
E. Determinan dan I nvers Matriks
Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat:
¾
menentukan determinan dan invers matriks ordo 2,
¾
menentukan minor, kofaktor dan adjoin matriks,
¾
menentukan determinan dan invers matriks ordo 3, dan
¾
menyelesaikan sistem persamaan linier dengan menggunakan matriks.
1. Determinan Matriks Ordo Dua
Misal
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
=
d c
b a
A , maka determinan A detA adalah detA =
bc ad
d c
b a
− =
Contoh 24
Tentukan determinan matriks-matriks berikut.
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
=
3 4
2 5
P dan
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
=
4 6
2 3
Q
Jawab:
7 2
4 3
5 3
4 2
5 |
P |
= −
⋅ −
− ⋅
= −
− =
dan 12
12 2
6 4
3 4
6 2
3 |
Q |
= +
− =
⋅ −
− ⋅
− =
− −
=
Contoh 25
Jika 3
x 2
1 5
2 x
3
− =
−
, tentukanlah harga x yang memenuhi persamaan tersebut.
Jawab:
3 x
2 1
5 2
x 3
− =
−
3x – -10 = 2x – 3 3x + 10 = 2x – 3
3x – 2x = -3 – 10 x = -13
2. Determinan Matriks Ordo Tiga
Misalkan matriks persegi dengan ordo tiga diberikan di bawah ini
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
=
33 32
31 23
22 21
13 12
11
a a
a a
a a
a a
a A
, determinan dari matriks A adalah
detA = | A | =
33 32
31 23
22 21
13 12
11
a a
a a
a a
a a
a
Di unduh dari : Bukupaket.com
96
Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
Banyak cara yang dapat digunakan untuk menghitung determinan matriks dengan ordo 3 x 3, tetapi yang paling banyak digunakan adalah dengan menggunakan aturan
Sarrus
. Dengan langkah-langkah sebagai berikut.
Letakkan kolom pertama dan kedua di sebelah kanan garis vertikal dari determinan.
Jumlahkan hasil kali unsur-unsur yang terletak pada diagonal utama dengan hasil kali unsur-unsur yang sejajar diagonal utama pada arah kanan, kemudian
dikurangi dengan hasil kali unsur-unsur yang terletak sejajar dengan diagonal samping.
Perhatikan skema untuk menghitung dengan menggunakan sarrus di bawah ini. – – –
32 31
22 21
12 11
33 32
31 23
22 21
13 12
11
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a A
det
=
+ + + = a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
– a
31
a
22
a
13
– a
32
a
23
a
11
– a
33
a
21
a
12
=
a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
– a
31
a
22
a
13
+ a
32
a
23
a
11
+ a
33
a
21
a
12
Contoh 26
Tentukan determinan dari matriks
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− =
4 1
4 5
3 2
1 M
Jawab:
| M | = 4
1 5
2 1
4 1
4 5
3 2
1
− −
− −
= 2
1 4
4 3
5 1
4 3
1 4
2 5
1
⋅ ⋅
+ −
⋅ −
⋅ +
− ⋅
⋅ −
⋅ ⋅
− +
⋅ −
⋅ +
⋅ ⋅
−
= 0 – 8 + 0 – -15 + 16 + 0 = -8 – 1
= -9
Contoh 27
Determinan matriks
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− =
5 2
x 3
4 2
1 3
1 1
x Q
adalah 5, tentukan nilai x
Jawab:
| Q | = x – 1 5
2
⋅ ⋅
+
⋅ −
⋅
4 1
3x + 2
1 3
⋅ −
⋅
– 3
2 x
3
⋅ ⋅
–
⋅ −
⋅
4 2
x – 1 – 1
1 5
⋅ −
⋅
= x – 110 – 12x – 6 – 18x + 8x – 1 + 5 = 10x – 10 – 12x – 6 – 18x + 8x – 8 + 5
= -12x – 19 | Q | = 5
-12x – 19 = 5 -12x = 5 + 19
-12x = 24
⇔
x = -2
Di unduh dari : Bukupaket.com
97
BAB I I I Matriks
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
− =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
2 1
5 4
C C
C C
22 21
12 11
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
− =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
− =
2 5
1 4
2 1
5 4
A Adj
T
3. Minor , Kofaktor, dan Adjoin
Kategori