69
BAB I I Persamaan dan Pertidaksamaan
3. Jika x
1
dan x
2
adalah akar-akar persamaan x
2
+ 4x + 3 = 0, tentukanlah a. x
1
+ x
2
d.
1 2
2 2
2 1
x x
x x
+
b. x
1
. x
2
e.
2 1
1 2
x x
x x
+
c.
2 2
2 1
x x
+
f.
2 1
x 1
x 1
+
Untuk persamaan pada soal nomor 4 – 6, tentukanlah a. x
1
+ x
2
d.
1 2
2 2
2 1
x x
x x
+
b. x
1
. x
2
e. x
1
– x
2 2
c.
2 2
2 1
x x
+
f.
2 1
1 2
x x
x x
+
4. x
2
+ 2x + 1 = 0 5. x
2
– x = 0 6. x
2
– 2 = 0
E. Penerapan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat
¾
menyusun persamaan kuadrat berdasarkan akar-akar yang diketahui,
¾
menyusun persamaan kuadrat berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat lain,
¾
menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.
1. Menyusun Persamaan Kuadrat
Jika x
1
dan x
2
akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya adalah sebagai berikut
Rumus perkalian faktor atau Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar x – x
1
x – x
2
= 0 x
2
– x
1
+ x
2
x +
2 1
x x
⋅
= 0
Contoh 26
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut. a. -2 dan 5
c. 3
2 dan -2
b. 1 – 2 dan 1 +
2 d. -
5 1
dan 2
3
Jawab:
a. Menggunakan rumus perkalian faktor Misalkan x
1
= -2 dan x
2
= 5 x – -2x – 5 = 0
x + 2x – 5 = 0 x
2
– 5x + 2x – 10 = 0 x
2
– 3x – 10 = 0 Menggunakan rumus jumlah dan hasil
kali akar Misalkan x
1
= -2 dan x
2
= 5 x
1
+ x
2
= -2 + 5 dan
2 1
x x
⋅
= 5 2
⋅ −
= 3 = -10 x
2
– x
1
+ x
2
x + x
1
. x
2
= 0 x
2
– 3x + -10 = 0 x
2
– 3x – 10 = 0
Di unduh dari : Bukupaket.com
70
Matematika X SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi
b. x
1
= 1 – 2 dan x
2
= 1 + 2 gunakan rumus jumlah dan hasil kali x
1
+ x
2
= 1 – 2 + 1 + 2 = 2
2 1
x x
⋅
= 1 – 2 1 + 2 = -1
x
2
– x
1
+ x
2
x +
2 1
x x
⋅
= 0 x
2
– 2x + -1 = 0, sehingga x
2
– 2 x –1 = 0 c. x
1
= 3
2 dan x
2
= -2 x
1
+ x
2
= 3
2 + -2 =
3 6
2
−
= - 3
4
2 1
x x
⋅
= 2
3 2
−
⋅
= - 3
4 x
2
– x
1
+ x
2
x + x
1
. x
2
= 0 x
2
– 3
4
−
x + 3
4
−
= 0, sehingga 3x
2
+ 4 x – 4 = 0 d. x
1
= - 5
1 dan x
2
= 2
3 x
1
+ x
2
= - 5
1 +
2 3
= 10
15 2
+ −
= 10
13
2 1
x x
⋅
= - 5
1 .
2 3
= 10
3
−
x
2
– x
1
+ x
2
x + x
1
. x
2
= 0 x
2
– 10
13 x +
10 3
−
= 0, sehingga 10x
2
– 13 x – 3 = 0
2. Menyusun Persamaan Kuadrat Berdasarkan Akar- akar Persamaan Kuadrat Lain
Untuk menentukan persamaan kuadrat berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat lain, perhatikan contoh-cotoh soal di bawah ini.
Contoh 27
Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali akar-akar persamaan kuadrat x
2
– 2x – 10 = 0.
Jawab:
Misalkan akar-akar persamaan x
2
– 2x – 10 = 0 adalah x
1
dan x
2
, Dari persamaan diperoleh a = 1, b = -2 dan c = -10, sehingga
2 1
2 a
b x
x
2 1
= −
= −
= +
− dan
10 1
10 a
c x
x
2 1
− =
− =
= ⋅
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru yang akan dicari adalah
α
dan
β
yang akarnya dua kali akar-akar persamaan yang diketahui atau
α
= 2x
1
dan
β
= 2x
2
.
α
+
β
= 2x
1
+ 2x
2
dan
β ⋅
α
= 2
2 1
x 2
x
⋅
= 4
2 1
x x
⋅
= 2x
1
+ x
2
= 2
2
⋅
= 4 = 4-10 = -40
Di unduh dari : Bukupaket.com
71
BAB I I Persamaan dan Pertidaksamaan
Persamaan kuadrat baru yang mempunyai akar-akar
α
dan
β
adalah x
2
–
α
+
β
x +
β ⋅
α
= 0 x
2
– 4x + -40 = 0 x
2
– 4x – 40 = 0
Contoh 28
Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya
1
x + 2 dan
2
x + 2 dari persamaan kuadrat x
2
= 3x – 6 yang mempunyai akar-akar x
1
dan x
2
.
Jawab:
x
2
= 3x – 6 x
2
– 3x + 6 = 0 diperoleh a = 1, b= -3 dan c = 6 x
1
+ x
2
= - a
b = 3
2 1
x x
⋅
= a
c = 6
misal akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah
α
dan
β
,
α
=
1
x + 2 dan
β
=
2
x + 2, maka
α
+
β
=
1
x + 2 +
2
x + 2
β ⋅
α
=
1
x + 2 .
2
x + 2 =
1
x +
2
x + 4 =
2 1
x x
⋅
+ 2
1
x + 2
2
x + 4 = 3
+ 4 =
2 1
x x
⋅
+ 2
1
x +
2
x + 4 = 7 = 6
+ 3
2
⋅
+ 4 = 16
x
2
–
α
+
β
x +
β ⋅
α
= 0 x
2
– 7x + 16 = 0
3. Aplikasi Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Contoh 29
