Momentum Sudut
4.4. Momentum Sudut
Sebagaimana telah kita lihat, bilangan kuantum utama n yang terkait dengan tingkat energi utama, muncul pada aplikasi persamaan Schrödinger pada bagian yang merupakan fungsi r. Pada benda yang bergerak, selain energi kita juga mengenal momentum; keduanya adalah besaran-besaran gerak. Jika energi terkuantisasi, seharusnya momentum juga terkuantisasi. Hal ini akan kita lihat.
Dalam persamaan Schrödinger, momentum sudut terkait dengan bagian fungsi gelombang yang tidak tergantung r yang berarti tidak tergantung
dari potensial V (r ) . Besar dan arah momentum sudut terkait dengan fungsi gelombang yang merupakan fungsi sudut ϕ , θ .
Gb.4.5. Vektor Momentum Sudut
Dalam mekanika klasik, vektor momentum sudut elektron yang beredar mengelilingi inti atom dapat kita tuliskan sebagai (Lihat Gb.4.5).
Dalam mekanika kuantum, kita memiliki operator momentum sudut,
yaitu L = − j h r × ∇ . Operator ini dapat kita tuliskan sebagai
z (4.21) ∂ / ∂ x ∂ / ∂ y ∂ / ∂ z
Komponen-komponen dari operator momentum ini adalah
h ∂ ∂ L x = − j y
x − y (4.22) ∂ y
Dari hubungan-hubungan dalam koordinat bola x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ
kita dapat memperoleh ∂ x
− sin θ sin ϕ = − y ; = r sin θ cos ϕ = x ; = 0 ∂ ϕ
sehingga
∂ x ∂ y dan operator L z pada (4.22) dapat dituliskan
Pernyataan (4.23) ini bersifat umum. Sumbu z bisa dipilih pada arah manapun dari posisi inti atom yang berada di titik asal. Oleh karena itu dapat dikatakan bahwa operator momentum sudut pada arah manapun,
∂ adalah − j h dengan ϕ adalah sudut yang diukur sekeliling arah ∂ ϕ
54 Sudaryatno S & Ning Utari S, Mengenal Sifat Material 54 Sudaryatno S & Ning Utari S, Mengenal Sifat Material
Dalam relasi (4.24), untuk suatu Φ ( ϕ ) tertentu terdapat L z yang merupakan nilai konstan;
Φ ( ϕ ) yang memberikan nilai L z konstan tersebut disebut fungsi proper dan L z adalah nilai proper-nya. Dari (4.24) kita dapatkan persamaan
Φ ( ϕ ) = jm l Φ ( ϕ )
dengan z l = h . Pada persamaan (4.25) turunan suatu fungsi sama dengan suatu nilai konstan kali fungsi itu sendiri; solusi dari (4.25) dapat
kita duga berbentuk fungsi eksponensial
Φ jm ( ϕ ) = Ae l ϕ
Karena sifat periodiknya maka jm e l ϕ
= jm e l ( ϕ + 2 π ) dan haruslah
e j 2 π m l = 1 . Hal ini berarti bahwa m l harus bernilai bulat positif ataupun negatif, termasuk nol. Jadi
(4.27) Nilai A pada (4.26) dapat kita peroleh melalui normalisasi; probabilitas
m l = 0 , ± 1 , ± 2 ..... dst
ditemukannya elektron pada kisaran sudut antara 0 sampai 2 π adalah
satu. Jadi * ∫ Φ Φ d ϕ = 1 , sehingga
2 π + jm l ϕ
( Ae )( Ae ) 0 d ϕ = A ∫ d 0 ϕ = 2A π = 1
− jm l ϕ
Jika A bernilai nyata maka A = 1 / 2 π . Dengan demikian maka fungsi proper (yang dinormalisir) dari L z pada (4.24) adalah
1 jm l ϕ
e dengan m l = 0 , ± 1 , ± 2 ..... dst (4.28)
Relasi ini menunjukkan bahwa komponen z dari momentum sudut adalah terkuantisasi, dan hal ini bersifat umum. Tanpa mengetahui komponen yang lain, kita dapat mengatakan bahwa arah momentum sudut terkuantisasi karena sudut yang dibentuk oleh vektor momentum L dengan sumbu z tidaklah sembarang melainkan ditentukan oleh bilangan bulat m l . Bagaimanakah dengan besar momentum?
Kita tidak menelusuri lebih lanjut persamaan yang terkait dengan momentum ini akan tetapi hanya akan melihat hasil yang telah diperoleh dalam analisis teoritis maupun eksperimental. Hasilnya adalah bahwa besar momentum sudut juga terkuantisasi.
L 2 = 2 l () l + 1h (4.30)
dengan l = 0 1 , 2, , 3, .... bilangan bulat positif Dengan demikian maka momentum sudut ditentukan oleh dua macam
bilangan bulat, yaitu l yang menentukan besar momentum sudut, dan m l yang menentukan komponen z momentum sudut yang bermakna arah momentum sudut. Nilai m l tidak akan melebihi nilai l sebab jika hal itu terjadi L z akan lebih besar dari L, suatu hal yang tak dapat diterima. Nilai l dan m l yang mungkin adalah sebagai berikut:
l = 1 ⇒ m l = 0 ± , 1 ; (4.31)
l = 2 ⇒ m l = 0 ± , 1 ± , 2 ; dst.
Bilangan bulat l dan m l adalah bilangan-bilangan kuantum untuk momentum; l (yang menentukan besar momentum) disebut bilangan kuantum momentum sudut, atau bilangan kuantum azimuthal; m l (yang menentukan arah momentum sudut) disebut bilangan kuantum magnetik. Bilangan kuantum l dinyatakan dengan simbol huruf untuk menghindarkan kerancuan dengan bilangan kuantum utama. Simbol huruf yang digunakan adalah seperti terlihat pada Tabel-4.1.
56 Sudaryatno S & Ning Utari S, Mengenal Sifat Material
Tabel-4.1. Simbol Huruf Untuk Status Momentum Sudut bilangan kuantum l
0 1 2 3 4 5 simbol
d f g h Dalam mekanika klasik momen sudut dibawah pengaruh gaya sentral
mempunyai nilai dan arah konstan. Akan tetapi dalam mekanika kuantum tidaklah mungkin untuk mengetahui secara eksak lebih dari satu komponen momentum sudut. Oleh karena itu jika L z diketahui, L x dan L y
hanya dapat diketahui dalam ketidakpastian ∆ L x dan ∆ L y sesuai dengan relasi
Relasi (4.32) ini mirip dengan relasi ketidakpastian posisi-momentum dan energi-waktu. Dengan demikian maka mengenai momentum sudut kita
hanya dapat mengetahui
besarnya, L
, dan komponen-z-nya, z L z . Oleh karena itu jika
kita menggambarkam
momentum sudut ini kita dapat y menggambarkan
besar L dengan arah yang hanya ditentukan oleh
sudut yang dibentuk oleh Gb.4.6. Momentum Sudut vektor L dengan sumbu z,
seperti terlihat pada Gb.4.6.