Pendekatan Statistik

9.2. Pendekatan Statistik

Pada temperatur di atas 0 K, elektron-elektron mendapat tambahan energi sehingga sejumlah elektron yang semula berada di bawah namun dekat dengan energi Fermi naik ke atas dan meninggalkan beberapa tingkat energi kosong yang semula ditempatinya. Perhitungan distribusi elektron pada temperatur di atas 0 K dilakukan dengan pendekatan statistik.

Pada 0 K, semua tingkat energi sampai dengan tingkat energi Fermi terisi penuh sedangkan tingkat energi di atas energi Fermi kosong. Suatu fungsi f(E,T), yang berlaku untuk seluruh nilai energi dan temperatur baik di bawah maupun di atas 0 K, dapat didefinisikan sedemikian rupa

sehingga memberikan nilai 1 dan untuk E < E F , dan memberikan nilai 0 untuk E > E F . Artinya pada T = 0 K tingkat energi di bawah E F pasti terisi sedangkan tingkat energi di atas E F pasti kosong. Energi E dalam fungsi tersebut terkait dengan energi elektron dalam sumur potensial dan oleh karena itu prinsip ketidak-pastian Heisenberg serta prinsip eksklusi Pauli harus diperhitungkan. Pembatasan-pembatasan pada sifat elektron seperti ini tidak terdapat pada pendekatan klasik, yang memandang partikel-partikel dapat diidentifikasi, posisi dan energi partikel dapat ditentukan dengan pasti, dan tidak ada pembatasan mengenai jumlah partikel yang boleh berada pada tingkat energi tertentu.

Statistik kuantum yang diaplikasikan untuk metal adalah statistik Fermi- Dirac. Walau demikian, berikut ini kita akan melihat statistik klasik lebih dulu sebagai introduksi, baru kemudian melihat statistik kuantum; statistik klasik tersebut dikenal sebagai statistik Maxwel-Boltzmann. Statistik kuantum yang lain yaitu statistik Bose-Einstein belum akan kita tinjau. Hal ini kita lakukan karena dalam pembahasan metal akan digunakan statistik Fermi-Dirac.

Distribusi Maxwell-Boltzmann . Dalam statistik ini setiap tingkat energi dianggap dapat ditempati oleh partikel mana saja dan setiap tingkat energi memiliki probabilitas yang sama untuk ditempati. Mencari probabilitas penempatan partikel adalah mencari jumlah cara bagaimana partikel tersebut ditempatkan. Jika N adalah jumlah keseluruhan partikel yang terlibat dalam sistem ini, maka cara penempatan partikel adalah sebagai berikut: untuk menempatkan partikel pertama ada N cara (karena ada N partikel yang terlibat); untuk menempatkan partikel yang kedua ada (N – 1) cara (karena sesudah penempatan partikel pertama tinggal terdapat (N – 1)

146 Sudaryatno S & Ning Utari S, Mengenal Sifat Material 146 Sudaryatno S & Ning Utari S, Mengenal Sifat Material

N ( N − 1 )( N − 2 )( N − 3 )......( N − n

1 ) atau ( N − n 1 )!

Setelah n 1 partikel menempati tingkat energi E 1 urutan penempatan n 1 partikel ini tidak ada artinya lagi; sebagai misal, urutan tiga partikel abc, acb, bca, bac, cab, cba, memberikan keadaan yang sama dalam menempati tingkat E 1. Jadi jumlah cara penempatan n 1 partikel di tingkat E 1 yang telah diperoleh harus dibagi dengan n 1 ! N !

menjadi . Jumlah cara ini diperoleh dengan asumsi n 1 ! ( N − n 1 )!

bahwa setiap tingkat energi memiliki probabilitas yang sama untuk ditempati. Jika kita ambil asumsi bahwa tingkat energi E 1 memiliki probabilitas intriksik g 1 untuk ditempati, maka jumlah cara untuk menempatkan n 1 partikel di tingkat energi E 1 menjadi

n 1 ! ( N − n 1 )!

Jika tingkat energi ke dua, E 2 , ditempati oleh n 2 partikel sedangkan probabilitas intrinsiknya adalah g 2 maka jumlah cara untuk menempatkan n 2 partikel di tingkat E 2 ini adalah n 2 g n

g 3 3 ( N − n 1 − n 2 )! P 2 =

2 ( N − n 1 )!

dan juga P 3 =

n 3 ! ( N − n 1 − n 2 − n 3 )! dan seterusnya sampai seluruh N menempati posisinya. Probabilitas

n 2 ! ( N − n 1 − n 2 )!

untuk terjadinya distribusi yang demikian ini, yaitu n 1 partikel menempati E 1 ,n 2 partikel menempati E 2 ,n 3 partikel menempati E 3 , n 4 partikel menempati E 4 dan seterusnya, adalah

N n 1 n ! n g g 2 g 3 .....

2 P 3 ..... =

(9.12) n 1 ! n 2 ! n 3 !.....

Sekarang diambil asumsi bahwa partikel-partikel adalah identik dan tidak dapat dibedakan , artinya pertukaran tempat partikel antar tingkat energi bisa saja terjadi tanpa mengubah distribusi yang sudah ada. Dengan asumsi ini maka (9.12) harus dibagi dengan N! sehingga diperoleh

(9.13) n 1 ! n 2 ! n 3 !.....

Persamaan (9.13) inilah probabilitas distribusi dalam statistik Maxwell-Boltzmann. Keadaan keseimbangan, yang terkait dengan distribusi yang paling mungkin terjadi, dapat kita peroleh dengan mencari nilai maksimum dari P pada (9.13). Pencarian maksimum P tidak langsung dilakukan dengan membuat dP = 0 melainkan membuat dlnP = 0 karena

d ln P = ( 1 / P ) dP sehingga jika dP = 0 maka juga dlnP = 0.

n ! n ! n !..... ∑

1 g 2 g ln 3 P ln 3 .....

n i ln g i − ∑ ln n i !

i Jika n i cukup besar, maka formula Stirling dapat digunakan untuk mencari pendekatan nilai lnn i ! yaitu ln n i ! ≈ n i ln n i − n i sehingga

ln P = ∑ n i ln g i − ∑ ( n i ln n i − n i )

i = ∑ n i ln g i − ∑ ( n i ln n i ) + ∑ n i

(9.14) i

= N − ∑ n i ln( n i / g i )

dan

d (ln P ) = dN − ∑ ( dn i ) ln( n i / g i ) − ∑ dn i

Jika jumlah partikel N tidak berubah sehingga dN = 0, dapat

dianggap pula ∑ dn i = 0 sehingga dari (9.15) diperoleh

− d (ln P ) = ∑ ( ln( n i / g i ) ) dn i = 0 (9.16)

Jika perubahan dn i sembarang, persamaan (9.16) bisa terpenuhi jika ln(n i /g i ) = 0 yang berarti n i =g i . Akan tetapi perubahan dn i tidaklah sepenuhnya sembarang; sebab jika kita pertimbangkan energi total E yang juga dapat kita anggap konstan, maka dn i tidak bisa sembarang. Jika E kita anggap konstan maka ada suatu nilai rata-rata E r yang konstan yaitu

148 Sudaryatno S & Ning Utari S, Mengenal Sifat Material

E r = atau N =

∑ i E i E sehingga

1 dN =

∑ E i dn i

E i adalah tingkat energi yang ditempati oleh n i . Dengan (9.17) ini maka (9.15) menjadi

d (ln P ) =

∑ E i dn i − ∑ ( dn i ) ln( n i / g i ) − ∑ dn i E (9.18)

ri

Lagrange memasukkan parameter α dan β sedemikian rupa sehingga

dan

∑ E i dn i = β E i

E r i Untuk kondisi d (ln P ) = 0 , dari (9.18) dan (9.19) didapatkan

∑ ( ln( n i / g i ) + α + β E i ) dn i = 0 (9.20)

Keseimbangan distribusi tercapai bila apa yang berada dalam tanda kurung (9.20) sama dengan nol yaitu

ln( n i / g i ) = − α − β E i sehingga n

ln( n i / g i ) + α + β E i = 0 atau

i = g i e (9.21)

Karena N = ∑ n i maka

(9.22) = e − α Z

− β dengan E Z = i ∑ g

i Z disebut fungsi partisi. Dengan (9.22) ini kita dapat menyatakan

e − α = N / Z sehingga (9.21) dapat kita tuliskan

Inilah formulasi distribusi Maxwell-Boltzmann. Parameter β terkait dengan energi rata-rata electron β ~ 1/E r . Dari teori kinetik gas

diambil E r = k B T dengan k B adalah konstanta Boltzmann; maka dimasukkan β = 1 / k B T sehingga (9.23) menjadi

g i e (9.24)

Distribusi Fermi-Dirac . Dalam tinjauan ini partkel dianggap identik dan tak dapat dibedakan satu terhadap lainnya; partikel-partikel ini juga

mengikuti prinsip eksklusi Pauli sehingga tidak lebih dari dua partikel berada pada status yang sama. Partikel dengan sifat demikian ini biasa disebut fermion (Enrico Fermi 1901-1954).

Untuk gerak partikel dibawah pengaruh gaya sentral (tinjauan pada aplikasi persamaan Schrödinger pada struktur atom di Bab-4), energi tidak tergantung dari orientasi momentum sudut di orbital sehingga terjadi degenerasi sebesar 2l + 1 dan ini merupakan probabilitas intrinksik dari tingkat energi yang bersangkutan. Jika partikel memiliki spin maka total degenerasi adalah 2(2l + 1). Prinsip eksklusi tidak memperkenankan lebih dari dua partikel berada pada satu status energi dengan bilangan kuantum yang sama, maka jumlah probabilitas intrinksik merupakan jumlah maksimum partikel (fermion) yang boleh berada pada tingkat energi tersebut. Pengertian mengenai probabilitas intrinsik yang kita kenal dalam pembahasan statisik klasik Maxwell- Boltzmann berubah menjadi status kuantum dalam pembahasan statistik kuantum ini. Jika g i adalah jumlah status dalam suatu tingkat energi E i , dan n i adalah jumlah partikel pada tingkat energi tersebut, maka haruslah

n i ≤ g i . Cara penempatan partikel adalah sebagai berikut. Partikel pertama dapat

menempati salah satu diantara g i ; partikel kedua dapat menempati salah satu dari (g i − 1); partikel ketiga dapat menempati salah satu dari (g i − 2) dan seterusnya. Jumlah cara untuk menempatkan n 1 partikel di tingkat

E 1 , adalah . Karena partikel tidak dapat dibedakan satu sama ( g 1 − n 1 )!

lain, maka jumlah cara untuk menempatkan n 1 partikel di tingkat E 1 menjadi

150 Sudaryatno S & Ning Utari S, Mengenal Sifat Material

; dst. sampai P i . n 2 ! ( g 2 − n 2 )!

n 3 ! ( g 3 − n 3 )! Jumlah keseluruhan cara untuk menempatkan partikel adalah

3 i ... = ∏

i n i ! ( g i − n i )!

Seperti halnya pada distribusi Maxwell-Boltzmann, kita cari maksimum P

melalui lnP. Dengan menggunakan pendekatan Stirling ln x ! = x ln x − x kita peroleh

ln P = ∑ g i ln g i − n i ln n i − ( g i − n i ) ln( g i − n i ) (9.27)

− d (ln P ) = ∑ [ ln n i − ln( g i − n i ) ] dn i = 0

Dengan mengintroduksi parameter α dan β seperti pada distribusi Maxwell-Boltzmann, diperoleh

e − α − β ln E ln( i i − i − i ) + α + β atau =

nn

g i − n i Dari sini diperoleh distribusi Fermi Dirac

Parameter β berperan sama seperti pada distribusi Maxwell-Boltzmann, β =1/k B T . Parameter α berkaitan dengan E F melalui hubungan E F = αk B T

sehingga (9.28) menjadi

Jika kita perhatikan persamaan (9.29), kita lihat

e ( E i − E F ) / lim k B T = 0 untuk ( E i − E F ) < 0 T → 0

= ∞ untuk ( E i − E F ) > 0 151

Oleh karena itu persamaan (9.29) ini menunjukkan bahwa jika T = 0 maka n i = g i yang berarti semua tingkat energi sampai E F terisi penuh dan di atas E F tidak terisi (n i = 0). E F inilah tingkat Fermi.

Jika kita gambarkan kurva n i /g i terhadap E kita peroleh bentuk kurva seperti pada Gb.9.1.a. sedangkan Gb.9.1.b. memperlihatkan pengisian tingkat energi pada temperatur diatas 0 K. Bila dibandingkan dengan pengisian pada 0 K, terlihat bahwa pada temperatur > 0 K perubahan pengisian hanya terjadi di sekitar tingkat Fermi.

n i /g i T =0

1 T> 0 T> >0

tingkat energi yang terisi pada T > 0 K

0 E F E (a)

(b) Gb.9.1. n i /g i pada tiga temperatur berbeda menurut statistik Fermi-Dirac

dan pengisian tingkat-tingkat energi pada T > 0 K.