Energi Fermi (Tingkat Fermi) dan Temperatur Fermi

Energi Fermi (Tingkat Fermi) dan Temperatur Fermi - Teori Pita Energi

===

8.2. Energi Fermi (Tingkat Fermi) dan Temperatur Fermi

Pengisian elektron pada tingkat-tingkat energi dalam atom dimulai dari tingkat energi paling rendah. Hal yang sama berlaku pada pengisian elektron pada tingkat-tingkat energi dalam padatan. Pada temperatur 0 K, elektron akan menempati tingkat-terbawah sampai tingkat-teratas sesuai dengan jumlah elektron yang ada. Tingkat energi di atas tingkat-teratas tersebut akan kosong karena seluruh elektron telah tertampung. Tingkat energi teratas yang ditempati elektron pada 0 K ini disebut tingkat Fermi atau energi Fermi.

Kita ingat dalam pembahasan persamaan Schrödinger untuk sumur potensial tiga dimensi L x × L y × L z , energi elektron dinyatakan oleh

persamaan (3.31) yang kita tulis kembali sebagai (8.1)

Jika energi dinyatakan dalam momentum, maka akan didapatkan

Dari (8.1) dan (8.2) kita peroleh

z h  x + y + z = 

 2L  z  atau dapat dituliskan secara singkat

 2L x 

  2L y 

dengan i = x , y , z . Tanda ± pada (8.4) secara fisik terkait dengan arah momentum yang bisa positif maupun negatif. Dalam persamaan ini p i

adalah komponen-komponen momentum sedangkan L i adalah sisi sumur 131 adalah komponen-komponen momentum sedangkan L i adalah sisi sumur 131

dengan δ = h/2L yang bisa dijadikan sebagai momentum satuan. Persamaan (8.5) ini memperlihatkan kuantisasi momentum dalam ruang momentum p x -p y -p z ,

dengan satuan ruang momentum δ 3 = (h/2L) 3 , seperti digambarkan pada Gb.8.10.

p dp

(a) (b) Gb.8.10. Ruang momentum, untuk p x ,p y ,p z positif.

Kita tinjau seperdelapan ruang kulit bola dimana p i bernilai positif (p x ,p y , p z bernilai positif) seperti pada Gb.8.10.a. Setiap posisi titik [n x δ ,n y δ ,n z δ ] menunjukkan satu vektor momentum p; titik ini menempati ruang sebesar δ 3 = (h/2L) 3 . Jika kerapatan status momentum adalah N p maka dalam volume seperdelapan ruang kulit bola berjari-jari p dan tebal dp (yang ditunjukkan secara dua dimensi oleh Gb.8.10.b) terdapat jumlah status momentum sebesar volume ini dibagi dengan volume satuan ruang momentum. Jadi

π 2 p ( 2 4 / 8 ) dp 4 π p dp 4 π Vp 2 dp N p dp =

h / 8 L 3 h 3 / L 3 h 3 dengan V = L 3 adalah volume satu sumur potensial kubus.

Momentum dapat dikonversikan menjadi energi dengan relasi p 2

E 1 mE / = 2 ⇒ p = ( 2 ) dan

2 m (8.7)

⇒ dp = m ( 2 mE ) − 1 / 2 dE

Dengan relasi (8,7) ini maka (8,6) menjadi

132 Sudaryatno S & Ning Utari S, Mengenal Sifat Material

4 N dE π = V ( 2 mE ) m ( 2 mE ) − 1 / 2 2 π dE V 2 1 / E 2 3 = ( 2 m ) 2 m ) 3 − ( E 1 / 2 dE

h h (8.8)

= 3 ( 2 m ) 3 / 2 E 1 / 2 dE = dN

h N E adalah kerapatan status energi, dN adalah jumlah status dalam volume

kulit bola dengan ketebalan dE. Dalam relasi (8.8) ini massa elektron m adalah massa efektif yang biasa dituliskan sebagai m * . Tentang massa

efektif ini akan kita bahas lebih lanjut. Dari (8.8) kita dapatkan kerapatan status energi

E 1 2 (8.9)

Kerapatan status energi berbanding lurus dengan akar E. Kurva N E sebagai fungsi E terlihat pada Gb.8.11.a.

tingkat energi yang terisi pada 0 o K

(a) (b)

Gb.8.11. Kerapatan Status Energi.

Makin besar E kerapatan status energi makin besar. Namun tidak semua status akan terisi. Karena cara pengisian status mengikuti urutan sederhana yaitu mulai dari tingkat terendah, maka jumlah status yang terisi tergantung dari energi tertinggi yang dimiliki elektron. Oleh karena itu timbullah pertanyaan tentang bagaimana elektron terdistribusi dalam status energi yang kerapatan statusnya dinyatakan oleh (8.9) tersebut di atas.

Pengisian Status Pada o 0 K. Pada pembahasan mengenai ikatan atom telah disebutkan bahwa ikatan antar atom terjadi karena peran elektron

valensi. Tingkat-tingkat energi yang tersedia dalam padatan, dengan kerapatan N E akan terisi oleh elektron-elektron valensi tersebut. Pengisian elektron pada tingkat-tingkat energi yang tersedia tetap

Energi Fermi. Tingkat energi tertinggi yang terisi pada temperatur 0 K disebut tingkat Fermi atau energi Fermi. Jadi pada temperatur 0 K, tingkat-tingkat energi yang tersedia terisi penuh sampai ke tingkat energi Fermi; dan tingkat-tingkat energi di atas energi Fermi tidak terisi (kosong). Keadaan ini digambarkan pada Gb.8.11.b.

Untuk menghitung jumlah tingkat energi yang tersisi (pada 0 o K) dapat digunakan model bola seperti yang digunakan pada penghitungan kerapatan tingkat energi untuk memperoleh relasi (8.7), sebagaimana digambarkan pada Gb.8.10. Perbedaannya adalah bahwa vektor momentum untuk perhitungan ini berawal dari titik asal dan berujung pada tingkat energi paling luar yang ditempati elektron. Satuan momentum diperoleh dari relasi de Broglie, yaitu

dimana λ adalah panjang gelombang. Kita ingat dalam pembahasan mengenai aplikasi persamaan Schrödinger

di Bab-3 bahwa energi berbanding terbalik dengan kuadrat lebar sumur potensial, L. Karena energi berbanding lurus dengan kuadrat momentum, maka momentum berbanding terbalik dengan L. Dengan demikian maka

satuan ruang momentum dapat dinyatakan sebagai δ ==== h / λ . Dengan menggunakan model bola, dapat dihitung jumlah status yang terisi, N, yaitu volume bola berjari-jari p dibagi dengan δ 3 kemudian dikalikan dengan dua

Faktor 2 pada (8.10) diperlukan untuk memperhitungkan adanya dua elektron dengan spin berlawanan dalam setiap status energi. Jika momentum pada (8.10) dikonversi menjadi energi dengan menggunakan relasi (8.7) akan diperoleh

134 Sudaryatno S & Ning Utari S, Mengenal Sifat Material

3 3 (8.11) h

Catatan: Relasi (8.11) ini dapat juga diperoleh melalui integrasi (8.8). Jika E pada (8.11) diganti dengan tingkat energi tertinggi yang terisi

yaitu energi Fermi E F , maka akan diperoleh

dan dari sini diperoleh

 1  2  3 N E  F = h =  (8.12)

8 m  π V  Inilah relasi untuk menghitung energi Fermi. Dalam relasi ini N adalah

jumlah status yang terisi, dan V adalah volume sumur potensial. Jadi N/V adalah jumlah status yang terisi per sumur potensial.

Estimasi terhadap E F bisa dilakukan bila kita ingat bahwa dalam ikatan metal atom-atom metal tersusun secara rapat. Bila diameter atom metal sekitar 3 Å, dan volume atom metal diambil pula sebagai volume sumur

potensial yaitu sekitar 9 − × 10 24 cm 3 , maka untuk ion metal monovalen akan diperoleh nilai energi Fermi

E F ≈ 4 eV

Hasil perhitungan E F untuk beberapa unsur metal diberikan dalam Tabel-

8.1. Temperatur Fermi. Pengertian temperatur Fermi terkait dengan pengertian klasik tentang elektron dimana energi elektron dinyatakan

dengan E e = k B T e dengan k B = 8 , 6 × 10 − 5 eV/K adalah konstanta Boltzmann dan T e temperatur elektron dalam derajat K. Jika elektron

memiliki energi sebesar E F = 4 eV maka kita dapat menghitung temperatur Fermi

F ≈ 4 / 8 , 6 × 10 ≈ 47000 K Jadi elektron dalam padatan yang berada pada tingkat energi Fermi,

memiliki temperatur sangat tinggi, yaitu sekitar 50.000 o K. Penambahan energi thermal pada suhu kamar sekitar 300 o K hampir tak ada artinya

dibandingkan dengan energi thermal elektron yang berada di sekitar tingkat energi Fermi. Lihat Tabel-8.1.

Tabel-8.1. Energi Fermi dan Temperatur Fermi. [1].

Unsur o E

T F [ K] Cu

F [eV]