Model Mekanika Gelombang

8.3. Model Mekanika Gelombang

Pita-pita energi seperti kita bahas di sub-bab sebelumnya dapat pula kita peroleh dengan menerapkan karakter gelombang dari elektron. Fungsi gelombang dari elektron-bebas dibawah pengaruh medan sentral adalah

ψ j = e k r dengan k adalah vektor bilangan gelombang yang searah dengan rambatan gelombang.

, λ : panjang gelombang (8.13) λ

Hubungan antara energi kinetik elektron sebagai gelombang, E k , dan bilangan gelombang k diberikan oleh persamaan (3.15) yaitu

(8.14) Relasi seperti ini memberikan nilai E k yang berubah secara kontinyu

sebagai fungsi k seperti terlihat pada Gb.8.12.

Gb.8.12. Kurva kontinyu: E = h 2 k k 2 / 2 m

136 Sudaryatno S & Ning Utari S, Mengenal Sifat Material

Kalau elektron berperilaku seperti gelombang, maka ia harus mengikuti hukum pantulan Bragg, yaitu pantulan gelombang cahaya oleh kisi-kisi

n λ = 2d sin θ (8.15) dengan θ adalah sudut antara

θ berkas elektron yang datang

dengan bidang kristal, d adalah

d jarak antara bidang kristal, dan n adalah bilangan bulat. (Gb.8.13).

Gb.8.13. Pantulan Bragg: n λ = 2d sin θ .

Persamaan (8.15) dan (8.13) memberikan

d sin θ

Karena n bilangan bulat maka harus ada nilai-nilai k tertentu yang dapat memenuhi persamaan ini, di mana elektron akan dipantulkan oleh bidang kristal. Hal ini tentulah berlaku tidak hanya untuk berkas elektron yang datang ke bidang kristal tetapi juga elektron-elektron dalam kristal, yaitu elektron valensi. Elektron valensi yang dipantulkan oleh bidang kristal atau electron valensi yang tidak dapat menembus bidang kristal sama artinya dengan elektron yang tidak diperkenankan memasuki celah energi dalam model pita energi yang kita bahas sebelumnya.

Nilai-nilai ± k yang tidak memungkinkan elektron menembus bidang kristal memberikan batas-batas energi yang tidak dapat dimiliki oleh elektron. Persamaan (8.14) menunjukkan bahwa paling tidak ada satu seri nilai k yang akan menjadi batas celah energi. Untuk n = 1 misalnya,

kita dapatkan 1 = yang menuju nilai minimum pada waktu sin θ

d sin θ mendekati 1 dan menuju maksimum pada waktu sin θ mendekati 0. Turunan E terhadap k pada (8.12) memberikan E = 2 h k 2 k k / 2 m dan untuk nilai k menuju ± k 1 kurva E k menuju konstan (mendatar); demikian juga jika k menuju 1 maka kurva E k juga menuju nilai konstan. Hal yang

sama terjadi untuk n = 2, dan 3 dan seterusnya. Oleh karena itu kurva energi kinetik E k sebagai fungsi k pada Gb.8.12. harus dimodifikasi. Modifikasi dilakukan dengan

ditunjukkan pada Gb.8.14; nilai energi

Celah energi di k 1 antara n = 1 dan

n = 2 adalah celah energi. Demikian

juga nilai energi di k Celah energi

2 antara n = 2 dan n =

3, dan seterusnya. − k 2 − k 1 1 +k 2 +k

Gb.8.14. Modifikasi kurva E k dengan adanya celah energi.

Peningkatan energi kinetik di sekitar celah energi makin lambat dengan meningkatnya k dan menjadi nol pada nilai k kritis. Hal ini terkait dengan pantulan yang makin menguat pada waktu k mendekati nilai kritis.

Elektron-bebas yang ditinjau di sini adalah elektron valensi yaitu elektron terluar dari setiap atom; sedangkan tingkat atom individual ini telah berkembang menjadi pita energi. Sementara elektron inti tetap terikat pada inti atom, elektron valensi bergerak sepanjang kristal padatan dan sepanjang perjalanannya akan menemui sumur-sumur potensial seperti pada Gb.8.1. Gejala pantulan yang terjadi pada elektron tentulah disebabkan oleh adanya sumur-sumur potensial periodik tersebut.

Di sekitar ion-ion terdapat sumur potensial yang dalam; hal ini terkait dengan adanya gaya Coulomb oleh ion tersebut. Ukuran sumur potensial, yaitu amplitudo rata-rata dari dinding potensial yang periodik, haruslah terkait dengan lebar celah energi. Jika sumur potensial makin dalam, celah energi makin lebar. Ion-ion multivalen dalam kristal memiliki gaya tarik elektrostatik lebih besar dibanding dengan ion valensi tunggal. Jadi secara umum makin tinggi valensi ion dalam padatan akan semakin lebar celah energinya.

Brillouin Zones. Zona Brillouin adalah representasi tiga dimensi dari nilai k yang diperkenankan. Sebagaimana telah dibahas, nilai kritis bilangan gelombang k tergantung dari sudut antara datangnya elektron dengan bidang kristal, θ . Oleh karena itu dalam kristal tiga dimensi k kritis tergantung dari arah gerakan elektron relatif terhadap kisi kristal,

138 Sudaryatno S & Ning Utari S, Mengenal Sifat Material 138 Sudaryatno S & Ning Utari S, Mengenal Sifat Material

bidang kristal yang berbeda.

celah energi Kita lihat lebih

dulu kasus satu dimensi. Jika

celah energi jarak antar ion

dalam padatan adalah a, maka dari persamaan

− k 2 − k 1 1 +k 2 +k k (8.14) kita dapatkan nilai

zona pertama

kritis bilangan gelombang

zona ke-dua

Gb.8.15. Gambaran satu dimensi Zona Brillouin pertama dan kedua.

Untuk kasus satu dimensi adalah n

kritis = dengan n = ± 1, ± 2, ± 3...... (8.17)

a Daerah antara –k 1 dan +k 1 disebut zona Brillouin pertama; antara +k 1 dan +k 2 serta antara − k 1 dan − k 2 disebut zona Brillouin kedua, dan seterusnya. Gb.8.15 memperlihatkan situasi satu dimensi yang

menggambarkan dua zona yang pertama. Elektron-elektron hanya bisa menempati zona-zona ini. Apabila suatu zona tidak terisi penuh sedangkan zona berikutnya kosong, maka situasi ini ekivalen dengan pita konduksi yang tidak terisi penuh.

Pada kasus dua dimensi kita melihat gambaran nilai-nilai batas k pada sumbu koordinat x-y pada Gb.8.16.a. Karena baik bidang vertikal maupun horizontal dapat memantulkan elektron, maka kita memiliki relasi

2π/a − π − /a +π/a +2π/a −−−− ̟/ a k y

Zona pertama

Zona kedua

a). dua dimensi b) tiga dimensi

Gb.8.16. Gambaran zona Brillouin.

Pada kasus tiga dimensi, zona Brillouin untuk kisi kristal kubus sederhana relasi (8.18) berubah menjadi

x 1 y n 2 + k z n 3 = n 1 + n 2 + n 3 (8.19)

Gb.8.16.b. memperlihatkan gambaran tiga dimensi zona Brillouin pertama pada kisi kristal kubus sederhana. Zona kedua berbentuk piramida dengan dasar yang terletak pada bidang-bidang sisi kubus, seperti posisi gambaran dua dimensi. Untuk kisi-kisi kristal BCC, FCC, dan HCP, dapat dilakukan perhitungan serupa tetapi dengan situasi yang lebih rumit dan tidak dilakukan di sini. Pembaca dapat melihatnya pada buku referensi yang disebutkan di bagian akhir buku ini.

Massa Efektif Elektron. Dengan elektron dipandang sebagai gelombang, kita akan melihat bagaimana massa elektron melalui analisis pengaruh medan listrik. Elektron sebagai gelombang bergerak dengan kecepatan group seperti diberikan oleh persamaan (2.12) yang kita tulis lagi sebagai (8.20)

di mana f adalah frekuensi de Broglie dan k bilangan gelombang. Karena energi elektron adalah E = hf maka (8.20) dapat kita tulis

140 Sudaryatno S & Ning Utari S, Mengenal Sifat Material

Jika electron mendapat percepatan sebesar a, maka percepatan tersebut adalah

 2 π  a E = =  =  dk

dv g 2 π d  dE 

(8.22) dt

h dt  dk  h  dk 2    dt Persamaan (8.22) dapat kita baca bahwa percepatan elektron

termanifestasikan sebagai laju perubahan bilangan gelombang serta perubahan energi seiring adanya perubahan bilangan gelombang. Jika percepatan ini timbul karena medan listrik sebesar E, maka perubahan energi dalam selang dt adalah

E E E 2 π dE dE = e dx = e v g dt = e dt

h dk

2 π yang memberikan

dk

= e E (8.23)

h Percepatan yang dialami elektron (8.22) menjadi

dt

h 2  dk 2 

Dalam (8.24) eE adalah gaya yang bekerja pada elektron dan jika relasi (8.24) ini kita bandingkan dengan relasi klasik yang sudah kita kenal

yaitu F = ma , maka kita dapatkan

atau

dk 2

dk 2    m * adalah massa efektif elektron. Massa efektif ini merupakan turunan

kedua energi terhadap bilangan gelombang. Kita kembali pada kurva energi terhadap bilangan gelombang, zona Brillouin Gb.8.15. yang kita gambar lagi seperti pada Gb.8.18.

Celah energi

massa efektif “kecil” Celah energi massa efektif negatif

− k 2 − k 1 +k 1 +k 2 k zona pertama

zona kedua

Gb.8.18. Kurva energi terhadap bilangan gelombang. Pada Gb.8.18. terlihat daerah (selang) energi di mana dE/dk cenderung

menurun yang berarti 2 d E / dk 2 negatif; inilah daerah energi di mana elektron mempunyai massa efektif negatif. Daerah ini berada sedikit di

bawah celah energi. Di daerah sedikit di atas celah energi dE/dk cenderung meningkat yang berarti d 2 E / dk 2 positif namun dengan nilai lebih kecil dari bagian kurva yang parabolik; inilah daerah di mana

elektron memiliki massa efektif positif yang ”kecil”. Jadi massa efektif elektron tergantung dari energinya; elektron dengan energi sedikit di bawah celah energi mempunyai massa efektif ”ringan” sedangkan yang memiliki energi sedikit di atas pita energi memiliki massa efektif negatif.

Kita ingat diagram pita energi semikonduktor Gb.8.9. Sejumlah electron yang terstimulasi thermis mampu naik ke pita konduksi dan meninggalkan hole (tempat lowong) di pita valensi. Elektron yang mampu naik ke pita konduksi berada sedikit di atas celah energi. Elentron-elektron ini mempunyai massa efektif positif yang ”kecil”. Sementara itu hole yang tertinggal di pita valensi berada sedikit di bawah celah energi. Mereka adalah elektron dengan massa efektif negatif. ”Hole” dan ”elektron bermassa efektif negatif” adalah dua pernyataan untuk satu pengertian yang sama.

142 Sudaryatno S & Ning Utari S, Mengenal Sifat Material