Aplikasi Persamaan Schrödinger - Tinjauan Satu Dimensi

3.5. Aplikasi Persamaan Schrödinger - Tinjauan Satu Dimensi

3.5.1. Elektron Berada Dalam Sumur Potensial Dalam

Pembahasan masalah ini dilakukan oleh Daniel D. Pollock dalam buku jilid pertamanya.[1]. Di sub-bab ini kita akan mencoba memahaminya melalui pendekatan yang lebih sederhana.

Sumur potensial adalah daerah yang tidak mendapat pengaruh potensial sedangkan daerah sekitarnya mendapat pengaruh potensial. Hal ini berarti bahwa elektron, selama ia berada dalam sumur potensial, merupakan elektron-bebas. Kita katakan bahwa elektron terjebak di sumur potensial, dan kita anggap bahwa dinding potensial sangat tinggi menuju ∞ , atau kita katakan sumur potensial sangat dalam. Gb.3.2.

38 Sudaryatno S & Ning Utari S, Mengenal Sifat Material 38 Sudaryatno S & Ning Utari S, Mengenal Sifat Material

III adalah daerah-daerah dengan V = ∞ , sedangkan di daerah II, yaitu antara 0 dan L, V = 0. Kita katakan bahwa lebar sumur potensial ini adalah L.

I II III

E p = ∞ E p =0

Gb.3.2. Elektron dalam sumur potensial (daerah II). Pada sumur potensial yang dalam, daerah I dan III adalah daerah dimana

kemungkinan keberadaan elektron bisa dianggap nol, ψ 1 ( x ) = 0 dan ψ 3 ( x ) = 0 . Persamaan Schrödinger untuk daerah II adalah, dengan V(x) = 0, menjadi

2 + E ψ ( x ) = 0 2 (3.12) m ∂ x Solusi persamaan Schrödinger satu dimensi ini bisa kita duga berbentuk

( sx ) = Be . Jika kita masukkan solusi dugaan ini ke (3.12) akan kita

h 2 dapatkan

s 2 + E = 0 yang memberikan dua nilai s, :

2 mE mE s = ± j

α , dengan α =

Yang berarti ada dua solusi; jumlah kedua solusi juga merupakan solusi. α tidak lain adalah bilangan gelombang, k, dengan nilai

2 mE

2 h (3.13)

sehingga jumlah dua solusi dapat kita tuliskan sebagai x

− jk x

ψ jk 2 ( ) = B 1 e 2 + B 2 e 2 x (3.14)

Persyaratan kekontinyuan di x = 0 mengharuskan ψ 2 ( 0 ) = B 1 + B 2 = ψ 1 ( 0 ) = 0 → B 1 = − B 2

dan persyaratan kekontinyuan di L mengharuskan

− jk L

jk ψ L ( L ) = B 2

2 1 e + B 2 e 2 = ψ 3 ( 0 ) = 0 , sehingga

ψ 2 ( ) = 2 ( − + ) = 2 jB 

= 2 jB 2 sin( k 2 L ) = 0

atau k 2 = (dengan n L bilangan bulat), sehingga fungsi gelombang di daerah II menjadi

Persamaan (3.15) mengharuskan k 2 L = n π

n π ψ 2 ( ) = 2 2    = 2 jB 2 sin x (3.16)

L Probabilitas keberadaan elektron di daerah II ini adalah sebanding

dengan

) ψ 2 ( x ) = 4 2 sin

x = K sin (3.17)

L Untuk n = 1, fungsi ini bernilai nol di x = 0 dan x = L , dan maksimum di x = L/ 2 . Untuk n = 2, nilai nol terjadi di x = 0, L/2, dan L. Untuk n =

3, nilai nol terjadi di x = 0, L/3, 2L/3, dan L; dan seterusnya, seperti terlihat pada Gb.3.3. Selain di x = 0, jumlah titik simpul gelombang, yaitu titik di mana fungsinya bernilai nol, sama dengan nilai n.

Gb.3.3. Probabilitas keberadaan electron dalam sumur potensial.

40 Sudaryatno S & Ning Utari S, Mengenal Sifat Material

Karena di daerah II V = 0, maka k = 2 2 2 mE / h atau E = h 2 k 2 2 / 2 m . Dengan memasukkan nilai k 2 kita peroleh energi elektron:

Kita lihat di sini bahwa energi elektron mempunyai nilai-nilai tertentu yang diskrit, yang ditentukan oleh bilangan bulat n. Nilai diskrit ini

terjadi karena pembatasan yang harus dialami oleh ψ 2 , yaitu bahwa ia harus berada dalam sumur potensial. Ia harus bernilai nol di batas-batas dinding potensial dan hal itu akan terjadi bila lebar sumur potensial L sama dengan bilangan bulat kali setengah panjang gelombang. Tingkat energi untuk n = 1 kita sebut tingkat energi yang pertama, tingkat energi yang kedua pada n = 2, tingkat energi yang ketiga pada n = 3 dan seterusnya. Jika kita kaitkan dengan bentuk gelombangnya, dapat kita katakan bahwa tingkat-tingkat energi tersebut sesuai dengan jumlah titik simpul gelombang.

Dengan demikian maka diskritisasi energi elektron terjadi secara wajar melalui pemecahan persamaan Schödinger. Hal ini berbeda dari pendekatan Bohr yang harus membuat postulat mengenai momentum sudut yang harus diskrit agar kuantisasi energi terjadi.

Persamaan (3.25) memperlihatkan bahwa selisih energi antara satu tingkat dengan tingkat berikutnya, misalnya antara n = 1 dan n = 2, berbanding terbalik dengan kwadrat lebar sumur potensial. Makin lebar sumur ini, makin kecil selisih energi tersebut, artinya tingkat-tingkat energi semakin rapat. Untuk L sama dengan satu satuan misalnya, selisih

energi untuk n=2 dan n=1 adalah E 2 − E = 3 1 2 h / 8 m dan jika L sepuluh kali lebih lebar maka selisih ini menjadi E 2 − E 1 = 0 , 03 h 2 / 8 m . (lihat Gb.3.4). Jadi makin besar L maka perbedaan nilai tingkat-tingkat energi

akan semakin kecil dan untuk L yang lebar maka tingkat-tingkat energi tersebut akan akan sangat rapat sehingga mendekati kontinyu.

Gb.3.4. Pengaruh lebar sumur pada tingkat energi.

3.5.2. Elektron Di Dalam Sumur Potensial Dangkal

Kita tidak akan membahas hal ini secara rinci akan tetapi dengan pengertian yang kita peroleh pada pembahasan mengenai elektron yang bertemu dengan dinding potensial (sub-bab 3.5.3) kita akan mengerti

kondisi berikut ini. Jika V tidak tinggi akan tetapi tetap masih V > E maka fungsi gelombang di luar sumur berupa fungsi eksponensial yang menurun menuju nol. Hal ini diperlihatkan pada Gb.3.5.

Di x = 0 dan x = L amplitudo gelombang tidak lagi nol dan demikian juga probabilitas keberadaan elektronnya. Selain itu penurunan amplitudo akan makin lambat jika sumur potensial makin dangkal. Hal ini berarti bahwa makin dangkal sumur potensial makin besar kemungkinan kita menemukan elektron di luar sumur, seperti diperlihatkan secara berturut-turut oleh Gb.3.5.a, b, dan c.

Gb.3.5. Pengaruh kedalaman sumur pada probabilitas keberadaan elektron.

42 Sudaryatno S & Ning Utari S, Mengenal Sifat Material

3.5.3. Dinding Potensial Tipis Antara Dua Sumur Potensial

Situasi yang menarik adalah jika sumur potensial mempunyai dinding yang tidak terlalu tebal, misalnya a. Dengan perkataan lain sumur potensial ini berdekatan dengan sumur lain dan di antara keduanya terdapat dinding potensial yang tipis. Situasi seperti ini diperlihatkan oleh

a Gb.3.6. Di luar dinding, probabilitas

ψ ψ keberadaan elektron tidak nol. Dalam

kasus ini kita masih memiliki probabilitas menemukan elektron di

0 L sumur lain tersebut walaupun

Gb.3.6. Sumur potensial energinya lebih rendah dari dinding

berdinding tipis. potensial.

Gejala ini

disebut

penembusan elektron pada dinding potensial (electron tunneling).