15
2.3.4 Metode Penyelesaian Masalah dalam Teori Permainan
Yang dimaksud dengan menyelesaikan permainan adalah usaha mencari strategi optimum dan nilai permainan yang secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut:
=
1
,
2
, … ,
dan =
1
,
1
, … , yang mengoptimumkan nilai harapan
matematis � , =
=1 =1
Dengan syarat
=1
=
=1
= 1 ,
0 ;
Dimana X dan Y adalah strategi-strategi untuk masing-masing pemain �
1
dan �
2
. Metode yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah metode program linier.
Dalam penyelesaian suatu permainan dengan metode program linier ini, kita sering dihadapkan kepada masalah metode simplex dualitas. Untuk suatu permainan
dengan matriks pembayaran yang berukuran besar m x n dan tidak mempunyai titik pelana serta metode dominasi tidak dapat digunakan untuk mereduksi ukuran matriks
pembayaran menjadi lebih kecil, maka program linier menawarkan suatu metode penyelesaian yang efesien.
Tabel 2.2 Nilai Probabilitas Strategi Pemain
Pemain �
2 1
2 3
P emain
�
1 1
2 3
11 21
31
1 12
22 32
2 13
23 33
3 1
2 3
Universitas Sumatera Utara
16
Keterangan: = probabilitas pemain
�
1
memilih strategi ke-i. = probabilitas pemain
�
2
memilih strategi ke-j. = nilai pembayaran yang bersesuaian dengan strategi ke-i pemain
�
1
dan ke-j pemain �
2
. i
= 1, 2, 3, …, m. j
= 1, 2, 3, …, n.
a. Untuk pemain � pemain baris.
Pemain �
1
memilih , 0,
=1
= 1 yang akan menghasilkan
1 =1
,
2
, … ,
=1 =1
Hal ini menunjukkan bahwa strategi campuran optimum pemain �
1
memenuhi
1 =1
,
2
, … ,
=1 =1
Berdasarkan pembatas
=1
= 1 0 ; = 1, 2,
… ,
Persoalan ini dapat disajikan ke bentuk program linier sebagai berikut: Bila
=
1 =1
,
2
, … ,
=1 =1
Universitas Sumatera Utara
17
maka persoalan itu menjadi: Maksimumkan
= Berdasarkan pembatas:
=1
; = 1, 2, … ,
=1
= 1 ; = nilai permainan
Perumusan program linier di atas dapat disederhanakan dengan membagi n+1 pembatas dengan v. Pembagian ini berlaku untuk
0. Jika = 0 maka
pembagian tidak berlaku. Sebaliknya, jika 0 maka pembagian ini juga tidak
berlaku namun dapat diubah menjadi 0 dengan menambahkan suatu konstanta
positif k pada semua elemen dalam matriks pembayaran yang akan menjamin nilai permainan untuk matriks yang dimodifikasi ini lebih besar dari nol. Sebagai pedoman,
diambil harga mutlak dari elemen yang terkecil sehingga sebelum merumuskan
ke bentuk program linier perlu diperiksa nilai maximin barisnya karena bila nilai maximin tersebut negatif maka ada kemungkinan nilai permainannya negatif atau nol.
Dengan demikian matriks pembayarannya perlu dimodifikasi dahulu dan sebagai konsekuensinya adalah bila solusi optimum telah diperoleh maka nilai
permainan yang sebenarnya ditentukan dengan dengan mengurangi sebesar k tadi dari nilai permainan yang dimodifikasi.
Pada umumnya jika nilai maximinnya positif maka nilai permainannya lebih besar dari pada nol terutama permainan yang mempunyai titik pelana. Oleh karena
itu di dalam pembentukan rumusan program linier diasumsikan bahwa 0.
Pembatas-pembatas dalam rumusan program linier di atas menjadi: 1 ; = 1, 2,
… ,
=1
=1
= 1
;
Universitas Sumatera Utara
18
Bila dinotasikan =
; = 1, 2, … , maka
=1
= 1
Karena max
= min
1
maka Persoalan di atas menjadi:
Meminimumkan =
1
Berdasarkan pembatas 1 ; = 1, 2,
… ,
=1
0 ; = 1, 2, … ,
Dari sini kemudian diselesaikan dengan metode simpleks. Penyelesaian bagi pemain
�
2
merupakan dual dari penyelesaian pemain �
1
. Jadi penyelesaian optimum bagi salah satu pemain dapat memberikan penyelesain optimum bagi pemain lainnya
walaupun penyelesaian bagi pemain �
2
merupakan dual dari penyelesaian pemain �
1
. Perhitungan penyelesaian optimum pemain
�
2
dapat dilakukan dengan menggunakan metode simpleks dan penyelesain pemain
�
1
merupakan dualnya. Dan pada kenyataannya bahwa lebih mudah untuk menghitung penyelesaian pemain
�
2
dengan metode simpleks dahulu.
b. Untuk pemain � pemain kolom
Kategori