18
Bila dinotasikan =
; = 1, 2, … , maka
=1
= 1
Karena max
= min
1
maka Persoalan di atas menjadi:
Meminimumkan =
1
Berdasarkan pembatas 1 ; = 1, 2,
… ,
=1
0 ; = 1, 2, … ,
Dari sini kemudian diselesaikan dengan metode simpleks. Penyelesaian bagi pemain
�
2
merupakan dual dari penyelesaian pemain �
1
. Jadi penyelesaian optimum bagi salah satu pemain dapat memberikan penyelesain optimum bagi pemain lainnya
walaupun penyelesaian bagi pemain �
2
merupakan dual dari penyelesaian pemain �
1
. Perhitungan penyelesaian optimum pemain
�
2
dapat dilakukan dengan menggunakan metode simpleks dan penyelesain pemain
�
1
merupakan dualnya. Dan pada kenyataannya bahwa lebih mudah untuk menghitung penyelesaian pemain
�
2
dengan metode simpleks dahulu.
b. Untuk pemain � pemain kolom
Dengan cara yang sama akan diperoleh: memaksimumkan
=
1
+
2
+ +
berdasarkan pembatas-pembatas: 1 ; = 1, 2,
… ,
=1
0 ; = 1, 2, … ,
Universitas Sumatera Utara
19
2.4 Program Linier
Fien Zulfikarijah, 2004. Konsep program linier ditemukan dan diperkenalkan pertama kali oleh George Dantzig yang berupa metode mencari solusi masalah program linier
dengan banyak variabel keputusan. Program linier dapat didefinisikan sebagai pembuatan rencana kegiatan-kegiatan dengan menggunakan suatu model umum dalam
pemecahan masalah pengalokasian sumber daya yang terbatas secara optimal.
Dalam model program linier terdapat asumsi-asumsi yang harus dipenuhi, yaitu:
1. Proportionality kesebandingan, artinya perubahan nilai fungsi tujuan dan penggunaan sumber daya adalah proporsional sebanding dengan perubahan
kegiatan, contoh: =
1 1
, dalam persamaan ini dapat diartikan setiap peningkatan
1
sebesar 1 unit akan meningkatkan Z sebesar
1
. 2. Additivity penambahan, artinya nilai tujuan setiap kegiatan bersifat
independent bebas tidak saling bergantung dan dalam program linier dianggap bahwa kenaikan nilai tujuan Z yang diakibatkan oleh suatu
kegiatan dapat langsung ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai kegiatan lain.
3. Divisibility pembagian, dalam program linier diperbolehkan menggunakan angka pecahan.
4. Certainty kepastian, artinya nilai parameter yang terdapat dalam model program linier diketahui secara pasti.
Model umum program linier dapat dirumuskan ke dalam bentuk matematika sebagai berikut:
=
=1
, = 1, 2,
… , Kendala:
=1
, = 1, 2,
… ,
Universitas Sumatera Utara
20
2.5 Metode Simpleks
Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari titik ekstrim pada daerah fisibel ruang solusi
menuju titik ekstrim yang optimum. Dalam metode simpleks terdapat beberapa definisi penting, yaitu:
a. Solusi Basis, yaitu solusi dimana terdapat sebanyak-banyaknya m variabel berharga bukan nol.
b. Solusi basis fisibel, yaitu solusi variabel pada suatu solusi basis berharga nonnegatif.
c. Solusi fisibel titik ekstrim, yaitu solusi fisibel yang tidak terletak pada suatu segmen garis yang menghubungkan dua solusi fisibel lainnya.
2.5.1 Algoritma Metode Simpleks untuk Persoalan Maksimasi
Untuk menyelesaikan persoalan maksimasi program linier dengan menggunakan metode simpleks, terdapat beberapa langkah, yaitu:
1. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar. 2. Cari solusi basis fisibel BFS.
3. Jika seluruh variabel nonbasis mempunyai koefisien nonnegatif pada baris fungsi tujuan, maka solusi basis fisibel sudah optimal. Jika pada baris fungsi
tujuan masih ada variabel dengan koefisien negatif, pilih salah satu variabel yang mempunyai paling negatif pada baris tersebut. Variabel ini akan
memasuki status variabel basis, karena itu variabel ini disebut sebagai variabel yang masuk basis entering variable, disingkat EV
4. Hitung rasio dari ruas kanan dan koefisien EV pada setiap baris EV yang mempunyai koefisien positif. Variabel basis pada baris pembatas dengan rasio
positif terkecil akan berubah status menjadi variabel nonbasis. Variabel ini kemudian disebut sebagai variabell yang meninggalkan basis leaving
variable disingkat LV. Lakukan operasi baris elementer untuk membuat koefisien EV pada baris dengan rasio positif terkecil ini mmenjadi berharga 1
dan berharga nol pada baris-baris lainnya. Kemudian kembali ke langkah 3.
Universitas Sumatera Utara
21
Contoh: Maksimum
: Z = 2x
1
+ 4x
2
+ 3x
3
Kendala : 3x
1
+ 4x
2
+ 2x
3
≤ 60 2x
1
+ x
2
+ 2x
3
≤ 40 x
1
+ 3x
2
+ 2x
3
≤ 80 x
1,
x
2,
x
3
≥ 0 Penyelesaian
Bentuk standart Maksimum
: Z = 2x
1
+ 4x
2
+ 3x
3
Kendala : 3x
1
+ 4x
2
+ 2x
3
+ x
4
= 60 2x
1
+ x
2
+ 2x
3
+ x
5
= 40 x
1
+ 3x
2
+ 2x
3
+ x
6
= 80 x
1,
x
2,
x
3
≥ 0
Tabel 2.3 Iterasi 0
Variabel Basis
C 2
4 3
B
1 2
3 4
5 6
4
3 4
2 1
60
5
2 1
2 1
40
6
1 3
2 1
80 −
-2 -4
-3
Tabel 2.4 Iterasi 1
Variabel Basis
C 2
4 3
B
1 2
3 4
5 6
2
4 3
4 1
1 2
1 4
15
5
5 4
3 2
− 1
4 1
25
6
− 5
4 1
2 −
3 4
1 35
− 1
-1 1
60
Universitas Sumatera Utara
22
Tabel 2.5 Iterasi 2
Variabel Basis
C 2
4 3
B
1 2
3 4
5 6
2
4 1
3 1
1 3
− 1
3 20
3
3
3 5
6 1
− 1
6 2
3 50
3
6
− 5
3 −
2 3
− 1
3 1
80 3
− 11
6 5
6 2
3 230
3 Karena koefisien dari seluruh variabel pada baris
− 0, maka solusi basis
fisibel sudah optimal, dengan maksimum Z =
230 3
untuk
2
=
20 3
,
3
=
50 3
,
6
=
80 3
,
1
=
4
=
5
= 0.
2.5.2 Algoritma Metode Simpleks untuk Persoalan Minimasi
Sama halnya dengan penyelesaian persoalan maksimasi, untuk persoalan minimasi juga menggunakan langkah-langkah penyelesaian, yaitu:
1. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar. 2. Cari solusi basis fisibel BFS.
3. Jika seluruh variabel nonbasis mempunyai koefisien nol atau negatif pada baris fungsi tujuan, maka solusi basis fisibel sudah optimal. Jika pada baris fungsi
tujuan masih ada variabel dengan koefisien positif, pilih salah satu variabel yang mempunyai paling positif pada baris tersebut. Variabel ini akan
memasuki status variabel basis, karena itu variabel ini disebut sebagai variabel yang masuk basis entering variable, disingkat EV
4. Hitung rasio dari ruas kanan dan koefisien EV pada setiap baris EV. Variabel basis pada baris pembatas dengan rasio terkecil akan berubah status menjadi
variabel nonbasis. Variabel ini kemudian disebut sebagai variabel yang meninggalkan basis leaving variable disingkat LV. Lakukan operasi baris
elementer untuk membuat koefisien EV pada baris dengan rasio terkecil ini
Universitas Sumatera Utara
23
menjadi berharga 1 dan berharga nol pada baris-baris lainnya. Kemudian kembali ke langkah 3.
Contoh: Minimum
: Z = 8x
1
+ 10x
2
+ 7x
3
+ 6x
4
+ 11x
5
+ 9x
6
Kendala : 12x
1
+ 9x
2
+ 25x
3
+ 20x
4
+ 17x
5
+ 13x
6
≥ 60 35x
1
+ 42x
2
+ 18x
3
+ 31x
4
+ 56x
5
+ 49x
6
≥ 150 37x
1
+ 53x
2
+ 28x
3
+ 24x
4
+ 29x
5
+ 20x
6
≥ 125 X
j
≥ 0 ; j = 1, 2, 3, ..., 6
Penyelesaian Bentuk standart
Minimum : Z = 8x
1
+ 10x
2
+ 7x
3
+ 6x
4
+ 11x
5
+ 9x
6
+ Mx
10
+ Mx
11
+ Mx
12
Kendala : 12x
1
+ 9x
2
+ 25x
3
+ 20x
4
+ 17x
5
+ 13x
6
– x
7
+ x
10
= 60 35x
1
+ 42x
2
+ 18x
3
+ 31x
4
+ 56x
5
+ 49x
6
– x
8
+ x
11
= 150 37x
1
+ 53x
2
+ 28x
3
+ 24x
4
+ 29x
5
+ 20x
6
– x
9
+ x
12
= 125 X
j
≥ 0 ; j = 1, 2, 3, ..., 12
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.6 Iterasi 0
Tabel 2.7 Iterasi 1
Basis C
8 10
7 6
11 9
M M
M B
� x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
x
9
x
10
x
11
x
12
x
10
M 12
9 25
20 17
13 -1
1 60
6,6667 x
11
M 35
42 18
31 56
49 -1
1 150
3,5714 X
12
M 37
53 28
24 29
20 -1
1 125
2,3585 z
j
- c
j
84M-8 104M-10
71M-7 75M-6
102M-11 82M-9
-M -M
-M 335M
Basis C
8 10
7 6
11 9
M M
M B
� x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
x
9
x
10
x
11
x
12
x
10
M 5,7171
20,2453 15,9248
12,0761 9,6043
-1 0,1701
1 -0,1701
38,7735 3,2108
x
11
M 5,6798
-4,1886 11,9824
35,0218 33,1534
-1 0,7938
1 -0,7938
50,9430 1,5427
x
2
10 0,6981
1 0,5283
0,4528 0,5471
0,3773 -0,0189
0,0189 2,3585
4,3109 z
j
- c
j
11,3969M -1,0190
16,0567M -1,7170
27,9072M -1,4720
45,0979M -5,5290
42,7577M -5,2270
-M -M
0,9639M -0,1890
-1,9639M +0,01890
89,7165M +23,5850
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.8 Iterasi 2
Tabel 2.9 Iterasi 3
Basis C
8 10
7 6
11 9
M M
B �
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
x
9
x
10
x
11
x
10
M 3,6401
21,7765 11,5424
-2,5201 -1
0,3659 -0,1197
1 -0,3659
20,1437 0,925
X
5
11 0,1720
-0,1268 0,3629
1 1,004
-0,0303 0,024
0,0303 1,5427
-12,1664 X
2
10 0,604
1 0,5977
0,2543 -0,172
0,0166 -0,032
-0,0166 1,5145
2,5339 z
j
- c
j
3,6401M- 0,068
21,7765M- 2,4178
11,5424M+0, 5349
-2,5201M +2,044
-M 0,3659M-
0,1673 -0,1197M
-0,056 -0,3659M
+0,1673 20,1437M
+16,9697
Basis C
8 10
7 6
11 9
M B
� x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
x
9
x
10
X
3
7 0,1671
1 0,53
-0,1157 -0,0459
0,0168 -0,0055
0,0459 0,925
1,7453 X
5
11 0,1931
0,4301 1
0,9893 -0,0058
-0,0282 0,0233
0,0058 1,6597
3,8589 X
2
10 0,5041
1 -0,0625
-0,1029 0,0274
0,0066 -0,0287
-0,0274 0,9616
-15,3856 z
j
- c
j
0,3348 1,8161
0,0434 -0,1111
-0,1266 -0,0692
0,1111-M 34,3477
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.10 Iterasi 4
Tabel 2.11 Iterasi 5
Basis C
8 10
7 6
11 9
B �
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
x
9
X
4
6 0,3153
1,8868 1
-0,2183 -0,0866
0,0317 -0,0104
1,7453 -7,995
X
5
11 0,0575
-0,8115 1
1,0832 -0,0314
-0,0418 0,0278
0,909 0,8392
X
2
10 0,5238
1 0,1179
-0,1165 0,022
0,0086 -0,0294
1,0707 -9,1906
z
j
- c
j
-0,2377 -3,4267
0,4404 0,0458
-0,1836 -0,0506
31,1778
Basis C
8 10
7 6
11 9
B �
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
x
9
X
4
6 0,3269
1,7232 1
0,2015 -0,0803
0,0233 -0,0048
1,9285 -24,0162
X
6
9 0,0531
-0,7492 0,9232
1 -0,029
-0,0386 0,0257
0,8392 28,9379
X
2
10 0,53
1 0,0306
0,1076 0,0254
0,0041 -0,0264
1,1685 46,0039
z
j
- c
j
-0,2607 -3,0976
-0,4062 0,0332
-0,1666 -0,0615
30,8088
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.12 Iterasi 6
Karena z
j
– c
j
≤ 0, maka solusi optimal telah diperoleh. Dengan nilai minimum Z = 29,8482 ; x
2
= 0,4335 ; x
4
= 4,2522 ; x
7
= 28,9379 ; x
1
= x
3
= x
5
= x
6
= x
8
= x
9
= 0
Basis C
8 10
7 6
11 9
B x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
x
9
X
4
6 0,3416
-0,3513 1
2,7578 2,7690
-0,0836 0,0664
4,2522 X
7
0,1831 -25,8345
31,8345 34,4828
1 -1,3310
0,8862 28,9379
X
2
10 0,5253
1 -0,6256
-0,701 -0,8759
0,0379 -0,0489
0,4335 z
j
- c
j
-0,6974 -15,3638
-1,4632 -1,145
-0,1226 -0,0906
29,8482
Universitas Sumatera Utara
2.6 Teori Dualitas
Ide dasar yang melatar belakangi teori dualitas adalah bahwa setiap persoalan program linier mempunyai suatu program linier lain yang saling berkaitan yang disebut dual,
sedemikian sehingga solusi pada persoalan semula yang disebut primal juga memberi solusi pada dualnya.
Adapun hubungan antara primal dan dual adalah sebagai berikut: 1. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan bagi dual,
sedangkan konstanta ruas kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan dual. 2. Untuk setiap pembatas primal ada satu variabel dual dan untuk setiap variabel
primal ada satu pembatas dual. 3. Tanda ketidaksamaan pada pembatas akan bergantung pada fungsi tujuannya.
4. Fungsi tujuan berubah bentuk maksimasi menjadi minimasi dan sebaliknya. 5. Setiap kolom pada primal berkorespondensi dengan baris pembatas pada
dual. 6. Setiap baris pembatas pada primal berkorespondensi dengan kolom pada
dual. 7. Dual dari dual adalah primal.
Untuk lebih jelas lagi dapat dilihat pada tabel berikut ini:
Tabel 2.13 Primal dan Dual
Primal Dual
=
=1
Pembatas:
=1
; = 1, 2, … ,
0 ; = 1, 2, … ,
=
=1
Pembatas:
=1
; = 1, 2, … ,
0 ; = 1, 2, … ,
Universitas Sumatera Utara
BAB III
PEMBAHASAN
3.1 Populasi dan Sampel
