Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2
124
4. Pelat segiempat
Tepi pusat I =
1 3
Ma
2
5. Silinder berongga
Pusat I =
1 2
M R
1 2
+ R
2 2
6. Silinder tipis berongga
Pusat I = MR
2
7. Cincin tipis
Diameter pusat I =
1 12
M R
2
+ w
2
8. Silinder pejal
Pusat I =
1 2
MR
2
9. Silinder pejal
Diameter pusat I =
1 4
MR
2
+
1 12
M A
2
10. Bola pejal
Pusat I =
2 5
MR
2
11. Bola berongga
Pusat I =
2 3
mR
2
a b
R
2
R
1
R
R w
R
R A
R
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2
125
Untuk lebih jelasnya, simaklah contoh soal berikut ini Kemudian kerjakan pelatihan di bawahnya
Contoh Soal
Empat buah partikel seperti ditunjukkan pada gambar dihubungkan oleh sebuah batang kaku ringan yang massanya dapat diabaikan. Tentukan momen inersia sistem
partikel terhadap poros:
a. sumbu
A, b.
sumbu B.
Penyelesaian:
Diketahui: m
1
= 1 kg m
2
= 2 kg m
3
= 1 kg m
4
= 3 kg Ditanyakan: a.
I
A
= . . .? b.
I
B
= . . .? Jawab:
a. I
A
= Σ m
i
. R
i 2
= m
1
R
1 2
+ m
2
. R
2 2
+ m
3
R
3 2
+ m
4
R
4 2
= 1 . 0
2
+ 2 . 2
2
+ 1 . 4
2
+ 3 . 6
2
= 0 + 8 + 16 + 108 I
A
= 132 kg m
2
b. I
B
= Σ m
i
R
i 2
= m
1
R
1 2
+ m
2
R
2 2
+ m
3
R
3 2
+ m
4
R
4 2
= 1 . 4
2
+ 2 . 2
2
+ 1 . 0
2
+ 3 . 2
2
= 16 + 8 + 0 + 12 I
B
= 36 kg m
2
A m
1
1 kg 2 m
m
2
m
4
m
3
B 2 kg
1 kg 3 kg
2 m 2 m
Kerja Mandiri 1
Kerjakan soal berikut dengan tepat 1.
Empat buah partikel massanya 1 kg, 2 kg, 2 kg, dan 3 kg seperti ditunjukkan pada gambar, dihubungkan oleh
rangka melingkar ringan jari-jari 2 meter yang massanya dapat diabaikan.
a. Tentukan momen inersia sistem terhadap poros
melalui pusat lingkaran dan tegak lurus pada bidang kertas
b. Berapa besar momen gaya yang harus dikerjakan
pada sistem untuk memberikan suatu percepatan α
terhadap poros tersebut? α = 4
rad s
2
A ′
A
3 kg 1 kg
2 kg
2 kg
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2
126
2. Sebuah sistem yang terdiri atas dua bola dengan massa masing-
masing 5 kg dihubungkan oleh sebuah batang kaku yang panjangnya 1 m. Bola dapat diperlakukan sebagai partikel dan
massa batang 2 kg. Tentukan momen inersia sistem terhadap sumbu yang tegak lurus batang dan melalui:
a. pusat O,
b. salah satu bola.
C. Persamaan Lain Gerak Rotasi Benda Tegar
Setiap benda berotasi pasti memiliki momentum sudut. Dengan cara yang hampir sama pada gerak translasi, momentum sudut benda yang
berotasi akan memiliki nilai yang sebanding dengan momen inersia dan kecepatan angulernya. Dalam dinamika rotasi, jika suatu benda berotasi
terhadap sumbu inersia utamanya maka momentum sudut total
L sejajar
dengan kecepatan anguler ω dan selalu searah sumbu rotasi. Momentum
sudut L adalah hasil kali momen kelembaman I dan kecepatan anguler
ω. Momentum sudut dapat dirumuskan sebagai berikut.
L = l . ω
. . . 6.8 Bagaimana persamaan tersebut diperoleh? Perhatikan gambar 6.3
di bawah Momentum sudut terhadap titik O dari sebuah partikel dengan massa
m yang bergerak dengan kecepatan v memiliki momentum P = mv
didefinisikan dengan perkalian vektor berikut.
L = R × P L = R × mv
L = mR × v
Gambar 6.3 Hubungan vektor antara kecepatan sudut dengan momentum sudut
pada gerak melingkar
L
o
F
r m
v
Lintasan Bidang gerak
Gambar 6.4 Momentum sudut sebuah partikel
L
o ω
r m
v
90°
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2
127
Jadi, momentum sudut adalah suatu vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh
R dan v. Dalam gerak melingkar dengan O
sebagai pusat lingkaran, vektor R dan v saling tegak lurus, sehingga:
v = ω R
L = m R v L = m R
ωR L = m R
2
ω . . . 6.9
Jika arah
L dan ω adalah sama maka:
L = m R
2
ω atau
L = l ω
Dari persamaan sebelumnya kita tahu bahwa: ω =
T
d dt
Dengan demikian, persamaan 6.9 menjadi:
L = m R
2
T
d dt
L = I T
d dt
Momentum sudut sebuah partikel relatif terhadap titik tertentu, sehingga momentum sudut termasuk besaran vektor. Secara vektor,
momentum sudut dapat dituliskan sebagai berikut.
L = R × P = m R × v
. . . 6.10 Jika persamaan 6.10 diturunkan terhadap waktu menjadi:
§ · §
· ¨
¸ ¨ ¸
© ¹ ©
¹
d d
dp dt
dt dt
L R
P R
= ×
+ ×
d dt
L
= v × mv + R × F
d dt
L
= 0 + R × F
d dt
L
= R × F
Sebelumnya telah disebutkan bahwa: τ = F × R, sehingga
τ =
d dt
L
. . . 6.11
Kompetensi Fisika Kelas XI Semester 2
128
Suatu sistem mula-mula mempunyai momentum sudut total ΣL dan
momentum sudut total akhir ΣL′. Setelah beberapa waktu, pada sistem
tersebut berlaku hukum kekekalan momentum sudut. Peristiwa yang melibatkan momentum sudut misalnya adalah pada penari balet yang
melakukan gerakan memutar. Perhati- kan gambar 6.5a dan 6.5b
Seorang penari berputar dengan tangan terentang. Saat penari tersebut
menarik tangannya lebih dekat ke tubuh, dia berputar lebih cepat tanpa mengguna-
kan energi tambahan. Semakin tangan- nya mendekati tubuh, penari berputar
semakin cepat.
Momentum sudut total yang bekerja pada penari yang berotasi tetap akan
memiliki konstanta tetap jika torsi total yang bekerja pada penari sama dengan
nol. Secara matematis momentum sudut dinyatakan:
momentum sudut awal =
momentum sudut total akhir
ΣL =
ΣL′ L
1
+ L
2
= L
1
′ + L
2
′ Berdasarkan persamaan di atas maka hukum kekekalan momentum sudut
dirumuskan sebagai berikut.
ΣL = ΣL′ L
1
+ L
2
= L
1
′ + L
2
′ I
1
ω
1
+ I
2
ω
2
= I
1
′ ω
1
′ +
I
2
′ ω
2
′
Gambar 6.5a Penari me- rentangkan tangan untuk me-
lakukan putaran lambat Gambar 6.5b Penari ber-
sedakap tangan untuk me- lakukan putaran cepat
D. Energi Kinetik Rotasi
Pada saat sebuah benda melakukan gerak rotasi maka energi gerak atau energi rotasinya sama dengan energi kinetik atau energi gerak. Jika
sebuah benda dianggap mewakili beberapa buah partikel maka energi kinetik rotasi dapat dipahami dengan pendekatan berikut ini.
Sebuah sistem benda dapat dianggap hanya terdiri atas dua partikel yang massanya
m
1
dan m
2
. Sistem tersebut bergerak rotasi dengan kecepatan tangensial
v
1
dan v
2
, sehingga energi kinetik partikel pertama adalah
1 2
m
1
v
1 2
dan energi kinetik partikel kedua adalah
1 2
m
2
v
2 2
. Oleh karena itu, energi kinetik sistem dua partikel tersebut adalah:
E
K
=
1 2
m
1
v
1 2
+
1 2
m
2
v
2 2
