Keterangan persamaan diatas adalah: F
I
F = gaya inersia Inertia
D
F = gaya redam Damper
S
m = massa = gaya pegas Spring
ӳ = percepatan ý = kecepatan
y = simpangan c = koefisien redaman
k = kekauan kolom.
Apabila persamaan diatas disubstitusikan maka akan diperoleh, m.
ӳ + c.ý + k. y = P t 2.10
2.7 PERSAMAAN DIFERENSIAL STRUKTUR SDOF AKIBAT BASE MOTIONS
Beban dinamik yang umum dipakai pada analisis struktur selain beban angin adalah beban gempa. Gempa bumi akan mengakibatkan permukaan tanah menjadi bergetar
yang getarannya direkam dalam bentuk aselerogram. Tanah yamg bergetar akan menyebabkan semua benda yang berada diatas tanah ikut bergetar termasuk struktur
bangunan. Didalam hal ini masih ada anggapan bahwa antara pondasi dan tanah
Universitas Sumatera Utara
pendukungnya bergerak secara bersamaan. Anggapan ini sebenarnya tidak sepenuhnya benar karena tanah bukanlah material yang kaku yang mampu menyatu dengan fondasi. Kejadian
yang sesungguhnya adalah bahwa antara pondasi dan tanah tidak akan bergerak secara bersamaan.Pondasi masih akan begerak horizontal relatif terhadap tanah yang
mendukungnya. Keadaan seperti ini cukup rumit karena sudah mempertimbangkan pengaruh tanah terhadap analisis struktur yang umumnya disebut soil structure in teraction analysis.
Untuk menyusun persamaan diferensial gerakan massa akibat gerakan tanah maka anggapan diatas tetap dipakai yaitu tanah menyatu secara kaku dengan kolom atau kolom
dianggap dijepit pada bawahnya. Pada kondisi tersebut ujung bawah kolom dan tanah dasar bergerak secara bersamaan. Hal tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.
Gambar 2.6 Struktur SDOF akibat base motion
Universitas Sumatera Utara
2.8 PERSAMAAN DIFERENSIAL PADA TIAP-TIAP TIPE GETARAN 2.8.1 TIPE GETARAN
Secara umum gerakan massa suatu struktur dapat disebabkan baik oleh adanya gangguan luar maupun adanya suatu nilai awalinitial condition. Peristiwa gerakan massa
akibat adanya simpangan awal y
Pada model matematik seperti yang dijelaskan sebelumnya, gerakan suatu massa pada umumnya akan dihambatdiredam oleh suatu mekanisme yang dimodel sebagai gerakan
piston didalam silinder. Mekanisme tersebut adalah suatu model yang dipakai di dalam mensimulasi adanya viscous damper atau redaman viskos pada struktur yang bersangkutan.
Gerakan massa struktur yang memperhitungkan adanya gaya redam disebut damped system atau sistem gerkan yang diredam.
dapat juga kecepatan awal biasa disebut getaran bebas free vibration systems. Sebaliknya apabila goyangan suatu struktur disebabkan oleh
gangguan luar maka peristiwa seperti itu disebut getaran dipaksa forced vibration systems.
2.8.2 PERSAMAAN DIFERENSIAL PADA GETARAN BEBAS
Sebagaimana disinggung di depan bahwa getaran ini bukan disebabkan oleh adanya beban luar atau gerakan tanah akibat gempa tetapi akibat adanya gaya awal. Pada tipe getaran
ini ý
1. Getaran Bebas Tanpa Redaman Undamped Free Vibration Systems
Pt=0 maka persamaan diferensial untuk free vibration systems adalah sebagai berikut:
Pada getaran bebas tanpa redaman maka nilai c = 0 sehingga persamaan diferensial gerakan massa akan menjadi,
m. ӳ + k. y =0
2.11
Universitas Sumatera Utara
2. Getaran Bebas yang diredam Damped Free Vibration
Pada getaran bebas yang diredam, maka struktur yang bersangkutan mempunyai sistem peredaman energi, atau dalam hal ini nilai koefisien c tidak sama dengan nol.
Sehingga persamaan diferensialnya menjadi m.
ӳ + c.ý + k. y = 0 2.12
2.8.3 PERSAMAAN DIFERENSIAL PADA GETARAN DIPAKSA
Getaran yang dipaksa adalah suatu getaran yang diakibatkan oleh adanya gaya luar ataupun adanya getaran tanah akibat gaya gempa. Dalam hal ini nilai Pt tidak sama dengan
nol. Getaran dipaksa inipun terbagi dalam dua golongan yaitu. 1.
Getaran dipaksa yang tidak diredam c=0 m.
ӳ + k. y = pt 2.13
2. Getaran dipaksa yang diredam
m. ӳ + c.ý + k. y = Pt
2.14
2.9 PERIODE GETAR T,FREKUENSI SUDUT
ω DAN FREKUENSI ALAM f
Pada kondisi getaran bebas tanpa redaman,maka persamaannya adalah m.
ӳ + k. y =0 2.15
Universitas Sumatera Utara
Persamaan diatas adalah persamaan difernsial linier homogen dengan koefisien koefisien konstatnta yaitu ditunjukkan oleh m dan k. Persamaan tersebut juga akan
menghasilkan gerakan yang periodik dan harmonik. y = A sin
ω.t 2.16
dengan A adalah amplitudo simpangan yang nilainya bergantung pada nilai awal. Maka dari persamaan tersebut dapat diperoleh,
ý = - ω.A.cos ω.t
2.17
ӳ = - ω
2
.A.Sin ω.t
2.18
substitusi persamaan diatas dengan persamaan pertama tadi, maka akan didapat, {
� − ω². m}. �. ��� ω.t = 0 2.19
Nilai A dan Sin ω.t tidak selalu nol,maka nilai yang sama dengan nol adalah,
{ � − ω². m} = 0 2.20
Maka akan diperoleh
ω = �
� �
2.21
� =
2 �
ω
2.22
� =
1 �
2.23
Universitas Sumatera Utara
2.10 PERSAMAAN DIFERENSIAL PADA STRUKTUR MDOF
