12
2.4 Goal Programming
Goal programming GP merupakan pengembangan dari model LP. Perbedaan utama antara GP dan LP terletak pada struktur dan penggunaan fungsi
tujuan. Dalam LP fungsi tujuannya hanya mengandung satu tujuan, sementara dalam GP dengan beberapa fungsi tujuan digabungkan menjadi sebuah fungsi
tujuan. Ini dapat dilakukan dengan mengekspresikan tujuan itu dalam bentuk sebuah kendala goal constraint, memasukkan suatu variabel simpangan
deviational variabel dalam kendala itu untuk mencerminkan seberapa jauh tujuan itu dicapai, dan menggabungkan variabel simpangan dalam fungsi tujuan.
Dalam LP tujuannya bisa maksimisasi atau minimisasi, sementara dalam GP tujuannya adalah meminimumkan penyimpangan-penyimpangan dan tujuan-
tujuan tertentu. Ini berarti semua masalah GP adalah masalah minimisasi. Karena penyimpangan-penyimpangan dan tujuan-tujuan itu diminimumkan,
sebuah model GP dapat menangani aneka ragam tujuan dengan dimensi atau satuan ukuran yang berbeda. Tujuan-tujuan yang saling bentrok juga dapat
diselesaikan. Jika terdapat banyak tujuan, prioritas atau urutan ordinalnya dapat ditentukan, dan proses penyelesaian GP itu akan berjalan sedemikian rupa
sehingga tujuan dengan prioritas tertinggi dipenuhi sedekat mungkin sebelum memikirkan tujuan-tujuan dengan prioritas lebih rendah. Jika LP berusaha
mengidentifikasi solusi optimum dan suatu himpunan solusi fisibel, GP mencari titik yang paling memuaskan dari sebuah persoalan dengan beberapa tujuan
dengan mempertimbangkan hirarki prioritas tujuan-tujuan tersebut. Ravindran 2009 mengatakan bahwa pada model GP akan dilakukan
minimisasi variabel simpangan dari setiap fungsi tujuan. Jika setiap fungsi tujuan ada bobot atau prioritas yang ditetapkan maka model GP menjadi kasus
minimisasi variabel simpangan dengan pembobotan atau skala priorotas yang ada. Ada tiga jenis fungsi tujuan dalam GP, yaitu:
Minimumkan
m 1
Z
i i
i
d d
2.7
Minimumkan
m 1
Z
i i
i k
d d
P untuk k
= 1,2,…,n
2.8
13
Minimumkan
m 1
Z
i i
i i
k
d d
w untuk k
= 1,2,…,n
2.9
dimana adalah variabel simpangan negatif nilai sisi kanan kendala tujuan,
adalah variabel simpangan positif nilai sisi kanan kendala tujuan, adalah
sistem urutan pada fungsi-fungsi tujuan dalam hubungan tujuan yang paling
penting, tujuan yang kurang penting dan seterusnya,
adalah tingkat prioritas setiap variabel simpangan, m adalah banyaknya kendala tujuan dalam
model, dan n banyaknya tujuan dalam model. Fungsi tujuan persamaan 2.7, digunakan jika variabel simpangan dalam
suatu masalah tidak dibedakan menurut prioritas atau bobot. Fungsi tujuan persamaan 2.8, digunakan dalam suatu masalah dimana urutan tujuan-tujuan
diperlukan, tetapi variabel simpangan dalam setiap tingkat prioritas memiliki kepentingan yang sama. Dalam fungsi tujuan persamaan 2.9, tujuan-tujuan
diurutkan dan variabel simpangan pada setiap tingkat prioritas dibedakan dengan menggunakan bobot yang berlainan w
ki
. Jadi fungsi tujuan yang akan digunakan tergantung pada situasi masalahnya.
2.5 Fuzzy Goal Programming
Jika pada GP, dalam melakukan optimasi pada masalah multi objective harus melakukan penjumlahan terbobot fungsi-fungsi tujuannya menjadi satu
fungus tujuan. Atau fungsi-fungsi tujuan tersebut diurutkan berdasarkan kepentingannya dimana fungsi tujuan yang lebih penting diselesaikan dulu dan
selanjutnya untuk fungsi tujuan berikutnya. Ini cocok pada kasus dimana derajat kepentingan tiap-tiap fungsi tujuan telah diketahui.
Metode yang menggunakan himpunan fuzzy pada GP disebut Fuzzy Goal Programming FGP, dimana metode ini tidak perlu melakukan kalibrasi
pembobotan atau melakukan seleksi terhadap derajat pentingnya fungsi objektif. Metode ini hanya menggunakan preferensi khusus pada tujuan yang dapat
dimodelkan dengan menggunakan fungsi-fungsi keanggotaan fuzzy Kusumadewi Purnomo 2004. FGP ini, diformulasi menjadi bentuk LP untuk mencari solusi
optimalnya sehingga dapat dilanjutkan dengan analisis sensitivitas setelah diperoleh solusi optimal tersebut.
14
Menurut Li et al. 2004, FGP dapat diformulasikan sebagai berikut:
Jika didefinisikan x = [x
1
, x
2,
…, x
n
]
T
R
n
sebagai vektor variabel keputusan dan
fx=f
1
x
,…,f
m
x adalah fungsi-fungsi tujuan dengan sistem bentuk kendala Gx. Pengambil keputusan menginginkan batasan f
i
,i = 1,2,…m untuk setiap
fungsi tujuan yang memenuhi kendala linear Gx. Dengan menggunakan konsep
himpunan fuzzy, fungsi keanggotaan dapat didefinisikan berdasarkan langkah- langkah berikut:
1. Nyatakan
Max f
i
x, i
= 1,2,…,m
2.10
dengan kendala x Gx R
n
misalkan diperoleh x
j
j =1,2,…,n adalah solusi optimal pada fungsi tujuan
f
i
x, ambil f
i
x
j
= f
imax.
2. Cari min f
i
x
j
= f
imin
untuk setiap i. 3.
Definisikan fungsi keanggotaan
fi
x, i
= 1,2,…m dalam bentuk :
Kemudian definisikan himpunan -level
atau F,x, sehingga dibentuk
model FGP yaitu :
Tentukan x yang memenuhi,
Max
2.11
dengan kendala x
F
,xGx.
dimana dengan
Model 2.10 ini telah menjadi model LP yang dapat diselesaikan dengan metode simpleks.
Karena fungsi tujuan dalam model yang akan dibahas adalah masalah maksimisasi dan minimisasi, menurut Singh et al. 2011, FGP dapat dinyatakan :
Tentukan x
2.12
Sedemikian sehingga