Rangkaian lebih dari satu loop

3.16 Rangkaian lebih dari satu loop

Jumlah loop dalam rangkaian tidak hanya satu, tetapi bisa banyak sekali. Sekarang kita bahas rangkaian yang terdiri dari dua loop. Prinsip yang digunakan sama dengan saat memecahkan persoalan satu loop. Hanya di sini akan muncul dua persamaan, karena ada dua arus yang harus dicari, yaitu arus yang mengalir pada masing-masing loop. Contohnya, kita tinjau rangkaian pada Gambar 3.29.

R 1 = 100 

R 2 = 400 

 1 =2V

 2 =2V

 3 =8V

R 3 = 500 

Gambar 3.29 Contoh rangkaian dua loop

Arus yang mengalir pada tiap loop bisa dipilih sembarang. Jika nanti diperoleh nilai positif maka arah yang dipilih sudah benar. Tetapi jika diperoleh nilai negatif, maka arah arus sebenarnya berlawanan dengan arah yang dipilih, tetapi besarnya sama. Misalkan kita pilih arah arus seperti pada Gambar 3.30

 1 =2V

1  2 =2V

2  3 =8V

R 3 = 500 

Gambar 3.30 Arah arus yang dipilih untuk loop pada Gambar 3.29 (cataran e2 = 4)

Untuk loop 1 berlaku:

I 1 R 1 +I 1 R 3 –(  1 +  2 )=0

Berdasarkan perjanjian untuk tanda sumber tegangan, maka dari Gambar

3.30 kita peroleh  1 = + 2V dan  2 = - 4 V. Dengan demikian,

I 1  100 + I 1  500 – (2 – 4) = 0

600 I 1 +2=0

I 1 = -2/600 = 0,003 A

Untuk loop 2 berlaku:

I 2 R 2 –(  2 +  3 )=0

Berdasarkan perjanjian untuk tanda sumber tegangan maka dari Gambar

3.30 kita peroleh  2 = + 4V dan  3 = + 8 V. Dengan demikian

400 I 2 – (4 + 8) = 0 400 I 2 – 12 = 0

I 2 = 12/400 = 0,03 A

Berdasarkan hasil di atas, arus yang mengalir pada loop kiri adalah 0,003 A dengan arah berlawanan dengan yang dilukiskan pada Gambar

3.30. Arus yang mengalir pada loop 2 adalah 0,03 A sesuai dengan arah yang dilukiskan pada Gambar 3.30. Secara umum, rangkaian elektrok pada barang kebutuhan manusia seperti TV, tape recorder, radio, dan sebagainya terdiri dari banyak sekali loop. Loop yang ada biasanya sangat rumit dan besar arus serta tegangan pada bagian-bagiannya sulit diselesaikan secara sederhana seperti di atas. Loop yang dipelajari di Fisika Dasar umumnya sangat sederhana, sekedar untuk memberi pemahaman pada mahasiswa bagaimana metode penyelesain persoalan arus listrik pada rangkaian. Metode tersebut tetap berlaku untuk loop bentuk apa pun, hanya langkah penyelesaian yang lebih panjang dan rumit. Tetapi, dengan adanya kompouter yang makin canggih, 3.30. Arus yang mengalir pada loop 2 adalah 0,03 A sesuai dengan arah yang dilukiskan pada Gambar 3.30. Secara umum, rangkaian elektrok pada barang kebutuhan manusia seperti TV, tape recorder, radio, dan sebagainya terdiri dari banyak sekali loop. Loop yang ada biasanya sangat rumit dan besar arus serta tegangan pada bagian-bagiannya sulit diselesaikan secara sederhana seperti di atas. Loop yang dipelajari di Fisika Dasar umumnya sangat sederhana, sekedar untuk memberi pemahaman pada mahasiswa bagaimana metode penyelesain persoalan arus listrik pada rangkaian. Metode tersebut tetap berlaku untuk loop bentuk apa pun, hanya langkah penyelesaian yang lebih panjang dan rumit. Tetapi, dengan adanya kompouter yang makin canggih,

a 11 I 1  a 12 I 2  ...  a 1 N I N  E 1

a 21 I 1  a 22 I 2  ...  a 2 N I N  E 2

a N 1 I 1  a N 2 I 2  ...  a NN I N  E N (3.26)

di mana

A ij adalah mempunyai satuan hambatan yang dapat merupakan satu hambatan tunggal atau operasi sejumlah hambatan, atau bisa saja nol.

I j adalah arus afa loop ke-j yang akan kita hitung

E j memiliki satuan tegangan yang dapat merupakan satu sumber tegangan tunggal atau penjumlahan atau pengurangan sejumlah sumber tegangan, atau bisa saja nol.

Persamaan (3.26) dapai ditulis dalam bentuk matrix sebagai berikut

AI  E

Dengan

 a 11 a 12 ... a 1 N 

  a 21 a 22 ... a 2 N 

 a N 1 a N 2 ... a NN

Solusi untuk arus dapat diperloeh dengan melakukan perkalian ruas kiri dan kanan menggunakan invers matriks A, yaitu

A  1 ( 1 AI )   A E

atau

I 1  A  E (3.27)

Inverse suatu matriks dapat diperoleh dengan mudah menggunakan Excel seperti yang akan dibahas dalam contoh berikut ini.

Contoh 3.12

Selesaikan persoalan yang dibahas untuk rangkaian dua loop di atas menggunakan metode matriks.

Jawab

Kita sudah mendapatkan persamaan arus untuk loop pertama dan kedua sebagai berikut

I 1 R 1 +I 1 R 3 –(  1 +  2 )=0

I 2 R 2 –(  2 +  3 )=0

Yang dapat ditulis ulang menjadi

Dari persamaan ini kita dapatkan

Dengan mengacu pada Gambar 3.30 maka pada loop 1,  1 = 2 V dan  2 = -4

V, pada loop  2 = 4 V dan  3 = 8V. dengan demikian

  1   2   2  4 E 2   

Untuk mencari solusi untuk I maka kita perlu mencari dahulu inverse dari matriks A. Kita dapat menentukan dengan mudah menggunakan Excel. Caranya, ketik elemen-elemen matriks pada excel. Misalkan kita masukkan elemen-elemen tersebut pada elemen A1 sampai B2 seperti pada Gambar 3.31.

Gambar 3.31 Elemen-elemen matriks A

Untuk mencari invers matrik A, kita highligh sel kosong yang ukurannya sama dengan ukuran matriks A, yaitu 2 2. Misalkan kita highlight sel D1 sampai D2 seperti pada Gambar 3.32. Sel kosong inilah yang akan digunakan untuk menempatkan elemen matriks inverse.

Gambar 3.32 Highligh sel kosong untuk menempatkan matriks invers

Setelah dihighlight maka ketik persamaan =MINVESRE(A1:A2) seperti ditujukkan pada Gambar 3.33. Kemudian silanjutkan dengan menekan secara serentak tombol CTR+SHIFT+ENTER. Akhirnya kita peroleh matriks inverse pada sel D1 sampai E2 seperti ditunjukkan pada Gambar 3.34. Jadi Setelah dihighlight maka ketik persamaan =MINVESRE(A1:A2) seperti ditujukkan pada Gambar 3.33. Kemudian silanjutkan dengan menekan secara serentak tombol CTR+SHIFT+ENTER. Akhirnya kita peroleh matriks inverse pada sel D1 sampai E2 seperti ditunjukkan pada Gambar 3.34. Jadi

Gambar 3.33 Persamaan untuk menentukan matriks invers

Gambar 3.34 Matriks inverse dari A yang diperoleh terdapat di cell D1 sampai E2.

Setelah kita mendaptkan invers dari matrik A maka kita akan megalikan invers tersebut dengan E untuk mendapatkan I. Caranya adalah mengisi elemen-elemen E ke dalam Excel. Misalkan kita isi pada cell G1 dan G2 seperti pada Gambar 3.35

Gambar 3.35 Cell D1 sampai E2 adalah invers dari matriks A dan cell G1 sampai G2 adalah elemen matriks E .

Kita selanjutnya melakukan operasi matiks menggunakan Excel. Karena hasil perkalian menghasilkan matriks kolom dengan jumlah dua baris maka kita highlight satu kolom dengan dua baris utuk menempatkan hasil perkalian. Misalkan kita akan tempatkan hasil perkalian pada cell H1 sampai H2 seperti diilustrasikan pada Gambar 3.36.

Gambar 3.36 Cell H1 dan H2 adalah tempat untuk melatakkan hasil perkalian matiks.

Setelah highlight maka ketik persamaan =MMUTL(D1:E2,G1:G2) yang dilanjutkan dengan menekan tombol CTR+SHIFT+Enter secara bersamaan sehingga diperoleh hasil paerkalian sepeti pada Gambar 3.37. Hari hasil ini

kita simpulkan I 1 = -0,00333 A dan I 2 = 0,03 A, sama seperti yang diperoleh sebelumnya

Gambar 3.37 Hasil perkalian invers matriks A dengan E tampak pada kolom H.