Superposisi gelombang segaris

9.3.1 Superposisi gelombang segaris

Kita mulai dengan pembahasan superposisi gelombang yang Kita mulai dengan pembahasan superposisi gelombang yang

ada dua gelombang dengan simpangan y 1 ( x , t ) dan y 2 ( x , t ) merambat bersamaan dalam medium yang sama maka simpangan total titik-titik dalam medium memenuhi

y ( x , t )  y 1 ( x , t )  y 2 ( x , t ) (9.5)

Jika ada N gelombang yang merambat bersamaan dalam medium yang sama maka simpangan total titik dalam medium memenuhi

y ( x , t )  y 1 ( x , t )  y 2 ( x , t )  ...  y N ( x , t )

 N y i ( x , t ) (9.6)

Superposisi Gelombang Sinusoidal. Sekarang kita tinjau gelombang yang bentuknya sederhana, yaitu gelombang sinusoidal. Untuk mudahnya kita hanya batasi pada superposisi dua buah gelombang. Simpangan masing-masing gelombang adalah

y 1 ( x , t )  A 1 cos   t  kx   01  (9.7)

y 2 ( x , t )  A 2 cos   t  kx   02  (9.8)

Superposisi dua gelombang tersebut adalah

 A 1 cos   t  kx   01   A 2 cos   t  kx   02  (9.9)

Kita tinjau kasus sederhana di mana amplitudo, periode dan panjang gelombang kedua gelombang sama, A 1 = A 2 ,  1 =  2 , dan k 1 =k 2 . Persamaan (9.9) dapat ditulis

y ( x , t )  A  cos   t  kx   01   cos   t  kx   02  

Kita gunakan persamaan trigonometri

2 cos           cos      

cos

cos

di mana

   t  kx   01

dan

   t  kx   02

Maka   

  t  kx  

Dengan demikian, kita dapat menulis

y ( x , t ) 2 A cos   01   02  cos t kx   01   02         (9.10)

Mari kita amati bagaimana bentuk pola gelombang pada berbagai posisi. Kita melakukan pengamatan pada saat tertentu. Untuk mudahnya kita amati pada saat t = 0. Pada saat t = 0 simpangan gelombang pada berbagai posisi memenuhi persamaan

y ( x , 0 )  2 A cos    

Gambar 9.8 adalah pola gelombang hasil superposisi yang “dipotret” pada saat t = 0. Tampak bahwa amplitudo gelombang yang dihasilkan sangat bergantung pada nilai  01   02 seperti tertuang dalam persamaan di atas. Setelah superposisi, maka gelombang dihasilkan memiliki frekuensi yang sama dengan gelombang semula tetapi amplitudonya berubah menjadi

A ' 2 A cos        (9.11)

Jadi, amplitudo gelombang superposisi bergantung pada  01   02 . Suatu yang menarik terjadi jika

 0 atau  01   02 .

Dengan demikian, A '  2 A cos  0  2 A . Jika kondisi ini dipenuhi maka

amplitudo gelombang superposisi menjadi dua kali amplitudo gelombang semula. Jika kondisi ini dicapat maka dua gelombang dikatakan sefasa dan superposisi yang terjadi disebut superposisi konstruktif.

Kasus menarik lain terjadi jika

atau  01   02   .

Dengan demikian, A ' 2 A cos        0 . Jika kondisi ini dipenuhi maka

amplitudo gelombang superposisi nol. Pada konsisi ini kedua gelombang dikatakan berlawanan fasa dan superposisi yang terjadi disebut superposisi destruktif.

Jelas dari penjelasan di atas bahwa interferensi konstruktif atau destruktif sangat bergantung pada beda fasa dua gelombang yang mengalami superposisi. Tetapi perlu diingat bahwa interferensi destruktif hingga ampltitudo total nol hanya terjadi jika dua gelombang memiliki amplitodo persis sama. Interferensi dekstruktif terjadi karena pengurangan simpangan dua gelombang. Pengurangan baru menjadi nol jika amplitude yang dikurangankan memiliki besar yang sama. Jika amplitude gelombang yang mengalami superposisi tidak sama maka tidak akan pernah diperoleh ampitudo total nol. Yang akan diamati hanya ampitudo maksimum (ketika fasa dua gelombang sama) dan amplitudo minimum tetapi tidak nol (ketika fasa dua gelombang berlawanan). Lebih lanjut, sebenarnya superposisi tidak hanya untuk dua gelombang, tetapi dapat melibatkan banyak sekali gelombang seperti yang akan kita bahas pada bagian selanjutnya.

(a)  01 -  02 =0

y 1 (x,0)

y 2 (x,0)

y (x,0)

(b)  01 -  02 = /2

y 1 (x,0)

y 2 (x,0)

y (x,0)

(c)  01 -  02 = 

y 1 (x,0)

y 2 (x,0)

y (x,0) 0 2 4 6 8 10 12 14

Gambar 9.8 (a) adalah superposisi gelombang asal yang memiliki fase sama, (b) adalah superposisi gelombang asal yang memiliki beda fase /2, dan (c) adalah superposisi gelombang asal yang memiliki beda fase .

Pelayangan

Kasus menarik terjadi jika dua gelombang memiliki perbedaan frekuensi yang sangat kecil. Misalkan

Misalkan pula dua gelombang memiliki amplitudo yang sama. Kemudian kita mengamati gelombang superposisi pada lokasi tertentu. Misalkan lokasi tersebut adalah x = 0. Gelombang superposisi menjadi

y ( 0 , t )  A cos   1 t  k 1  0   01   A cos   2 t  k 2  0   02 

 A  cos   1 t   01   cos   2 t   02  

0 01  02 2 A cos   

t    cos    1  2             t    (9.13)

2   di mana

Gambar 9.9 adalah pola simpangan yang terjadi ketika gelombang dengan frekuensi sedikit berbeda disuperposisi. Tampak bahwa gelombang hasil superposisi memiliki amplitudo yang bergantung pada waktu. Amplitudo bervariasi dari nol sampai 2A. Amplitudo maksimum terjadi ketika

cos 

atau

= 0, - , atau +.

Sekarang kita akan menentukan frekuensi pelayangan, yaitu berapa kali suara pelayangan yangterdengar selama satu detik. Misalkan amplitudo

maksimum terjadi saat t 1 yang memenuhi

Amplitudo maksimum berikutnya terjadi saat t 1 +  dan memenuhi

y 1 (0,t)

y 2 (0,t)

y (0,t)

Gambar 9.9 Superposisi dua gelombang yang memiliki frekuensi sedikit berbeda. Kurva biru dan merah adalah gelombang asal dan kurva hijau adalah gelombang hasil superposisi.

Kurangkan persamaan (9.15) dengan persamaan (9.14) sehingga diperoleh

2 atau

Jadi, amplitudo maksimum terjadi berulang-ulang dengan periode   2  /   .

Untuk gelombang bunyi, saat amplitudo maksimum kita akan mendengar bunyi yang keras, dan saat amplitudo nol kita tidak mendengar bunyi. Karena amplitudo maksimum muncul secara periodeik maka kita mendengar bunyi keras yang muncul secara periodic dengan periode

  2  /   . Peristiwa ini disebut pelayangan, dan  disebut periode pelayangan.

Contoh 9.2

Sebuah garpu tala menghasilkan frekuensi 400 Hz. Ketika digetarkan didekat senar gitar yang sedang dipetik, terjadi 20 pelayangan dalam lima detik. Berapakah frekuensi senar gitar?

Jawab

Frekuensi pelayangan

jumla h pela ya nga n

wa ktu

= 4 Hz.

Frekuensi pelayangan sama dengan selisih frekuensi dua sumber. Dengan demikian, frekuensi yang mungkin dimiliki oleh senar gitar adalah 400 + 4 = 404 Hz atau 400 – 4 = 396 Hz.

Gelombang Berdiri

Kasus menarik lain terjadi jika gelombang yang bersuperposisi merambat dalam arah berlawanan. Misalkan gelombang pertama merambat ke arah kanan,

y 1 ( x , t )  A cos   t  kx   01 

dan gelombang kedua merambat ke arah kiri,

y 2 ( x , t )  A cos   t  kx   02 

Perbedaan arah gelombang dibedakan oleh tanda di depan suku kx. Tanda negatif untuk gelombang yang merambat ke kanan dan tanda positif Perbedaan arah gelombang dibedakan oleh tanda di depan suku kx. Tanda negatif untuk gelombang yang merambat ke kanan dan tanda positif

y ( x , t )  A  cos   t  kx   01   cos   t  kx   02  

 2 A cos   kx

 cos   t 

Dengan menggunakan sifat cos (   cos )   , maka bagian kosinus pertama di ruas kanan persamaan di atas dapat diubah penulisannya sehingga diperoleh

  01  y 02 ( x , t ) 2 A cos kx   

 cos   t 

Gambar 9.10 Contoh gelombang berdiri pada tali. Mengapa bisa terjadi geombang berdiri? Tali digetarkan di salah satu ujung dan merambat ke ujung sebelah yang dikaitkan secara kuat. Di ujung kedua tersebut gelombang mengalami pemantulan dan merambat dalam arah berlawanan. Saat gelombang bergerak balik ini, ujung pertama masih digetarkan sehingga terjadi superposisi gelombang yang terus dihasilkan dan gelombang yang dipantulkan. Dua gelombang tersebut memiliki amplitude dan frekuensi yang sama namun bergerak dalam arah berlawanan. Oleh karena itu superposisinya menghasilkan gelombang berdiri.

Yang kita dapatkan pada persamaan (9.17) bukan lagi gelombang merambat, tetapi hanya menyimpangan titik-titik pada medium. Tiap titik berosilasi harmonik dengan amplitudo yang bergantung pada posisi.

Gelombang semacam ini disebut gelombang berdiri. Gambar 9.10 adalah contoh pola gelombang berdiri. Pola tersebut akan selalu diamati dan tidak merambat. Lokasi puncak maupun lembah pada posisi yang sama. Yang terjadi hanya perubahan amplitudo dari besar dan kecil secara berulang-ulang.

Gelombang Berdiri pada Dawai. Gelombang berdiri dapat kita jumpai pada senar gitar. Misalkan panjang senar L. Ujung senar gitar, yaitu pada posisi x = 0 dan x = L harus selalu memiliki simpangan nol karena

ditambatkan pada posisi tetap. Jadi, y ( 0 , t )  0 dan y ( L , t )  0 . Berdasarkan persamaan (9.17), kondisi ini dicapai jika

cos  kL 

Syarat (9.18) menghasilkan

dan syarat (9.19) menghasilkan

kL 

Jika persamaan (9.21) dikurangkan pada persamaan (9.20) maka ruas kanan berbeda kelipatan bulat dari . Jadi

  01   02    01  kL 02    

dengan n bilangan bulat. Kita akhirnya dapatkan

kL  n  (9.22)

Karena n memiliki bermacam-macam nilai yang mungkin, maka  Karena n memiliki bermacam-macam nilai yang mungkin, maka 

gelombang pada senar gitar memenuhi

n  (9.23)

dengan n = 1, 2, 3, ….. Mengingat hubungan, k = 2 / maka kita dapatkan panjang gelombang yang memenuhi syarat adalah

2  L n  (9.24)

Beberapa panjang gelombang yang akan kita dapatkan sebagai berikut:

a) Untuk n = 1,  1  2 L . Kodisi ini disebut nada dasar atau harmonik pertama

b) Untuk n = 2,  2  L . Kondisi ini disebut nada atas pertama atau harmonik kedua

c) Untuk n = 3,  3 

. Kondisi ini disebut nada atas kedua atau

harmonik ketiga

d) Dan seterusnya

Gambar 9.11 adalah contoh gelombang berdiri yang dihasilkan pasa tali. Gambar (a) adalah ketika tali dipetik. Pada Gambar (b) terbentuk gelombang berdiri di mana satu tali membentuk setengah gelombang berdiri (atas), satu gelombang berdiri (tengah) dan satu setengah gelombang berdiri (bawah).

Mengingat frekuensi memenuhi f  v /  , maka frekuensi-frekuensi gelombang berdiri yang dihasilkan adalah

(a)

(b)

Gambar 9.11 Berbagai pola gelombang berdiri yang terbentuk pada tali. (a) ketika tali dipetik. (b) Terbentuk gelombang berdiri di mana satu tali membentuk setengah gelombang berdiri (atas), satu gelombang berdiri (tengah) dan satu setengah gelombang berdiri (bawah)

Contoh 9.3

Frekuensi dasar dawai biola adalah 440 Hz. Berapakah frekuensi empat harmonik pertama

Jawab

Berdasarkan persamaan (9.24), kita dapat menulis

Frekuensi harmonik pertama sama dengan frekuensi dasar, f 1  440 Hz. Dari persamaan (9.24) tampak bahwa Frekuensi harmonik pertama sama dengan frekuensi dasar, f 1  440 Hz. Dari persamaan (9.24) tampak bahwa

a) Frekuensi harmonik kedua: f 2 =2 f 1 =2  440 = 880 Hz

b) Frekuensi harmonik ketiga: f 3 =3 f 1 =3  440 = 1 320 Hz

c) Frekuensi harmonik ketiga: f 4 =4 f 1 =4  440 = 1 760 Hz