Penurunan persamaan energi kinetik relativitas

10.8 Penurunan persamaan energi kinetik relativitas

Misalkan kita melakukan kerja pada benda dari keadaan diam hingga memiliki laju u. Berdasarkan teorema usaha energi kerja yang dilakukan sama dengan perubahan energi kinetik benda. Karena mula-mula benda diam, energi kinetik mula-mula nol. Dengan demikian, kerja yang dilakukan sama dengan energi kinetik akhir benda, atau

K  dW

Untuk gerak lurus kita memiliki hubungan antara energi dan gaya, yaitu

dW  F dx  dx  dp  dp u

Dengan menggunakan aturan rantai untuk operasi diferensial, d(up) = pdu + udp atau udp = d(up) – pdu, maka kita dapat menulis

dW  d ( pu )  pdu

d du 

Energi kinetik benda menjadi

K  d  du

du du

Untuk menyelesaikan integral di suku kedua kita misalkan 1 –u 2 /c 2 = y. Lakukan diferensial pada dua sisi sehingga didapat –2udu/c 2 = dy atau

udu = - c 2 dy/2. Dengan permisalan ini kita dapat menulis

m o (  c dy / 2 )

y dy

 y 0

2  1 2  o

u  c

Soal-Soal

Sebuah partikel bergerak sepanjang x’ dalam kerangka acuan X’ dengan laju 0,40c . Kerangka S’ bergerak dengan laju 0,60c terhadap kerangka S. Berapa laju partikel diukur dari kerangka S?

Sebuah partikel sinar kosmis mendekati bumi sepanjang sumbu bumi menuju kutub utara dengan laju 0,80c. Partikel sinat kosmis lain mendekati bumi sepanjang sumbu bumi menuju kutub selatan dengan laju 0,60c. Berapa laju relatif satu partikel terhadap partikel lainnya?

Sebuah pesawat ruang angkasa yang memiliki panjang diam 350 m memiliki laju 0,82c terhadap suatu kerangka acuan. Sebuah mikrometeorit juga memiliki kecepatan 0,82c terhadap kerangka acuan ini tetapi bergerak dalam arah berlawanan dengan pesawat. Ketika melintasi pesawat, berapa lama waktu yang diperlukan mikrometeorit melewati pesawat tersebut?

Umur rata-rata muon yang dihentikan pada balok timbal di dalam laboratorium adalah 2,2 s. Umur rata-rata muon yang bergerak dengan kecepatan tinggi yang berasal dari sinar kosmis ketika diamati di bumi adalah 16 s. Berapa kecepatan muon tersebut?

Sebuah pion dihasilkan di permukaan atas atmosfer bumi ketika sinar kosmik bernergi tinggi bertumbukan dengan inti atom di permukaan atmosfer. Pion yang dihasilkan bergerak menuju bumi dengan laju 0,99c. Di dalam kearangka acuan di mana pion diam, pion tersebut meluruh dalam waktu 26 ns. Ketika diukur pada kerangka acuan yang tetap terhadap bumi, berapa jauh pion bergerak di atmosfer sebelum meluruh?

Berapa harusnya laju pion agar meluruh setelah menempuh jarak 10,0 m? Umur rata-rata pion dalam keadaan diam adalah 2,60  10 -6 s.

Sebuah pesawat yang memiliki panjang diam 130 m melewati sebuah stasion waktu dengan laju 0,740c. a) Berapa panjang pesawat menurut Sebuah pesawat yang memiliki panjang diam 130 m melewati sebuah stasion waktu dengan laju 0,740c. a) Berapa panjang pesawat menurut

Gambar 11.11 memperlihatkan sebuah kereta yang bergerak ke kanan dengan laju 0,8c. Dalam kereta terdapat dua lampu dan sebuah detektor yang berada di tengah-tengah lampu. Menurut pengamat di dalam kereta, jarak lampu ke detektor adalah 30 meter.

u = 0,8c

Gambar 11.11 Gambar untuk Soal ***

a) Jika pengamat di dalam kereta menyalakan dua lampu secara bersamaan, berapa lama waktu yang diperlukab cahaya masing-masing lampu mencapai detektor?

b) Apakah menurut pengamat di kereta, cahaya dari dua lampu mencapai detektor secara bersamaan (serentak)? Aakah menurut pengamat di tanah cahaya dari dua lampu mencapai detektor secara bersamaan (serentak)?

c) Apakah menurut pengamat di tanah, kedua lampu menyela secara bersamaan (simultan) atau tidak bersamaan?

d) Berapa waktu yang diperlukan cahaya lampu kiri dan cahaya lampu kanan mencapai detektor menurut pengamat di tanah?

e) Berapa jarak antara dua lampu mneurut pengamat di tanah?

Tahun 1979 Amerika mengkonsumsi energi listrik sekitar 2,2  10 12 kW h. Berapa massa yang ekivalen dengan energi ini?

Berapa laju partikel yang memiliki (a) energi kinetik dua kali energi diamnya? (a) energi total dua kali energi diamnya?

Sebuah partikel bermassa m memiliki momentum m o

c. (a) Berapakah laju partikel? (b) berapakah energi kinetiknya?

Jika inti uranium yang berada dalam keadaan diam pecah melalui reaksi fisi Jika inti uranium yang berada dalam keadaan diam pecah melalui reaksi fisi

K erangka acuah S’ bergerak relatif terhadap kerangka acuan S dengan laju 0,62c dalam arah pertambahan x. Sebuah partikel di dalam kerangka acuan S’ bergerak dengan laju 0,47c terhadap kerangka acuan S’ dalam arah pertambahan x ’. (b) berapa kecepatan partikel terhadap kerangka acuan S? (b) Berapa kecepatan partikel terhadap kerangka S jika arah gerak partikel adalah ke arah x ’ negatif?

Galaksi A dimatai bergerak menjauhi galaksi kita dengan laju 0,35c. Galaksi

B yang lokasinya berseberangan dengan galaksi A juga bergerak menjauhi galaksi kita dengan laju yang sama. Jika diukur dari galaksi A, (a) berapa kecepatan galaksi kita? (b) berapa kecepatan galaksi B?

Dari hasil pengamatan pergeseran spektrum bintang disimpulkna bahwa quasar Q 1 bergerak menjauhi kita dengan laju 0,800c dan quasar Q 2 dalam arah yang sama tetapi lebih dekat ke kita bergerak menjauhi kita dengan laju 0,400c. Berapa laju quasar Q 2 diukur oleh pengamat pada quasar Q 1 ?

Sebuah partikel energi tinggi yang tidak stabil memasuki detektor dan meninggalkan jejak lintasan sepanjang 1,05 mm sebelum meluruh. Laju partikel relatif terhadap detektor adalah 0,992c. Berapakah umur partikel dalam keadaan diam?

Sebuah batang diletakkan sejajar sumbu x dari kerangka acuan S. Panjang batang dalam keadaan diam adalah 1,80m. Jika batang tersebut bergerak sejajar sumbu x dengan laju 0,630c, berapa panjang batang menurut pengamat di kerangka acuan S?

Panjang sebuah pesawat ruang angkasa yang sedang terbang terukur persis setengah panjang dalam keadaan diam. Berapa laju pesawat tersebut terhadap pengamat?

Jika kamu menuju bintang yang jaraknya 100 tahun cahaya dari bumi dengan pesawat yang lajunya 2,60  10 8 m/s, berapa jarak tersebut yang kamu ukur?

Misalkan kamu ingin menuju suatu bintang yang jauhnya 90 tahun cahaya. Kamu ingin menempuh perjalanan tersebut selama 25 tahun. Berapa harusnya laju pesawat kamu?

Sebuah elektron bergerak dengan laju 0,999 987c sepanjang sumbu tabung vakum yang panjangnya 3,00 m menurut pengamat di laboratorium yang diam bersama tabung. Pengamat lain yang bergerak bersama elektron akan melihat tabung bergerak ke belakang dengan laju 0,999 987c. Berapa panjang tabung menurut pegamat yang bergerak ini?

(a) Secara prinsip, dapatkan seseorang dari bumi terbang dan mencapai pusat galaksi yang jaraknya dari bumi 23 000 tahun cahaya? Beti penjelasan menggunakan dilatasi waktu atau kontraksi Lorentz (b) Berapa kecepatan pesawat yang ia tumpangi agar bisa mencapat pusat galaksi dalam waktu 30 tahun?

Berapa kerja yang diperlukan untuk meningkatkan laju elektron dari keadaan diam hingga memiliki laju (a) 0,50c, (b) 0,990c, dan (c) 0,9990c?

Sebuah elektron bergerak dengan laju sedemikian sehingga dapat mengitari bumi di khatulistiwa selama 1,00 s. (a) Berapa laju elektron dinyatakan dalam laju cahaya? (b) berapa enerki kinetiknya? (c) berapa persentase kesalahan perhitungan energi kinetik jika menggunakan rumus klasik?

Sebuah partikel memiliki laju 0,990c terhadap suatu kerangka acuan. Berapakah energi kinetik, energi total, dan momentum jika partikel tersebut adalah (a) elektron, (b) proton?

Quasar dipandang sebagai inti aktif galaksi dalam tahap awal pembentukannya. Kebanyakan quasar memancarkan energi dengan daya

10 41 W. Berapakah laju pengurangan massa quasar agar dapat memancarkan energi sebesar ini?

Berapa momentum partikel yang memiliki massa m agar energi totalnya sama dengan tiga kali energi diamnya.

(a) Berapa energi yang dilepaskan dari peledakan bom fisi yang memiliki 3,0 kg. Anggap bahwa 0,10% massa diubah menjadi energi. (b) Berapa massa

TNT yang harus diledakkan untuk menghasilkan energi yang sama. Anggap tiap mol TNT menghasilkan energi 3,4 MJ pada peledakan.